傅里叶变换的谱密度与功率谱
字数 2814 2025-12-06 15:25:16

傅里叶变换的谱密度与功率谱

我们之前已经讨论过傅里叶变换本身，现在我们将聚焦于它的一个重要应用：如何用它来分析信号的频率成分强度，这引出了谱密度与功率谱的概念。我们从最简单的确定性信号开始，逐步推广到随机信号。

第一步：周期信号的傅里叶级数与功率
对于一个周期为 \(T\) 的确定性信号 \(x(t)\)，我们可以进行傅里叶级数展开：

\[x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 t}, \quad \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \]

其中，系数 \(c_n\) 表示了信号在频率 \(n\omega_0\) 处的“强度”。这个信号的（平均）功率定义为：

\[P = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt \]

利用傅里叶系数的正交性，可以得到帕塞瓦尔定理（对于周期信号）：

\[P = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 \]

这个公式至关重要，它告诉我们信号的总功率等于其所有频率分量功率（即 \(|c_n|^2\)）之和。这里的 \(|c_n|^2\) 就可以看作是在离散频率点 \(n\omega_0\) 上的功率谱。

第二步：非周期信号的傅里叶变换与能量谱密度
对于能量有限的非周期信号 \(x(t)\)（即 \(\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt < \infty\)），我们使用傅里叶变换：

\[X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t} dt \]

对应的帕塞瓦尔定理形式为：

\[\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega \]

左边是信号的总能量。右边对频率的积分给出了总能量，因此被积函数 \(S_{xx}(\omega) = |X(\omega)|^2\) 具有“能量密度”的量纲，它描述了单位频率带宽内包含的能量。我们称 \(S_{xx}(\omega)\) 为信号的能量谱密度。它告诉我们在频率 \(\omega\) 附近，信号的能量有多少。

第三步：功率有限信号与功率谱密度
很多物理信号（如持续的光波、热噪声）的能量是无限的（因为时间持续无限长），但平均功率是有限的。对于这类平稳信号，我们无法直接定义傅里叶变换。处理方法是先考虑信号在有限时间窗 \([-T/2, T/2]\) 内的截断 \(x_T(t)\)，计算其傅里叶变换 \(X_T(\omega)\) 和能量谱密度 \(|X_T(\omega)|^2\)。然后，我们定义信号的功率谱密度 为：

\[S_{xx}(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \mathbb{E} \left[ |X_T(\omega)|^2 \right] \]

这里引入了两个关键操作：

  1. 除以 \(T\) ：将能量谱转化为平均功率谱。
  2. 取期望 \(\mathbb{E}[\cdot]\) ：这对于随机信号至关重要。对于确定性信号，期望可以省略。但对于随机信号（如噪声），其频谱本身也是随机的，我们需要对其幅值平方做统计平均（期望），才能得到一个稳定的、表征其统计特性的频率分布。

因此，功率谱密度 \(S_{xx}(\omega)\) 的物理意义是：信号在单位频率带宽内所携带的平均功率。其单位是 \(\text{W/Hz}\)。

第四步：维纳-辛钦定理——功率谱的第二种定义
对于宽平稳随机过程 \(x(t)\)，其统计特性不随时间平移而改变。我们可以定义其自相关函数：

\[R_{xx}(\tau) = \mathbb{E}[x^*(t) x(t+\tau)] \]

它描述了信号在时间 \(t\) 和 \(t+\tau\) 两个时刻取值之间的关联程度。维纳-辛钦定理指出，宽平稳随机过程的功率谱密度 \(S_{xx}(\omega)\) 是其自相关函数 \(R_{xx}(\tau)\) 的傅里叶变换：

\[S_{xx}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R_{xx}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \]

反过来，自相关函数也是功率谱密度的傅里叶逆变换。这个定理极其重要，因为它：

  1. 提供了计算功率谱的第二种途径：先估计自相关函数，再做傅里叶变换。这在工程和物理中非常实用。
  2. 揭示了时域与频域统计特性的联系：时域的“记忆性”（自相关）直接决定了频域的功率分布。
  3. 是分析随机微分方程和噪声的理论基础。

第五步：互功率谱密度
当我们研究两个不同的随机信号 \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 时，可以定义互功率谱密度：

\[S_{xy}(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \mathbb{E} \left[ X_T^*(\omega) Y_T(\omega) \right] = \int_{-\infty}^{\infty} R_{xy}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \]

其中 \(R_{xy}(\tau) = \mathbb{E}[x^*(t) y(t+\tau)]\) 是互相关函数。互谱密度 \(S_{xy}(\omega)\) 一般是复函数，它的模值表示两个信号在频率 \(\omega\) 处的共同功率大小，而其相位则反映了两个信号在该频率下的相对相位延迟。它是分析系统频率响应、相干性等问题的重要工具。

总结
从周期信号的离散功率谱，到非周期能量信号的连续能量谱密度，再到功率有限（尤其是随机）信号的功率谱密度，傅里叶分析为我们提供了一套完整的工具来“看到”信号的频率成分及其强度分布。功率谱密度 \(S_{xx}(\omega)\) 是其核心概念，它通过期望和平均操作（\(\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathbb{E}[\cdot]\)）或维纳-辛钦定理（对自相关函数做傅里叶变换）来精确定义，是分析随机波动、噪声、湍流、信号处理等众多领域中不可或缺的基本量。

傅里叶变换的谱密度与功率谱 我们之前已经讨论过傅里叶变换本身，现在我们将聚焦于它的一个重要应用：如何用它来分析信号的频率成分强度，这引出了谱密度与功率谱的概念。我们从最简单的确定性信号开始，逐步推广到随机信号。 第一步：周期信号的傅里叶级数与功率 对于一个周期为 \( T \) 的确定性信号 \( x(t) \)，我们可以进行傅里叶级数展开： \[ x(t) = \sum_ {n=-\infty}^{\infty} c_ n e^{i n \omega_ 0 t}, \quad \omega_ 0 = \frac{2\pi}{T} \] 其中，系数 \( c_ n \) 表示了信号在频率 \( n\omega_ 0 \) 处的“强度”。这个信号的（平均）功率定义为： \[ P = \frac{1}{T} \int_ {-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt \] 利用傅里叶系数的正交性，可以得到 帕塞瓦尔定理 （对于周期信号）： \[ P = \sum_ {n=-\infty}^{\infty} |c_ n|^2 \] 这个公式至关重要，它告诉我们信号的总功率等于其所有频率分量功率（即 \( |c_ n|^2 \)）之和。这里的 \( |c_ n|^2 \) 就可以看作是在离散频率点 \( n\omega_ 0 \) 上的 功率谱 。 第二步：非周期信号的傅里叶变换与能量谱密度 对于能量有限的非周期信号 \( x(t) \)（即 \( \int_ {-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt < \infty \)），我们使用傅里叶变换： \[ X(\omega) = \int_ {-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t} dt \] 对应的帕塞瓦尔定理形式为： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega \] 左边是信号的总能量。右边对频率的积分给出了总能量，因此被积函数 \( S_ {xx}(\omega) = |X(\omega)|^2 \) 具有“能量密度”的量纲，它描述了单位频率带宽内包含的能量。我们称 \( S_ {xx}(\omega) \) 为信号的 能量谱密度 。它告诉我们在频率 \( \omega \) 附近，信号的能量有多少。 第三步：功率有限信号与功率谱密度 很多物理信号（如持续的光波、热噪声）的能量是无限的（因为时间持续无限长），但平均功率是有限的。对于这类 平稳信号 ，我们无法直接定义傅里叶变换。处理方法是先考虑信号在有限时间窗 \([ -T/2, T/2]\) 内的截断 \( x_ T(t) \)，计算其傅里叶变换 \( X_ T(\omega) \) 和能量谱密度 \( |X_ T(\omega)|^2 \)。然后，我们定义信号的 功率谱密度 为： \[ S_ {xx}(\omega) = \lim_ {T \to \infty} \frac{1}{T} \mathbb{E} \left[ |X_ T(\omega)|^2 \right ] \] 这里引入了两个关键操作： 除以 \( T \) ：将能量谱转化为平均功率谱。 取期望 \( \mathbb{E}[ \cdot] \) ：这对于随机信号至关重要。对于确定性信号，期望可以省略。但对于随机信号（如噪声），其频谱本身也是随机的，我们需要对其幅值平方做统计平均（期望），才能得到一个稳定的、表征其统计特性的频率分布。 因此，功率谱密度 \( S_ {xx}(\omega) \) 的物理意义是： 信号在单位频率带宽内所携带的平均功率 。其单位是 \( \text{W/Hz} \)。 第四步：维纳-辛钦定理——功率谱的第二种定义 对于 宽平稳随机过程 \( x(t) \)，其统计特性不随时间平移而改变。我们可以定义其 自相关函数 ： \[ R_ {xx}(\tau) = \mathbb{E}[ x^* (t) x(t+\tau) ] \] 它描述了信号在时间 \( t \) 和 \( t+\tau \) 两个时刻取值之间的关联程度。 维纳-辛钦定理 指出，宽平稳随机过程的功率谱密度 \( S_ {xx}(\omega) \) 是其自相关函数 \( R_ {xx}(\tau) \) 的傅里叶变换： \[ S_ {xx}(\omega) = \int_ {-\infty}^{\infty} R_ {xx}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \] 反过来，自相关函数也是功率谱密度的傅里叶逆变换。这个定理极其重要，因为它： 提供了计算功率谱的第二种途径 ：先估计自相关函数，再做傅里叶变换。这在工程和物理中非常实用。 揭示了时域与频域统计特性的联系 ：时域的“记忆性”（自相关）直接决定了频域的功率分布。 是分析随机微分方程和噪声的理论基础 。 第五步：互功率谱密度 当我们研究两个不同的随机信号 \( x(t) \) 和 \( y(t) \) 时，可以定义 互功率谱密度 ： \[ S_ {xy}(\omega) = \lim_ {T \to \infty} \frac{1}{T} \mathbb{E} \left[ X_ T^ (\omega) Y_ T(\omega) \right] = \int_ {-\infty}^{\infty} R_ {xy}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \] 其中 \( R_ {xy}(\tau) = \mathbb{E}[ x^ (t) y(t+\tau)] \) 是互相关函数。互谱密度 \( S_ {xy}(\omega) \) 一般是复函数，它的模值表示两个信号在频率 \( \omega \) 处的共同功率大小，而其相位则反映了两个信号在该频率下的相对相位延迟。它是分析系统频率响应、相干性等问题的重要工具。 总结 从周期信号的离散功率谱，到非周期能量信号的连续能量谱密度，再到功率有限（尤其是随机）信号的功率谱密度，傅里叶分析为我们提供了一套完整的工具来“看到”信号的频率成分及其强度分布。 功率谱密度 \( S_ {xx}(\omega) \) 是其核心概念，它通过 期望和平均操作 （\( \lim_ {T\to\infty} \frac{1}{T} \mathbb{E}[ \cdot] \)）或 维纳-辛钦定理 （对自相关函数做傅里叶变换）来精确定义，是分析随机波动、噪声、湍流、信号处理等众多领域中不可或缺的基本量。