平行曲面的等距对应与可展条件
字数 2613 2025-12-07 01:51:41

平行曲面的等距对应与可展条件

  1. 平行曲面的定义回顾
    给定一个正则曲面 \(S: \mathbf{r}(u,v)\)，其单位法向量场为 \(\mathbf{n}(u,v)\)。对于常数 \(t\)，平行曲面 \(S_t\) 定义为：

\[ \mathbf{r}_t(u,v) = \mathbf{r}(u,v) + t \, \mathbf{n}(u,v). \]

当 \(t\) 固定时，\(S_t\) 是沿法线方向距离 \(S\) 为 \(|t|\) 的曲面。若 \(t\) 变化，则得到一族平行曲面。

  1. 等距对应的概念
    两个曲面之间的映射如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则称为等距对应（或等距映射）。等距对应的曲面具有相同的内在几何（即第一基本形式相同）。
    对于平行曲面 \(S\) 与 \(S_t\)，我们需要判断它们之间是否存在等距对应。

  2. 平行曲面的第一基本形式
    计算 \(S_t\) 的第一基本形式。设 \(\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\) 是 \(S\) 的切向量，\(\mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v\) 是法向量的微分。由 Weingarten 方程，有：

\[ \mathbf{n}_u = -a_{11} \mathbf{r}_u - a_{12} \mathbf{r}_v, \quad \mathbf{n}_v = -a_{21} \mathbf{r}_u - a_{22} \mathbf{r}_v, \]

其中 \((a_{ij})\) 是第二基本形式系数矩阵与第一基本形式系数矩阵之积（与形状算子相关）。
于是：

\[ \frac{\partial \mathbf{r}_t}{\partial u} = \mathbf{r}_u + t \mathbf{n}_u = (1 - t a_{11}) \mathbf{r}_u - t a_{12} \mathbf{r}_v, \]

\[ \frac{\partial \mathbf{r}_t}{\partial v} = \mathbf{r}_v + t \mathbf{n}_v = -t a_{21} \mathbf{r}_u + (1 - t a_{22}) \mathbf{r}_v. \]

写成矩阵形式：

\[ \begin{pmatrix} \mathbf{r}_t_u \\ \mathbf{r}_t_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - t a_{11} & -t a_{12} \\ -t a_{21} & 1 - t a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{r}_u \\ \mathbf{r}_v \end{pmatrix}. \]

记变换矩阵为 \(I - t A\)，其中 \(A = (a_{ij})\) 是形状算子矩阵（在自然基下）。

  1. 等距对应的条件
    要使 \(S_t\) 与 \(S\) 等距，需要存在参数变换使得 \(S_t\) 的第一基本形式与 \(S\) 的第一基本形式相同。但更直接的条件是：变换 \(I - t A\) 保持切空间内的内积不变。
    设 \(S\) 的第一基本形式系数矩阵为 \(g = (g_{ij})\)，则 \(S_t\) 的第一基本形式系数矩阵为：

\[ g_t = (I - t A)^T g (I - t A). \]

等距要求 \(g_t = g\) 对一切参数成立，这等价于：

\[ (I - t A)^T g (I - t A) = g. \]

展开得：

\[ g - t (A^T g + g A) + t^2 A^T g A = g. \]

消去 \(g\)，整理得：

\[ A^T g + g A = t A^T g A. \]

由于此式应对所有 \(t\) 成立（或对特定 \(t \neq 0\)），可推得 \(A^T g + g A = 0\) 且 \(A^T g A = 0\)。但 \(g\) 正定，故只能有 \(A = 0\)，即第二基本形式恒为零，说明 \(S\) 是平面。
因此，除非 \(S\) 是平面，否则平行曲面 \(S_t\) 与 \(S\) 不等距。

  1. 可展条件
    可展曲面是指高斯曲率恒为零的直纹面，且可等距展开成平面。考虑平行曲面 \(S_t\) 的可展性。
    由平行曲面的高斯曲率公式：

\[ K_t = \frac{K}{1 - 2t H + t^2 K}, \]

其中 \(K\) 是 \(S\) 的高斯曲率，\(H\) 是平均曲率。
可展要求 \(K_t = 0\)，即 \(K = 0\)。所以：
\(S_t\) 可展当且仅当 \(S\) 可展（即 \(S\) 自身是平面、圆柱面、锥面或切线面）。
进一步，当 \(S\) 可展时，其第二基本形式满足某些条件，此时平行曲面 \(S_t\) 也是直纹面，且高斯曲率仍为零（可验证）。

  1. 可展曲面的平行曲面性质
    以圆柱面为例：设 \(S\) 是半径为 \(R\) 的圆柱面，其平行曲面 \(S_t\) 是半径为 \(R + t\) 的圆柱面（当 \(t > -R\)）。圆柱面可展，且平行曲面仍是圆柱面（可展）。但注意：圆柱面与平面的等距对应需要“剪开”并展开，而平行圆柱面之间并不等距（因为第一基本形式系数不同）。
    更一般地，可展曲面 \(S\) 的平行曲面 \(S_t\) 仍可展，但 \(S_t\) 与 \(S\) 不等距（除非 \(t=0\)）。

  2. 应用：等距变形与平行曲面
    在曲面变形中，如果要求变形过程中保持曲面与某平行曲面等距，则只能为平面。这说明平行曲面族在等距意义下是“刚性”的。但在可展曲面情况下，平行曲面族提供了另一类可展曲面（如平行于锥面的曲面仍是锥面），在几何设计和制造中有用（例如板材的等距偏移加工）。

平行曲面的等距对应与可展条件 平行曲面的定义回顾 给定一个正则曲面 \( S: \mathbf{r}(u,v) \)，其单位法向量场为 \( \mathbf{n}(u,v) \)。对于常数 \( t \)，平行曲面 \( S_ t \) 定义为： \[ \mathbf{r}_ t(u,v) = \mathbf{r}(u,v) + t \, \mathbf{n}(u,v). \] 当 \( t \) 固定时，\( S_ t \) 是沿法线方向距离 \( S \) 为 \( |t| \) 的曲面。若 \( t \) 变化，则得到一族平行曲面。 等距对应的概念 两个曲面之间的映射如果保持曲面上任意曲线的长度不变，则称为 等距对应 （或等距映射）。等距对应的曲面具有相同的内在几何（即第一基本形式相同）。 对于平行曲面 \( S \) 与 \( S_ t \)，我们需要判断它们之间是否存在等距对应。 平行曲面的第一基本形式 计算 \( S_ t \) 的第一基本形式。设 \( \mathbf{r}_ u, \mathbf{r}_ v \) 是 \( S \) 的切向量，\( \mathbf{n}_ u, \mathbf{n}_ v \) 是法向量的微分。由 Weingarten 方程，有： \[ \mathbf{n} u = -a {11} \mathbf{r} u - a {12} \mathbf{r}_ v, \quad \mathbf{n} v = -a {21} \mathbf{r} u - a {22} \mathbf{r} v, \] 其中 \( (a {ij}) \) 是第二基本形式系数矩阵与第一基本形式系数矩阵之积（与形状算子相关）。 于是： \[ \frac{\partial \mathbf{r}_ t}{\partial u} = \mathbf{r}_ u + t \mathbf{n} u = (1 - t a {11}) \mathbf{r} u - t a {12} \mathbf{r}_ v, \] \[ \frac{\partial \mathbf{r}_ t}{\partial v} = \mathbf{r} v + t \mathbf{n} v = -t a {21} \mathbf{r} u + (1 - t a {22}) \mathbf{r} v. \] 写成矩阵形式： \[ \begin{pmatrix} \mathbf{r} t_ u \\ \mathbf{r} t_ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - t a {11} & -t a {12} \\ -t a {21} & 1 - t a {22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{r}_ u \\ \mathbf{r} v \end{pmatrix}. \] 记变换矩阵为 \( I - t A \)，其中 \( A = (a {ij}) \) 是形状算子矩阵（在自然基下）。 等距对应的条件 要使 \( S_ t \) 与 \( S \) 等距，需要存在参数变换使得 \( S_ t \) 的第一基本形式与 \( S \) 的第一基本形式相同。但更直接的条件是： 变换 \( I - t A \) 保持切空间内的内积不变 。 设 \( S \) 的第一基本形式系数矩阵为 \( g = (g_ {ij}) \)，则 \( S_ t \) 的第一基本形式系数矩阵为： \[ g_ t = (I - t A)^T g (I - t A). \] 等距要求 \( g_ t = g \) 对一切参数成立，这等价于： \[ (I - t A)^T g (I - t A) = g. \] 展开得： \[ g - t (A^T g + g A) + t^2 A^T g A = g. \] 消去 \( g \)，整理得： \[ A^T g + g A = t A^T g A. \] 由于此式应对所有 \( t \) 成立（或对特定 \( t \neq 0 \)），可推得 \( A^T g + g A = 0 \) 且 \( A^T g A = 0 \)。但 \( g \) 正定，故只能有 \( A = 0 \)，即第二基本形式恒为零，说明 \( S \) 是平面。 因此， 除非 \( S \) 是平面，否则平行曲面 \( S_ t \) 与 \( S \) 不等距 。 可展条件 可展曲面是指高斯曲率恒为零的直纹面，且可等距展开成平面。考虑平行曲面 \( S_ t \) 的可展性。 由平行曲面的高斯曲率公式： \[ K_ t = \frac{K}{1 - 2t H + t^2 K}, \] 其中 \( K \) 是 \( S \) 的高斯曲率，\( H \) 是平均曲率。 可展要求 \( K_ t = 0 \)，即 \( K = 0 \)。所以： \( S_ t \) 可展当且仅当 \( S \) 可展 （即 \( S \) 自身是平面、圆柱面、锥面或切线面）。 进一步，当 \( S \) 可展时，其第二基本形式满足某些条件，此时平行曲面 \( S_ t \) 也是直纹面，且高斯曲率仍为零（可验证）。 可展曲面的平行曲面性质 以圆柱面为例：设 \( S \) 是半径为 \( R \) 的圆柱面，其平行曲面 \( S_ t \) 是半径为 \( R + t \) 的圆柱面（当 \( t > -R \)）。圆柱面可展，且平行曲面仍是圆柱面（可展）。但注意：圆柱面与平面的等距对应需要“剪开”并展开，而平行圆柱面之间并不等距（因为第一基本形式系数不同）。 更一般地，可展曲面 \( S \) 的平行曲面 \( S_ t \) 仍可展，但 \( S_ t \) 与 \( S \) 不等距（除非 \( t=0 \)）。 应用：等距变形与平行曲面 在曲面变形中，如果要求变形过程中保持曲面与某平行曲面等距，则只能为平面。这说明平行曲面族在等距意义下是“刚性”的。但在可展曲面情况下，平行曲面族提供了另一类可展曲面（如平行于锥面的曲面仍是锥面），在几何设计和制造中有用（例如板材的等距偏移加工）。