量子力学中的Bogoliubov-de Gennes方程

字数 4063 2025-12-06 20:17:35

量子力学中的Bogoliubov-de Gennes方程

我将为您讲解量子力学中描述超导和超流等费米子凝聚体系的核心方程——Bogoliubov-de Gennes方程。我将从最基础的概念出发，逐步构建完整的数学图像。

第一步：从单粒子量子力学到多体问题的挑战
在标准量子力学中，单个粒子在势场中的行为由薛定谔方程 \(i\hbar\partial_t \psi = H \psi\) 描述，其中 \(H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\) 是单粒子哈密顿量。但对于由大量全同费米子（如电子）组成的多体系统，我们需要使用二次量子化语言。系统的哈密顿量一般形式为：

\[\hat{H} = \sum_{ij} h_{ij} c_i^\dagger c_j + \frac{1}{4} \sum_{ijkl} V_{ijkl} c_i^\dagger c_j^\dagger c_l c_k \]

其中 \(c_i^\dagger, c_i\) 是费米子产生湮灭算符，满足反对易关系 \(\{c_i, c_j^\dagger\} = \delta_{ij}\)。\(h_{ij}\) 是单粒子哈密顿量矩阵元，\(V_{ijkl}\) 是两体相互作用矩阵元。直接求解这个多体问题极其困难。

第二步：平均场近似与配对机制
对于超导和超流系统，关键的物理是库珀对（Cooper pair）的形成——两个费米子（通常动量相反、自旋相反）通过有效吸引相互作用形成束缚对。Bogoliubov 和 Valatin 提出，可采用平均场近似处理相互作用项：将四算符项近似分解为二算符项的平均值及其涨落，并忽略涨落的高阶项。具体地，我们引入反常平均（anomalous average）：

\[\Delta_{ij} \sim \langle c_i c_j \rangle, \quad \Delta_{ij}^* \sim \langle c_j^\dagger c_i^\dagger \rangle \]

这代表了费米子对的凝聚序参量。在平均场近似下，多体哈密顿量被近似为二次型（称为平均场哈密顿量）：

\[\hat{H}_{\text{MF}} = \sum_{ij} \left[ h_{ij} c_i^\dagger c_j + \frac{1}{2} \left( \Delta_{ij} c_i^\dagger c_j^\dagger + \Delta_{ij}^* c_j c_i \right) \right] + \text{常数项} \]

这个哈密顿量虽然仍是多体的，但因为是二次型，可以通过正则变换对角化。

第三步：BdG 哈密顿量的矩阵形式
\(\hat{H}_{\text{MF}}\) 是 \(c\) 和 \(c^\dagger\) 的二次型。为对角化它，我们将其写成紧凑的矩阵形式。定义Nambu旋量（或称粒子-空穴旋量）：

\[\Psi = \begin{pmatrix} c \\ c^\dagger \end{pmatrix}, \quad \Psi^\dagger = ( c^\dagger, c ) \]

其中 \(c\) 代表所有费米子湮灭算符构成的列向量。则平均场哈密顿量可写为：

\[\hat{H}_{\text{MF}} = \frac{1}{2} \Psi^\dagger \mathcal{H}_{\text{BdG}} \Psi + \text{常数} \]

这里 \(\mathcal{H}_{\text{BdG}}\) 是一个矩阵，其具体结构为：

\[\mathcal{H}_{\text{BdG}} = \begin{pmatrix} h & \Delta \\ -\Delta^* & -h^T \end{pmatrix} \]

其中：

\(h = h^\dagger\) 是单粒子哈密顿量矩阵（通常包含动能、势能、化学势项 \(h = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) - \mu\)，\(\mu\) 是化学势）；
\(\Delta\) 是配对势（能隙）矩阵，对于自旋1/2费米子，通常满足 \(\Delta = -\Delta^T\)（自旋单态配对）以确保整体反对称性；
\(-h^T\) 是 \(h\) 的转置的负值，这来自于粒子-空穴对称性。

这个矩阵 \(\mathcal{H}_{\text{BdG}}\) 就是Bogoliubov-de Gennes（BdG）哈密顿量。它是作用在由粒子分量和空穴分量组成的扩展空间（Nambu空间）上的有效单粒子哈密顿量。

第四步：BdG 方程的本征值问题
对角化 \(\hat{H}_{\text{MF}}\) 等价于求解 \(\mathcal{H}_{\text{BdG}}\) 的本征值问题。设本征态为：

\[\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} \]

满足 BdG 方程：

\[\mathcal{H}_{\text{BdG}} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} = E_n \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} \]

写成分量形式即：

\[\begin{cases} h u_n(\mathbf{r}) + \Delta(\mathbf{r}) v_n(\mathbf{r}) = E_n u_n(\mathbf{r}) \\ -\Delta^*(\mathbf{r}) u_n(\mathbf{r}) - h^T v_n(\mathbf{r}) = E_n v_n(\mathbf{r}) \end{cases} \]

这里 \(u_n(\mathbf{r})\) 和 \(v_n(\mathbf{r})\) 分别称为粒子分量波函数和空穴分量波函数，是坐标空间函数（或更一般地在某个单粒子基下展开的系数）。\(E_n\) 是准粒子激发能。

第五步：粒子-空穴对称性及其推论
BdG 哈密顿量具有内在的粒子-空穴对称性（PHS）。定义电荷共轭算符 \(\mathcal{C}\)（通常满足 \(\mathcal{C}^2 = 1\)），则 PHS 表示为：

\[\mathcal{C} \mathcal{H}_{\text{BdG}} \mathcal{C}^{-1} = -\mathcal{H}_{\text{BdG}}^* \]

在通常表示下，\(\mathcal{C} = \tau_x K\)（其中 \(\tau_x\) 是泡利矩阵，\(K\) 是复共轭）。这一对称性意味着：若 \(\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\) 是本征值为 \(E_n\) 的本征态，则 \(\begin{pmatrix} v_n^* \\ u_n^* \end{pmatrix}\) 必是本征值为 \(-E_n^*\) 的本征态。因此，BdG 的本征值总是以 \((E_n, -E_n^*)\) 成对出现。特别地，若 \(E_n\) 为实数，则本征值成对 \((\pm E_n)\) 出现；零能模（\(E=0\)）可能成为马约拉纳（Majorana）零模的载体。

第六步：自洽闭合条件
\(\Delta\) 矩阵并非外场，它本身由系统的基态决定。在平均场近似下，\(\Delta\) 必须满足自洽条件：

\[\Delta_{ij} = \sum_{kl} V_{ijkl} \langle c_k c_l \rangle \]

其中反常平均值 \(\langle c_k c_l \rangle\) 需要用 BdG 方程解出的准粒子基态来计算。对于 BCS 类型的局域配对相互作用 \(V_{ijkl} = -g \delta_{ik}\delta_{jl}\)，在连续极限下，自洽条件通常简化为：

\[\Delta(\mathbf{r}) = g \, \langle \psi_\uparrow(\mathbf{r}) \psi_\downarrow(\mathbf{r}) \rangle = g \sum_n \left[ u_n(\mathbf{r}) v_n^*(\mathbf{r}) (1 - f(E_n)) - v_n^*(\mathbf{r}) u_n(\mathbf{r}) f(-E_n) \right] \]

其中 \(f(E) = 1/(e^{\beta E}+1)\) 是费米分布函数。求解时需要先假设一个 \(\Delta(\mathbf{r})\)，解 BdG 方程得到本征态，再用自洽条件更新 \(\Delta(\mathbf{r})\)，迭代至收敛。这组BdG 方程 + 自洽条件构成了超导/超流序参量微观计算的完整框架。

第七步：应用与意义
BdG 方程是研究非均匀超导体（如涡旋、边界、杂质）、拓扑超导体（马约拉纳零模）、超流费米气体、以及介观超导纳米结构的标准工具。它将多体关联问题映射为一个有效的单粒子方程，但该单粒子方程作用在粒子-空穴双重空间上，本征值描述准粒子激发能隙。其数学结构属于Bogoliubov变换（您已学过的词条）的连续版本，是二次量子化哈密顿量对角化的典范形式。

量子力学中的Bogoliubov-de Gennes方程我将为您讲解量子力学中描述超导和超流等费米子凝聚体系的核心方程——Bogoliubov-de Gennes方程。我将从最基础的概念出发，逐步构建完整的数学图像。第一步：从单粒子量子力学到多体问题的挑战在标准量子力学中，单个粒子在势场中的行为由薛定谔方程 \( i\hbar\partial_ t \psi = H \psi \) 描述，其中 \( H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \) 是单粒子哈密顿量。但对于由大量全同费米子（如电子）组成的多体系统，我们需要使用二次量子化语言。系统的哈密顿量一般形式为： \[ \hat{H} = \sum_ {ij} h_ {ij} c_ i^\dagger c_ j + \frac{1}{4} \sum_ {ijkl} V_ {ijkl} c_ i^\dagger c_ j^\dagger c_ l c_ k \] 其中 \( c_ i^\dagger, c_ i \) 是费米子产生湮灭算符，满足反对易关系 \(\{c_ i, c_ j^\dagger\} = \delta_ {ij}\)。\( h_ {ij} \) 是单粒子哈密顿量矩阵元，\( V_ {ijkl} \) 是两体相互作用矩阵元。直接求解这个多体问题极其困难。第二步：平均场近似与配对机制对于超导和超流系统，关键的物理是库珀对（Cooper pair）的形成——两个费米子（通常动量相反、自旋相反）通过有效吸引相互作用形成束缚对。Bogoliubov 和 Valatin 提出，可采用平均场近似处理相互作用项：将四算符项近似分解为二算符项的平均值及其涨落，并忽略涨落的高阶项。具体地，我们引入反常平均（anomalous average）： \[ \Delta_ {ij} \sim \langle c_ i c_ j \rangle, \quad \Delta_ {ij}^* \sim \langle c_ j^\dagger c_ i^\dagger \rangle \] 这代表了费米子对的凝聚序参量。在平均场近似下，多体哈密顿量被近似为二次型（称为平均场哈密顿量）： \[ \hat{H} {\text{MF}} = \sum {ij} \left[ h_ {ij} c_ i^\dagger c_ j + \frac{1}{2} \left( \Delta_ {ij} c_ i^\dagger c_ j^\dagger + \Delta_ {ij}^* c_ j c_ i \right) \right ] + \text{常数项} \] 这个哈密顿量虽然仍是多体的，但因为是二次型，可以通过正则变换对角化。第三步：BdG 哈密顿量的矩阵形式 \(\hat{H} {\text{MF}}\) 是 \(c\) 和 \(c^\dagger\) 的二次型。为对角化它，我们将其写成紧凑的矩阵形式。定义 Nambu旋量（或称粒子-空穴旋量）： \[ \Psi = \begin{pmatrix} c \\ c^\dagger \end{pmatrix}, \quad \Psi^\dagger = ( c^\dagger, c ) \] 其中 \(c\) 代表所有费米子湮灭算符构成的列向量。则平均场哈密顿量可写为： \[ \hat{H} {\text{MF}} = \frac{1}{2} \Psi^\dagger \mathcal{H} {\text{BdG}} \Psi + \text{常数} \] 这里 \(\mathcal{H} {\text{BdG}}\) 是一个矩阵，其具体结构为： \[ \mathcal{H}_ {\text{BdG}} = \begin{pmatrix} h & \Delta \\ -\Delta^* & -h^T \end{pmatrix} \] 其中： \(h = h^\dagger\) 是单粒子哈密顿量矩阵（通常包含动能、势能、化学势项 \(h = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) - \mu\)，\(\mu\) 是化学势）； \(\Delta\) 是配对势（能隙）矩阵，对于自旋1/2费米子，通常满足 \(\Delta = -\Delta^T\)（自旋单态配对）以确保整体反对称性； \(-h^T\) 是 \(h\) 的转置的负值，这来自于粒子-空穴对称性。这个矩阵 \(\mathcal{H}_ {\text{BdG}}\) 就是 Bogoliubov-de Gennes（BdG）哈密顿量。它是作用在由粒子分量和空穴分量组成的扩展空间（Nambu空间）上的有效单粒子哈密顿量。第四步：BdG 方程的本征值问题对角化 \(\hat{H} {\text{MF}}\) 等价于求解 \(\mathcal{H} {\text{BdG}}\) 的本征值问题。设本征态为： \[ \begin{pmatrix} u_ n \\ v_ n \end{pmatrix} \] 满足 BdG 方程： \[ \mathcal{H}_ {\text{BdG}} \begin{pmatrix} u_ n \\ v_ n \end{pmatrix} = E_ n \begin{pmatrix} u_ n \\ v_ n \end{pmatrix} \] 写成分量形式即： \[ \begin{cases} h u_ n(\mathbf{r}) + \Delta(\mathbf{r}) v_ n(\mathbf{r}) = E_ n u_ n(\mathbf{r}) \\ -\Delta^* (\mathbf{r}) u_ n(\mathbf{r}) - h^T v_ n(\mathbf{r}) = E_ n v_ n(\mathbf{r}) \end{cases} \] 这里 \(u_ n(\mathbf{r})\) 和 \(v_ n(\mathbf{r})\) 分别称为粒子分量波函数和空穴分量波函数，是坐标空间函数（或更一般地在某个单粒子基下展开的系数）。\(E_ n\) 是准粒子激发能。第五步：粒子-空穴对称性及其推论 BdG 哈密顿量具有内在的粒子-空穴对称性（PHS）。定义电荷共轭算符 \(\mathcal{C}\)（通常满足 \(\mathcal{C}^2 = 1\)），则 PHS 表示为： \[ \mathcal{C} \mathcal{H} {\text{BdG}} \mathcal{C}^{-1} = -\mathcal{H} {\text{BdG}}^* \] 在通常表示下，\(\mathcal{C} = \tau_ x K\)（其中 \(\tau_ x\) 是泡利矩阵，\(K\) 是复共轭）。这一对称性意味着：若 \(\begin{pmatrix} u_ n \\ v_ n \end{pmatrix}\) 是本征值为 \(E_ n\) 的本征态，则 \(\begin{pmatrix} v_ n^* \\ u_ n^* \end{pmatrix}\) 必是本征值为 \(-E_ n^ \) 的本征态。因此，BdG 的本征值总是以 \((E_ n, -E_ n^ )\) 成对出现。特别地，若 \(E_ n\) 为实数，则本征值成对 \((\pm E_ n)\) 出现；零能模（\(E=0\)）可能成为马约拉纳（Majorana）零模的载体。第六步：自洽闭合条件 \(\Delta\) 矩阵并非外场，它本身由系统的基态决定。在平均场近似下，\(\Delta\) 必须满足自洽条件： \[ \Delta_ {ij} = \sum_ {kl} V_ {ijkl} \langle c_ k c_ l \rangle \] 其中反常平均值 \(\langle c_ k c_ l \rangle\) 需要用 BdG 方程解出的准粒子基态来计算。对于 BCS 类型的局域配对相互作用 \(V_ {ijkl} = -g \delta_ {ik}\delta_ {jl}\)，在连续极限下，自洽条件通常简化为： \[ \Delta(\mathbf{r}) = g \, \langle \psi_ \uparrow(\mathbf{r}) \psi_ \downarrow(\mathbf{r}) \rangle = g \sum_ n \left[ u_ n(\mathbf{r}) v_ n^ (\mathbf{r}) (1 - f(E_ n)) - v_ n^ (\mathbf{r}) u_ n(\mathbf{r}) f(-E_ n) \right ] \] 其中 \(f(E) = 1/(e^{\beta E}+1)\) 是费米分布函数。求解时需要先假设一个 \(\Delta(\mathbf{r})\)，解 BdG 方程得到本征态，再用自洽条件更新 \(\Delta(\mathbf{r})\)，迭代至收敛。这组 BdG 方程 + 自洽条件构成了超导/超流序参量微观计算的完整框架。第七步：应用与意义 BdG 方程是研究非均匀超导体（如涡旋、边界、杂质）、拓扑超导体（马约拉纳零模）、超流费米气体、以及介观超导纳米结构的标准工具。它将多体关联问题映射为一个有效的单粒子方程，但该单粒子方程作用在粒子-空穴双重空间上，本征值描述准粒子激发能隙。其数学结构属于 Bogoliubov变换（您已学过的词条）的连续版本，是二次量子化哈密顿量对角化的典范形式。