双曲抛物面的参数方程与几何特性（续）
我们继续深入探讨双曲抛物面的几何特性。本次将从其主方向与曲率线、脐点、渐近曲线与直母线等内在几何与微分几何性质进行系统讲解。
第一步：主方向、主曲率与曲率线
上一讲中，我们给出了双曲抛物面 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\) 的高斯曲率 \(K = -\frac{4}{a^4 b^4 (1 + 4x^2/a^4 + 4y^2/b^4)^2} < 0\)，以及平均曲率 \(H = 0\)（其为极小曲面）。现在计算其主曲率 \(k_1, k_2\) 和主方向。
- 主曲率的计算：
已知高斯曲率 \(K = k_1 k_2\) 和平均曲率 \(H = \frac{k_1 + k_2}{2}\)。
对于该双曲抛物面，\(H = 0\)，所以 \(k_1 + k_2 = 0\)，即 \(k_2 = -k_1\)。
代入 \(K = k_1 k_2 = -k_1^2\)，得：
\[ k_1 = \sqrt{-K}, \quad k_2 = -\sqrt{-K} \]
其中 \(K < 0\)，所以主曲率一正一负，且绝对值相等。这确认了曲面上每一点都是双曲点（高斯曲率<0）。
- 主方向的计算：
主方向是使法曲率达到极值 \(k_1, k_2\) 的切方向。对于 \(H=0\) 的曲面（如极小曲面），主方向恰好是渐近方向的角平分线。另一种方法是求解主方向方程：
\[ (L - k_i E) du + (M - k_i F) dv = 0, \quad i=1,2 \]
其中 \(E, F, G\) 为第一基本形式系数，\(L, M, N\) 为第二基本形式系数。
通过计算（过程略），可以得出在该标准方程下，主方向恰好平行于坐标轴方向（即 \(x\) 方向和 \(y\) 方向）。这意味着参数曲线 \(x = \text{常数}\) 和 \(y = \text{常数}\) 的切线方向就是主方向。
- 曲率线：
曲率线是曲面上一条曲线，其上每一点的切方向都是该点的一个主方向。由于主方向平行于坐标轴，所以参数坐标线（\( x\)-曲线和 \( y\)-曲线）本身就是曲率线。这是双曲抛物面的一个重要几何特性。
第二步：脐点的分析
脐点是曲面上主曲率相等的点（即 \(k_1 = k_2\)）。在双曲抛物面 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\) 上：
由于 \(k_2 = -k_1\)，因此 \(k_1 = k_2\) 当且仅当 \(k_1 = k_2 = 0\)。
而 \(k_1 = 0\) 意味着 \(K = -k_1^2 = 0\)。但我们已知 \(K = -\frac{4}{a^4 b^4 (1 + 4x^2/a^4 + 4y^2/b^4)^2}\) 永远小于0，除非分母无穷大，即 \(x, y \to \infty\)，这在有限区域内无法实现。因此，在双曲抛物面的任何有限点，主曲率都不相等，不存在脐点。脐点只可能出现在无穷远点。
第三步：渐近曲线
渐近曲线是曲面上一条曲线，其上每一点的切方向都是该点的一个渐近方向（即使得法曲率 \(k_n = 0\) 的方向）。
- 渐近方向：对于一个双曲点（\(K<0\)），存在两个实数的渐近方向。由欧拉公式 \(k_n = k_1 \cos^2\theta + k_2 \sin^2\theta\) 和 \(k_2 = -k_1\)，令 \(k_n=0\)，得：
\[ k_1 (\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos^2\theta = \sin^2\theta \]
所以 \(\theta = \pm 45^\circ, \pm 135^\circ\)。即两个渐近方向相互垂直，且平分两个主方向（坐标轴方向）。这与马鞍点处“最陡”下降/上升方向（主方向）和“水平”方向（渐近方向）的直观相符。
- 渐近曲线的微分方程：曲面上曲线的切方向 \((du: dv)\) 是渐近方向的充要条件是 \(L du^2 + 2M du dv + N dv^2 = 0\)。
对于 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)，以 \(x, y\) 为参数，有 \(L = 2/a^2, M=0, N=-2/b^2\)。代入得：
\[ \frac{2}{a^2} dx^2 - \frac{2}{b^2} dy^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{dx}{a} - \frac{dy}{b} \right) \left( \frac{dx}{a} + \frac{dy}{b} \right) = 0 \]
由此得到两族渐近曲线的微分方程：
\[ \frac{dx}{a} - \frac{dy}{b} = 0 \quad \text{和} \quad \frac{dx}{a} + \frac{dy}{b} = 0 \]
- 渐近曲线的显式方程：积分上述方程：
- 由 \(\frac{dx}{a} - \frac{dy}{b} = 0\) 得 \(\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = C_1\)（常数）。
- 由 \(\frac{dx}{a} + \frac{dy}{b} = 0\) 得 \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = C_2\)（常数）。
这两族直线在 \(xy\) 平面上的投影是相互垂直的（斜率分别为 \(b/a\) 和 \(-b/a\)）。
- 渐近曲线是直线：将 \(\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = C_1\) 代入曲面方程 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = (\frac{x}{a} - \frac{y}{b})(\frac{x}{a} + \frac{y}{b})\) 中，并用 \(C_1\) 和 \(C_2\) 表示，得 \(z = C_1 C_2\)。
但 \(C_2\) 不是常数，它由另一族曲线决定。实际上，曲面上满足 \(\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = C_1\) 的点构成的曲线，其 \(z\) 坐标是 \(x\)（或 \(y\)）的线性函数。更直接地，从微分方程可推导出这两族曲线在三维空间中的参数方程就是直线方程。这表明双曲抛物面是直纹面，其直母线就是它的两族渐近曲线。
第四步：作为直纹面的性质
- 直母线方程：
- 第一族直母线：固定 \(C_1\)，直线由方程 \(\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = C_1\) 和 \(z = C_1 (\frac{x}{a} + \frac{y}{b})\) 决定。可以写成参数形式。更常见的是从参数方程入手，从标准方程解出：
\[ \begin{cases} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2u \\ \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{z}{u} \end{cases} \]
其中 \(u\) 是常数时，这是一条直线（因为两个平面交线）。此直线完全在曲面上。这族直线称为 \(u\)-母线。
- 第二族直母线：对称地，可写为：
\[ \begin{cases} \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 2v \\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{z}{v} \end{cases} \]
其中 \(v\) 是常数时，这是另一条直线，称为 \(v\)-母线。
- 直纹面的特性：
- 过曲面上任意一点，有且仅有两条直母线（分属两族）。
- 属于同一族的任意两条直母线是异面直线（不平行也不相交）。
- 属于不同族的任意两条直母线必相交（交点唯一）。
- 整个曲面可以由一族直线（比如 \(u\)-母线）沿另一条空间曲线（称为导线，这里是一条与所有母线都相交的空间曲线，例如一条 \(v\)-母线）平行移动而生成。这是直纹面的定义。
- 与渐近曲线的关系：
这两族直母线正好就是前面求出的两族渐近曲线。因此，双曲抛物面的渐近曲线是直线。这解释了为什么沿着这些直线方向，法曲率为零（因为直线是平面曲线，其曲率为零，在曲面上其法曲率也为零）。
总结
综上所述，双曲抛物面 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\) 的几何特性极为丰富：
- 内在几何：高斯曲率 \(K<0\)，平均曲率 \(H=0\)（极小曲面），无脐点。
- 主方向与曲率线：主方向平行于坐标轴，坐标线（\(x\) 线和 \(y\) 线）是曲率线。
- 渐近方向：与主方向成 ±45° 角。
- 渐近曲线：是两族互相垂直的直线，其微分方程为 \(\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = \text{常数}\)。
- 直纹面：上述两族直线（渐近曲线）构成了曲面的两族直母线，使其成为一个典型的双重直纹面。其几何形象类似于一个“马鞍”，两组直线分别沿着“马鞍”的两个“走向”笔直地铺满了整个曲面。