复变函数的柯西型积分主值

字数 2385 2025-12-06 22:57:06

复变函数的柯西型积分主值

我们先明确“柯西型积分”的含义：给定一条光滑曲线（通常是简单闭曲线或实轴上的区间），及一个定义在曲线上的函数 \(f(\zeta)\)，形如

\[F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \]

的积分称为柯西型积分。当 \(z \in \Gamma\) 时，被积函数在 \(\zeta = z\) 处有奇异性，此时积分是发散的，但可通过取“主值”得到有限结果。

第一步：主值积分的定义
考虑实轴上的一段曲线 \(L\)（如实轴整体或有限区间），设 \(f(t)\) 在 \(L\) 上满足赫尔德条件（稍后解释），对给定的 \(x \in L\)，定义柯西主值（Cauchy principal value, 简记为 \(P\) 或 \(p.v.\)）：

\[P\int_{L} \frac{f(t)}{t-x} dt = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left( \int_{L \setminus (x-\epsilon, x+\epsilon)} \frac{f(t)}{t-x} dt \right) \]

即对称地挖掉以 \(x\) 为中心、长度为 \(2\epsilon\) 的小区间后再取极限。这种对称挖除抵消了发散的主要部分，使极限存在。

第二步：赫尔德条件的作用
赫尔德条件：\(f\) 在 \(x\) 附近满足 \(|f(t)-f(x)| \le M|t-x|^\alpha\)，其中 \(0 < \alpha \le 1\)。
该条件保证了被积函数在挖去邻域后余项的积分是收敛的。事实上，若 \(f\) 是常数，主值积分不一定存在（因为奇性不可积），但赫尔德条件保证了 \(\frac{f(t)-f(x)}{t-x}\) 在 \(t=x\) 附近可积，从而主值积分可转化为：

\[P\int_L \frac{f(t)}{t-x} dt = f(x) P\int_L \frac{1}{t-x} dt + \int_L \frac{f(t)-f(x)}{t-x} dt \]

第二项是正常积分，第一项中的 \(P\int_L \frac{1}{t-x} dt\) 在对称区间挖除时会为零（如果 \(L\) 关于 \(x\) 对称或无穷区间取对称极限）。对于实轴全体，通常主值为零，但对有限区间需具体计算。

第三步：柯西主值积分的计算例子
考虑 \(L = [-1,1]\)，\(f(t) = 1\)，求 \(P\int_{-1}^1 \frac{dt}{t-x}\) 对 \(|x|<1\)。
对称挖除 \((x-\epsilon, x+\epsilon)\) 后积分：

\[\int_{-1}^{x-\epsilon} \frac{dt}{t-x} + \int_{x+\epsilon}^{1} \frac{dt}{t-x} = \ln\left|\frac{1-x}{-1-x}\right| + \ln\left|\frac{\epsilon}{-\epsilon}\right| \]

其中 \(\ln|\epsilon/(-\epsilon)| = \ln 1 = 0\)，因此极限为 \(\ln\left|\frac{1-x}{1+x}\right|\)。

第四步：主值与边值的关系（Plemelj 公式）
对柯西型积分 \(F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_L \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta\)，当 \(z\) 从左侧（沿法向）趋近 \(t_0 \in L\) 时，记极限为 \(F^+(t_0)\)，从右侧趋近时极限为 \(F^-(t_0)\)。Plemelj 公式给出：

\[F^+(t_0) = \frac{1}{2} f(t_0) + \frac{1}{2\pi i} P\int_L \frac{f(\zeta)}{\zeta - t_0} d\zeta \]

\[F^-(t_0) = -\frac{1}{2} f(t_0) + \frac{1}{2\pi i} P\int_L \frac{f(\zeta)}{\zeta - t_0} d\zeta \]

两式相减得跳跃关系：\(F^+(t_0) - F^-(t_0) = f(t_0)\)。
两式相加得到：\(F^+(t_0) + F^-(t_0) = \frac{1}{\pi i} P\int_L \frac{f(\zeta)}{\zeta - t_0} d\zeta\)。
这说明柯西主值积分等于边界值的平均。

第五步：在奇异积分方程中的应用
柯西主值积分自然出现在奇异积分方程，例如 希尔伯特变换：

\[H f(x) = \frac{1}{\pi} P\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(t)}{t-x} dt \]

它在傅里叶分析中对应乘以 \(-i\, \mathrm{sgn}(\xi)\) 的乘子。在边值问题中，主值积分可用于求解带柯西核的积分方程。

第六步：主值积分的推广
主值概念可推广到高维奇异性积分，例如在 \(\mathbb{R}^n\) 中柯西主值定义为挖去以奇点为中心的小球（或对称区域）后的极限。在复分析中，主值积分是研究边值问题和奇异积分算子的基本工具。

复变函数的柯西型积分主值我们先明确“柯西型积分”的含义：给定一条光滑曲线（通常是简单闭曲线或实轴上的区间），及一个定义在曲线上的函数 \( f(\zeta) \)，形如 \[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_ {\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \] 的积分称为柯西型积分。当 \( z \in \Gamma \) 时，被积函数在 \( \zeta = z \) 处有奇异性，此时积分是发散的，但可通过取“主值”得到有限结果。第一步：主值积分的定义考虑实轴上的一段曲线 \( L \)（如实轴整体或有限区间），设 \( f(t) \) 在 \( L \) 上满足赫尔德条件（稍后解释），对给定的 \( x \in L \)，定义柯西主值（Cauchy principal value, 简记为 \( P \) 或 \( p.v. \)）： \[ P\int_ {L} \frac{f(t)}{t-x} dt = \lim_ {\epsilon \to 0^+} \left( \int_ {L \setminus (x-\epsilon, x+\epsilon)} \frac{f(t)}{t-x} dt \right) \] 即对称地挖掉以 \( x \) 为中心、长度为 \( 2\epsilon \) 的小区间后再取极限。这种对称挖除抵消了发散的主要部分，使极限存在。第二步：赫尔德条件的作用赫尔德条件：\( f \) 在 \( x \) 附近满足 \( |f(t)-f(x)| \le M|t-x|^\alpha \)，其中 \( 0 < \alpha \le 1 \)。该条件保证了被积函数在挖去邻域后余项的积分是收敛的。事实上，若 \( f \) 是常数，主值积分不一定存在（因为奇性不可积），但赫尔德条件保证了 \( \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \) 在 \( t=x \) 附近可积，从而主值积分可转化为： \[ P\int_ L \frac{f(t)}{t-x} dt = f(x) P\int_ L \frac{1}{t-x} dt + \int_ L \frac{f(t)-f(x)}{t-x} dt \] 第二项是正常积分，第一项中的 \( P\int_ L \frac{1}{t-x} dt \) 在对称区间挖除时会为零（如果 \( L \) 关于 \( x \) 对称或无穷区间取对称极限）。对于实轴全体，通常主值为零，但对有限区间需具体计算。第三步：柯西主值积分的计算例子考虑 \( L = [ -1,1] \)，\( f(t) = 1 \)，求 \( P\int_ {-1}^1 \frac{dt}{t-x} \) 对 \( |x| <1 \)。对称挖除 \( (x-\epsilon, x+\epsilon) \) 后积分： \[ \int_ {-1}^{x-\epsilon} \frac{dt}{t-x} + \int_ {x+\epsilon}^{1} \frac{dt}{t-x} = \ln\left|\frac{1-x}{-1-x}\right| + \ln\left|\frac{\epsilon}{-\epsilon}\right| \] 其中 \( \ln|\epsilon/(-\epsilon)| = \ln 1 = 0 \)，因此极限为 \( \ln\left|\frac{1-x}{1+x}\right| \)。第四步：主值与边值的关系（Plemelj 公式）对柯西型积分 \( F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_ L \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \)，当 \( z \) 从左侧（沿法向）趋近 \( t_ 0 \in L \) 时，记极限为 \( F^+(t_ 0) \)，从右侧趋近时极限为 \( F^-(t_ 0) \)。Plemelj 公式给出： \[ F^+(t_ 0) = \frac{1}{2} f(t_ 0) + \frac{1}{2\pi i} P\int_ L \frac{f(\zeta)}{\zeta - t_ 0} d\zeta \] \[ F^-(t_ 0) = -\frac{1}{2} f(t_ 0) + \frac{1}{2\pi i} P\int_ L \frac{f(\zeta)}{\zeta - t_ 0} d\zeta \] 两式相减得跳跃关系：\( F^+(t_ 0) - F^-(t_ 0) = f(t_ 0) \)。两式相加得到：\( F^+(t_ 0) + F^-(t_ 0) = \frac{1}{\pi i} P\int_ L \frac{f(\zeta)}{\zeta - t_ 0} d\zeta \)。这说明柯西主值积分等于边界值的平均。第五步：在奇异积分方程中的应用柯西主值积分自然出现在奇异积分方程，例如希尔伯特变换： \[ H f(x) = \frac{1}{\pi} P\int_ {-\infty}^{\infty} \frac{f(t)}{t-x} dt \] 它在傅里叶分析中对应乘以 \(-i\, \mathrm{sgn}(\xi)\) 的乘子。在边值问题中，主值积分可用于求解带柯西核的积分方程。第六步：主值积分的推广主值概念可推广到高维奇异性积分，例如在 \( \mathbb{R}^n \) 中柯西主值定义为挖去以奇点为中心的小球（或对称区域）后的极限。在复分析中，主值积分是研究边值问题和奇异积分算子的基本工具。