椭圆抛物面

我们先来明确椭圆抛物面的定义及其标准方程。

1. 定义与标准方程
   • 在三维空间直角坐标系(O-xyz)中，椭圆抛物面是一种二次曲面。它的标准方程形式为：

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z \quad (a>0, b>0) \]

    或更一般的形式：

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z \]

    两者只差一个系数伸缩，形状本质相同。我们以第一种为例讲解，因为它与物理中的抛物体面形式更直接相关。
*   方程中不含一次项，坐标原点O是它的顶点。由于方程关于x和y都是偶函数，所以曲面关于yOz平面和zOx平面对称，因此也关于z轴对称。z轴是它的**对称轴**。

2. 形状与截面分析（从方程“看出”形状）
   理解其形状的最佳方法是用平行于坐标面的平面去截它，观察截痕（交线）。

• 用平行于xOy面（水平面）的平面 \(z = h\) 去截：
  代入方程得：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2h\)。
• 当 \(h > 0\) 时，截痕是一个椭圆。其半轴长分别为 \(a\sqrt{2h}\) 和 \(b\sqrt{2h}\)。随着h增大，椭圆不断扩大。
• 当 \(h = 0\) 时，截痕为原点O（可看作退化的椭圆）。
• 当 \(h < 0\) 时，方程左边非负，右边为负，无实数解。说明曲面全部位于xOy平面（z=0）的上方。
• 用平行于yOz面（即x为常数）的平面 \(x = k\) 去截：
  代入方程得：\(\frac{y^2}{b^2} = 2z - \frac{k^2}{a^2}\)。这是一条以z为自变量、y为因变量的抛物线方程，可写为 \(y^2 = 2b^2(z - \frac{k^2}{2a^2})\)。这是一条开口朝上（沿z轴正方向）的抛物线，顶点在 \((k, 0, \frac{k^2}{2a^2})\)。
• 用平行于zOx面（即y为常数）的平面 \(y = l\) 去截：
  类似地，得到一条开口朝上的抛物线：\(x^2 = 2a^2(z - \frac{l^2}{2b^2})\)。
  • 综合以上截面：曲面可以看作是由一个可变椭圆（水平截面）沿着两条互相垂直的抛物线（铅垂截面）的轨迹“滑动”并始终保持水平而生成。它的整体形状像一个碗或一个卫星天线反射面，沿着z轴方向向上无限张开。

3. 特殊情况：旋转抛物面

• 当椭圆抛物面标准方程中的参数满足 \(a = b\) 时，方程变为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 2z\)，即 \(x^2 + y^2 = 2a^2 z\)。
• 此时，任何水平截面 \(z = h (h>0)\) 的截痕是圆：\(x^2 + y^2 = 2a^2h\)。而任何过z轴的平面（铅垂面）截得的抛物线形状都相同（因为方程关于x,y对称）。
  • 这个曲面是由抛物线绕其对称轴（z轴）旋转一周而成，因此称为旋转抛物面。它是椭圆抛物面的一种特殊、对称的形式。

4. 几何与物理意义

• 焦点与准线（类比抛物线）：对于旋转抛物面 \(x^2 + y^2 = 4pz\)（这里 \(4p = 2a^2\)），它有一个重要的光学性质：所有平行于对称轴（z轴）入射的光线，经抛物面反射后，都会汇聚于一点，这点称为焦点。反过来，从焦点发出的光线经反射后成为平行于轴的光束。卫星天线和射电望远镜利用这个性质接收信号，探照灯和汽车前灯则利用其逆性质产生平行光束。
  • 重力场中的等势面：在均匀重力场中，静止液体的表面是水平的。但如果一个容器绕其竖直轴匀速旋转，液面就会形成一个旋转抛物面。这是因为液体各部分所需的向心力由液面倾斜提供的压力差提供，最终液面成为等势面，其形状正是旋转抛物面。天文望远镜的巨型镜面有时采用旋转的液态汞来制造，就是利用此原理。

5. 与双曲抛物面的对比

• 椭圆抛物面的方程是 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z\)，所有系数（x², y²）同号（这里均为正），与z项异号。
• 另一种重要的抛物面是双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z\)。它的x²和y²项异号。它的水平截面是双曲线（或一对相交直线），铅直截面是抛物线。它的形状像一个马鞍，中心点是一个双曲点（高斯曲率为负），而椭圆抛物面的顶点是一个椭圆点（高斯曲率为正）。你在已学词条中接触过双曲抛物面，这里请注意区分二者在方程和整体形状上的根本不同。