复变函数的阿达马三圆定理
好的，我们现在开始学习“阿达马三圆定理”。这是一个关于全纯函数在同心圆环上最大模增长的重要定理，它揭示了函数在同心圆上最大模的对数是半径对数的凸函数。
第一步：定理的直观背景与描述
首先，想象一个在某个环形区域（比如两个同心圆之间的区域）上全纯的函数。我们很自然地会问：当半径变化时，函数在对应圆周上的最大绝对值（即最大模）是如何变化的？是线性增长、指数增长，还是其他形式？
阿达马三圆定理精确地刻画了这种关系。它断言：设函数 \(f(z)\) 在环形区域 \(R_1 \le |z| \le R_3\) 上全纯，记 \(M(r) = \max_{|z|=r} |f(z)|\) 为函数在半径为 \(r\) 的圆周上的最大模，其中 \(R_1 \le r \le R_3\)。那么，对任意满足 \(R_1 < R_2 < R_3\) 的中间半径 \(R_2\)，函数 \(\ln M(r)\) 是 \(\ln r\) 的凸函数。
用不等式形式表达，就是：
\[\ln M(R_2) \le \frac{\ln (R_3/R_2)}{\ln (R_3/R_1)} \ln M(R_1) + \frac{\ln (R_2/R_1)}{\ln (R_3/R_1)} \ln M(R_3) \]
这个不等式是三圆定理的核心。它意味着，如果你画出点 \((\ln R_1, \ln M(R_1))\)、\((\ln R_2, \ln M(R_2))\)、\((\ln R_3, \ln M(R_3))\) 在平面上，那么中间点不会高于连接两端点的直线。这就是“凸性”的几何意义。
第二步：一个关键辅助函数——用对数构造的全纯函数
为了证明这个定理，一个标准而巧妙的方法是构造一个辅助函数。核心思路是：我们希望将最大模 \(M(r)\) 的增长与一个调和函数（进而与全纯函数）联系起来，从而利用调和函数（或全纯函数）的极值性质。
具体构造如下：
- 由于 \(f(z)\) 在环形区域上全纯且不恒为零（若恒为零定理显然成立），我们可以考虑函数 \(g(z) = z^{\lambda} f(z)\)，其中 \(\lambda\) 是一个待定的实数。但更常见且精巧的方法是考虑函数 \(F(z) = z^\alpha [f(z)]^\beta\)，通过选择适当的指数来“平衡”增长。
- 实际上，标准证明通常引入函数 \(\Phi(z) = f(z) z^{-\mu}\)，并考虑其模的对数。但最清晰的方法是利用最大模原理的对数版本：定义函数
\[ u(z) = \ln |f(z)| + a \ln |z| + b \]
其中 \(a, b\) 是待定的实常数。注意，由于 \(f(z)\) 全纯且不为零（在环形区域上可能为零，但在圆周上取最大模的点附近我们可以处理），\(\ln |f(z)|\) 是调和函数（它是 \(\ln f(z)\) 的实部，而 \(\ln f(z)\) 在局部全纯分支上是全纯的）。同样，\(\ln |z|\) 也是调和的（它是 \(\ln z\) 的实部）。因此，\(u(z)\) 是调和函数。
第三步：调和函数与最大模原理的应用
调和函数在其区域的边界上达到最大值和最小值（最大最小值原理）。我们选择常数 \(a, b\)，使得 \(u(z)\) 在环形区域的两个边界圆周 \(|z|=R_1\) 和 \(|z|=R_3\) 上为常数。
设：
在 \(|z| = R_1\) 上，我们希望 \(u(z) = C_1\)（常数）。
在 \(|z| = R_3\) 上，我们希望 \(u(z) = C_3\)（常数）。
由于在边界圆周上，\(|z|\) 是常数，所以条件变为：
在 \(|z|=R_1\) 上：\(\ln |f(z)| + a \ln R_1 + b = C_1\)。但我们不直接设定 \(C_1\)，而是利用最大模 \(M(R_1)\)。实际上，在边界 \(|z|=R_1\) 上，有 \(\ln |f(z)| \le \ln M(R_1)\)，并且在某点达到等号。为了使 \(u(z)\) 在边界上为常数，我们需要 \(\ln |f(z)|\) 在整个圆周 \(|z|=R_1\) 上为常数。这通常不成立。这里的技巧是：我们不强求 \(u(z)\) 在整个边界圆周上为常数，而是利用“在边界上 \(u(z)\) 不大于一个常数”这一事实，并应用最大模原理于调和函数 \(u(z)\)。
标准构造是：选择常数 \(a, b\)，使得线性函数 \(a \ln r + b\) 在 \(r=R_1\) 和 \(r=R_3\) 处分别取值 \(\ln M(R_1)\) 和 \(\ln M(R_3)\)。即解方程组：
\[a \ln R_1 + b = \ln M(R_1) \]
\[ a \ln R_3 + b = \ln M(R_3) \]
解得：
\[a = \frac{\ln M(R_3) - \ln M(R_1)}{\ln R_3 - \ln R_1}, \quad b = \frac{\ln M(R_1) \ln R_3 - \ln M(R_3) \ln R_1}{\ln R_3 - \ln R_1} \]
然后，我们考虑调和函数：
\[U(z) = \ln |f(z)| - (a \ln |z| + b) \]
在环形区域的边界上：
- 当 \(|z| = R_1\) 时，\(a \ln |z| + b = a \ln R_1 + b = \ln M(R_1)\)。而 \(\ln |f(z)| \le \ln M(R_1)\)，所以 \(U(z) \le 0\)。
- 当 \(|z| = R_3\) 时，类似地，\(a \ln |z| + b = \ln M(R_3)\)，且 \(\ln |f(z)| \le \ln M(R_3)\)，所以 \(U(z) \le 0\)。
根据调和函数的最大值原理，在整个环形区域 \(R_1 \le |z| \le R_3\) 上，有 \(U(z) \le 0\)。即：
\[\ln |f(z)| \le a \ln |z| + b \]
特别地，在中间的圆周 \(|z| = R_2\) 上，任意点满足：
\[\ln |f(z)| \le a \ln R_2 + b \]
因此，最大模 \(M(R_2) = \max_{|z|=R_2} |f(z)|\) 满足：
\[\ln M(R_2) \le a \ln R_2 + b \]
将上面解出的 \(a, b\) 表达式代入 \(a \ln R_2 + b\)，经过代数化简，正好得到第一步中给出的不等式：
\[\ln M(R_2) \le \frac{\ln (R_3/R_2)}{\ln (R_3/R_1)} \ln M(R_1) + \frac{\ln (R_2/R_1)}{\ln (R_3/R_1)} \ln M(R_3) \]
这就是阿达马三圆定理。
第四步：定理的几何解释与推论
这个不等式的几何意义我们已经提到：点 \((\ln R, \ln M(R))\) 是上凸的（即函数 \(\ln M(e^t)\) 是 \(t\) 的凸函数）。这意味着最大模的增长速度是“受控的”，不会在中间半径处突然异常增大。一个直接的推论是：
\[M(R_2) \le M(R_1)^{1-\theta} M(R_3)^{\theta} \]
其中 \(\theta = \frac{\ln (R_2/R_1)}{\ln (R_3/R_1)}\)，满足 \(0 < \theta < 1\)。这个形式类似于赫尔德不等式，表明最大模在中间半径上被两端最大模的几何平均所控制。
第五步：一个经典应用举例——整函数的阶
阿达马三圆定理是研究整函数（在整个复平面上全纯的函数）增长性的基本工具。例如，用于定义和估计整函数的“阶”和“型”。
设 \(f(z)\) 是一个整函数。定义其最大模函数为 \(M(r) = \max_{|z|=r} |f(z)|\)。整函数的增长可以用 \(\ln M(r)\) 相对于 \(\ln r\) 的增长速度来衡量。应用三圆定理可以证明，极限 \(\limsup_{r \to \infty} \frac{\ln \ln M(r)}{\ln r}\)（如果存在）定义了函数的“阶” \(\rho\)。三圆定理的凸性保证了该上极限的稳定性，是研究整函数值分布理论（如皮卡定理、延森公式等）的重要基石。
总结来说，阿达马三圆定理通过调和函数的极值性质，将全纯函数在不同半径圆周上的最大模关联起来，给出了一个优美而强有力的不等式。它不仅是函数论中的一个经典结果，也是研究函数增长、奇点分布和解析不等式的重要工具。