图的符号图分解与正交秩 第一步：从符号图的基本定义入手 符号图 \( (G, \sigma) \) 是在图 \( G=(V,E) \) 的每条边上赋予一个符号 \( \sigma(e) \in \{+1, -1\} \)，分别表示正边和负边。它是带符号网络的基础模型，可用于描述社交网络中的友好/敌对关系、化学反应中的促进/抑制等。 第二步：引入符号图的矩阵表示 符号图的 带符号邻接矩阵 \( A_ \sigma \) 定义为： 若顶点 \( u,v \) 间无边，则 \( A_ \sigma(u,v)=0 \)； 若有边且符号为 \( + \)，则 \( A_ \sigma(u,v)=1 \)； 若有边且符号为 \( - \)，则 \( A_ \sigma(u,v)=-1 \)。 这个矩阵是实对称的，因此特征值均为实数。 第三步：定义“正交秩”概念 对于一个符号图 \( (G, \sigma) \)，其 正交秩 （orthogonal rank）记作 \( \xi(G,\sigma) \)，定义为： 存在一个从顶点集 \( V \) 到 \( \mathbb{R}^d \) 中单位向量的映射 \( f: V \to \mathbb{R}^d \)，使得对于任意边 \( uv \in E \)： 若 \( \sigma(uv)=+1 \)，则 \( \langle f(u), f(v) \rangle = 0 \)（正交条件）； 若 \( \sigma(uv)=-1 \)，则 \( \langle f(u), f(v) \rangle \le 0 \)。 并满足 \( \xi(G,\sigma) \) 是满足上述条件的 最小维数 \( d \)。 直观理解：正边要求顶点对应向量正交，负边允许非正内积（包括正交或钝角）。 第四步：与经典图参数的对比 若所有边符号均为正，则正交秩退化为图的 正交表示维数 （要求相邻顶点对应向量正交），这是一个经典代数图论参数。 若所有边符号均为负，条件变为相邻顶点向量内积非正，这与图的 球形码 （spherical code）中的非正内积表示相关。 一般符号图的正交秩是二者在符号约束下的推广，可用于量化带符号关系的几何实现难度。 第五步：符号图分解的引入 符号图的分解通常指将顶点集划分成若干子集，使得子集内部或之间的边满足特定符号规律。常见的分解有： 聚类分解 ：将顶点分成若干簇，使得正边主要出现在簇内，负边主要出现在簇间（与社会结构平衡理论相关）。 二部分解 ：寻找顶点的一个二部划分，使得所有负边在部内、所有正边在部间（与符号图的二部性等价问题相关）。 正交秩与这类分解有内在联系：低维正交表示可视为一种“几何分解”，符号约束转化为向量间的角度关系。 第六步：正交秩的计算与界限 平凡界限： \( \xi(G,\sigma) \le n-1 \)（用 \( n-1 \) 维空间可轻易构造单位向量使所有对内积为零）。 若 \( (G,\sigma) \) 包含一个所有边均为负的 \( K_ t \)（完全图），则 \( \xi(G,\sigma) \ge t-1 \)，因为 \( t \) 个两两非正内积的单位向量最小需要 \( t-1 \) 维空间（由球面几何已知结论）。 与特征值关联： 利用带符号邻接矩阵 \( A_ \sigma \) 的最小特征值 \( \lambda_ {\min} \)，可导出下界。例如，若 \( \lambda_ {\min} \) 很负，可能反映负边密集结构，需要更高维实现正交与非正内积约束。 与经典图不变量关系： \( \xi(G,\sigma) \) 不超过图的 最小秩 （minrank）在符号扩展下的变体，后者是信息论中索引编码的重要参数。 第七步：应用场景举例 网络聚类 ：符号图的正交表示可用于谱聚类算法的改进，将顶点映射为向量后，利用向量夹角进行带符号关系的聚类。 量子上下文性 ：在量子信息中，符号图的正交表示可用于构造证明量子上下文性的非经典行为，其中顶点对应测量，正边对应相容测量（正交投影），负边对应互斥关系。 矩阵完成问题 ：低正交秩的符号图对应于低秩带符号矩阵的恢复问题，在推荐系统（用户-项目喜欢/不喜欢）中有潜在应用。 第八步：前沿方向 当前研究关注： 确定特定图类（如符号树、符号平面图）的正交秩精确值。 将正交秩与符号图的 染色数 （如符号图的染色对应向量着色）建立更强联系。 设计近似算法计算正交秩，或用于大规模符号网络的降维表示。