平行公设的非欧几何模型 我们已讨论过“平行公设的历史发展与几何学革命”，现在我们将聚焦于其产生的具体几何模型。在认识到平行公设独立于其他公理后，数学家们构造了两种主要的“非欧几何”体系。我们将从最直观的模型开始，逐步构建其核心概念。 第一步：从公设陈述到否定 欧几里得第五公设（平行公设）的一种等价表述是：“过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。” 其否定有两种可能： 双曲几何假设 ：过直线外一点，存在至少两条直线与已知直线不相交（即“平行”线不止一条）。 椭圆几何假设 ：过直线外一点，不存在任何直线与已知直线不相交（即任何两条直线都相交）。 我们将首先深入讲解双曲几何的模型。 第二步：双曲几何的庞加莱圆盘模型 为了直观地“看见”双曲几何，数学家构建了多种模型。其中最著名、最便于可视化的是“庞加莱圆盘模型”。这个模型在一个固定的欧几里得圆盘内部，重新定义了“点”、“直线”、“距离”和“角度”。 “点” ：模型中的点，就是欧几里得圆盘内部（不包括边界）的所有点。 “直线”（测地线） ：有两种类型： a) 所有垂直于边界圆的欧几里得圆弧（在交点处与边界垂直）。 b) 所有通过圆心的欧几里得直线段（可视为半径为无穷大的圆弧特例）。 请想象一个圆盘，其内部的“直线”是那些以各种角度与边界垂直相交的圆弧。 关键性质 ：在这个定义下，给定一条“直线”L和其外一点P，你可以画出无数条通过P且不与L相交的“直线”（圆弧）。这正好符合“双曲几何假设”。那些与L相交于边界圆（无穷远点）的“直线”，在模型中被定义为与L“平行”。 第三步：双曲几何中的距离与角度 在庞加莱模型中，几何对象是欧几里得的，但“距离”并非用普通直尺测量。 距离公式 ：两点A、B之间的双曲距离d(A,B) 与它们在欧几里得平面上的距离不同。其定义保证了越靠近边界圆盘边缘，双曲距离变得越大（边界代表“无穷远”）。具体公式涉及复变函数，但直观上，边界是无限远的。 角度测量 ：一个巨大的便利是，在这个模型中，两条“直线”（即圆弧或直径）之间的 夹角，就等于它们在欧几里得意义下的夹角 （即交点处切线的夹角）。这使得角度测量与我们通常的量角器一致。 第四步：双曲几何的三角形内角和定理 这是双曲几何最著名的定理，与欧氏几何截然不同。 定理 ：在双曲几何中，任意三角形的内角和 小于 180度（π弧度）。 定量关系 ：三角形的面积A与其内角和Σ的亏值成正比： 面积 = k²(π - Σ) ，其中k是一个常数（与空间的曲率半径有关）。这意味着： 三角形面积越大，其内角和越小。 存在一个最大面积上限（当内角和趋于0时），但不存在相似三角形——两个三角形若对应角相等，则必定全等。 第五步：椭圆几何模型简介 作为平行公设的另一种否定，椭圆几何也有其模型。最常见的是“球面模型”，但需做一点修改（将球面上对径点视为同一点，此即“实投影平面”）。 “点”与“直线” ：在纯粹球面几何中，“点”是球面上的点，“直线”是大圆（过球心的平面与球面的交线）。此时，任何两个大圆都相交于两点（对径点）。 平行公设 ：显然，过“直线”（大圆）外一点，无法做出与之不相交的大圆。这符合“椭圆几何假设”。 内角和定理 ：在球面上，三角形的内角和 大于 180度。其面积公式为： 面积 = R²(Σ - π) ，其中R是球半径，Σ是内角和（弧度）。面积与角盈成正比。 第六步：高斯曲率的统一视角 这两种非欧几何与欧氏几何的根本区别在于“曲率”。 欧氏几何 ：对应 常曲率 K = 0 的空间（平面）。 双曲几何 ：对应 常负曲率 K = -1/k² 的空间（如庞加莱圆盘）。 椭圆几何 ：对应 常正曲率 K = 1/R² 的空间（如球面）。 平行公设是否成立、三角形内角和与180度的关系，都是由空间本身的常数曲率决定的。这三大类几何（欧氏、双曲、椭圆）构成了“常曲率几何”的完整分类。