勒贝格可测函数的等度可测性与等度连续性的关系 首先，你需要明确“等度可测”与“等度连续”这两个概念的含义。 等度可测 设 \(\{f_ n\}\) 是定义在可测集 \(E \subset \mathbb{R}^d\) 上的一族勒贝格可测函数。如果对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在可测集 \(A \subset E\) 使得 \(m(E \setminus A) < \varepsilon\)，且在 \(A\) 上每个 \(f_ n\) 连续，则称 \(\{f_ n\}\) 是 等度可测 的。这是鲁津定理对函数族的推广，即一族函数可同时在一个“大”集上连续。 等度连续 设 \(\{f_ n\}\) 是定义在度量空间 \(X\) 上的一族函数。如果对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对所有 \(n\) 及任意 \(x, y \in X\) 满足 \(d(x,y) < \delta\)，都有 \(|f_ n(x) - f_ n(y)| < \varepsilon\)，则称 \(\{f_ n\}\) 是 等度连续 的。注意等度连续是比逐点连续更强的条件，它要求 \(\delta\) 对整族函数一致。 在一般可测函数族中，二者无必然关系 等度连续是关于函数值变化的“一致连续性”，依赖于定义域的拓扑结构。 等度可测是关于函数可测性的“一致逼近”，依赖于测度论结构。 即使 \(\{f_ n\}\) 在某个紧集上等度连续，它们仍可能不是等度可测的，因为等度可测要求存在一个“大”的可测集使所有函数同时连续，而等度连续不保证该集的存在。 特殊情形下的联系 若 \(\{f_ n\}\) 定义在紧区间 \([ a,b ]\) 上，且满足： (i) 每个 \(f_ n\) 勒贝格可测； (ii) \(\{f_ n\}\) 等度连续； (iii) \(\{f_ n\}\) 一致有界。 则由阿尔泽拉-阿斯科利定理，该函数族是 相对紧 的（在连续函数空间的一致拓扑下）。此时可利用鲁津定理的推广，证明存在一个“大”的可测子集，使所有 \(f_ n\) 在其上连续，即 等度可测 成立。但注意：等度连续本身不直接推出等度可测，需结合一致有界性与紧定义域。 反例 存在一族勒贝格可测函数 \(\{f_ n\}\) 是等度可测的，但不是等度连续的。例如，取 \(f_ n(x) = \sin(nx)\) 在 \([ 0,2\pi ]\) 上，它等度可测（因每个函数连续，自然满足定义），但当 \(n\) 很大时，振荡剧烈，不满足等度连续的一致 \(\delta\) 条件。 总之，等度可测性关注“测度意义下的一致逼近于连续函数”，等度连续性关注“函数值变化的一致性”，二者源自不同数学结构（测度 vs. 拓扑），在附加条件下才可建立联系。