平行曲面的高斯映射与第三基本形式 我们先回顾相关背景：曲面的 高斯映射 （Gauss map）是将曲面上的每一点映射到该点处的单位法向量，该法向量可视作单位球面上的点。而曲面的 第三基本形式 定义为曲面在高斯映射下的拉回度量。对于平行曲面，其高斯映射与第三基本形式和原曲面有紧密联系。 高斯映射的定义 设曲面 \(S: \mathbf{r}(u,v)\) 有单位法向量 \(\mathbf{n}(u,v)\)。高斯映射 \(G: S \to S^2\) 定义为 \(G(p) = \mathbf{n}(p)\)，即将点 \(p\) 映到单位球面 \(S^2\) 上对应法向量的点。高斯映射的微分 \(dG\) 是一个从曲面切空间到球面切空间的线性映射。 第三基本形式的定义 曲面 \(S\) 的第三基本形式定义为： \[ \mathrm{III} = d\mathbf{n} \cdot d\mathbf{n} \] 在局部坐标下，若记 \(d\mathbf{n} = \mathbf{n}_ u du + \mathbf{n}_ v dv\)，则 \[ \mathrm{III} = e\,du^2 + 2f\,du\,dv + g\,dv^2, \] 其中 \(e = \mathbf{n}_ u \cdot \mathbf{n}_ u,\; f = \mathbf{n}_ u \cdot \mathbf{n}_ v,\; g = \mathbf{n}_ v \cdot \mathbf{n}_ v\)。 注意：\(\mathbf{n}_ u,\mathbf{n}_ v\) 可由曲面的第二基本形式系数和第一基本形式系数表示（通过 Weingarten 方程）。 平行曲面的高斯映射 给定曲面 \(S\) 及其平行曲面 \(S_ t: \mathbf{r}_ t = \mathbf{r} + t\mathbf{n}\)，其中 \(t\) 为常数。可以证明，\(S_ t\) 在点 \(\mathbf{r}_ t(u,v)\) 处的单位法向量与 \(S\) 在对应点 \(\mathbf{r}(u,v)\) 处的单位法向量相同（当 \(t\) 小于主曲率半径时），即 \[ \mathbf{n}_ t(u,v) = \mathbf{n}(u,v)。 \] 因此， 平行曲面与原曲面具有完全相同的高斯映射 （映射的像相同）。 平行曲面的第三基本形式 由于 \(\mathbf{n}_ t = \mathbf{n}\)，立即有 \(d\mathbf{n}_ t = d\mathbf{n}\)，因此平行曲面 \(S_ t\) 的第三基本形式与原曲面 \(S\) 的第三基本形式完全一致： \[ \mathrm{III}_ t = \mathrm{III}。 \] 这反映了第三基本形式仅依赖于法向量的变化，而平行移动不改变法向量的变化方式（只改变了曲面点的位置）。 三个基本形式的关系 对任意曲面，三个基本形式满足一个线性关系： \[ \mathrm{III} - 2H\,\mathrm{II} + K\,\mathrm{I} = 0, \] 其中 \(H\) 是平均曲率，\(K\) 是高斯曲率，\(\mathrm{I}\)、\(\mathrm{II}\) 分别为第一、第二基本形式。 对于平行曲面，我们已知其高斯曲率 \(K_ t\) 和平均曲率 \(H_ t\) 与原曲面 \(K, H\) 的关系（之前已讲过的平行曲面的主曲率关系可推出），且 \(\mathrm{I}_ t\) 和 \(\mathrm{II}_ t\) 也有表达式。但无论 \(t\) 如何，上述关系对 \(S_ t\) 同样成立，并且由于 \(\mathrm{III}_ t = \mathrm{III}\)，我们可以将原曲面的 \(\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}\) 代入，验证这个恒等式在平行变换下的一致性。 总结：平行曲面的高斯映射与原曲面相同，因而它们的第三基本形式完全一致。这体现了第三基本形式在高斯映射下的内在性，它不依赖于曲面的具体位置，只取决于法方向的变分。