久期与凸性（Duration and Convexity）
字数 2706 2025-12-06 12:26:22

久期与凸性（Duration and Convexity）

好的，我们来系统学习“久期与凸性”这一金融数学核心概念。这个概念是理解和量化利率风险的基础工具，尤其在固定收益证券分析与资产负债管理中至关重要。我会从最基本的概念开始，逐步深入，确保每一步都清晰明了。

第一步：基础概念与背景——为什么要衡量利率风险？

想象你持有一张国债或公司债券，其价格会随市场利率的波动而波动。这是债券投资最主要的价格风险来源，即利率风险。我们需要一个精确的工具来衡量“当利率变化时，债券价格会变化多少”。一个直观但粗糙的想法是用价格P对收益率y求一阶导数。但这有个问题：不同价格的债券，其价格变化的绝对数值没有可比性。我们需要一个能标准化、反映价格相对变化百分比（或百分比变化）的指标。这就引出了“久期”的概念。

第二步：麦考利久期（Macaulay Duration）——加权平均回款时间

  1. 核心思想：麦考利久期（由弗雷德里克·麦考利在1938年提出）从另一个视角看问题。它将债券视为一系列未来现金流（Coupon和Face Value）的组合。久期被定义为收到所有现金流的加权平均时间，权重是各现金流现值在债券总现值（即价格）中所占的比例。

  2. 数学定义：对于一个每年支付m次利息、期限为N年、面值为F、年票息率为c、到期收益率为y（年化，每期收益率为y/m）的债券，其价格P为：
    P = Σ_{t=1}^{mN} (cF/m) / (1 + y/m)^t + F / (1 + y/m)^{mN}
    麦考利久期D_Mac的计算公式为：
    D_Mac = [ Σ_{t=1}^{mN} t * (PV(CF_t) / P) ] / m
    其中，PV(CF_t)是第t期现金流的现值。除以m是为了将“期数”转换回“年”为单位。

  3. 直观理解：

    • 零息债券的麦考利久期等于其剩余到期年限，因为它只在到期时有一次现金流。
    • 付息债券的麦考利久期短于其剩余到期年限，因为前期收到的票息降低了加权平均时间。
    • 久期是债券价格对利率风险的“有效”敏感度的第一个维度，它衡量了时间的集中度。久期越长，意味着资金被锁定的平均时间越长，面临利率不确定性的时间窗口就越长，因此利率风险越大。

第三步：修正久期（Modified Duration）——价格利率敏感性的核心度量

麦考利久期的时间概念很直观，但我们最终关心的是价格变化。通过对债券价格公式关于收益率y求一阶导数，并进行标准化，就能得到与价格变化百分比直接相关的指标。

  1. 数学推导：
    债券价格P是收益率y的函数。对P关于y求导，并两边同时除以P，可得：
    (dP/P) / dy = - (1/(1+y/m)) * D_Mac
    我们定义修正久期 D_Mod 为：
    D_Mod = D_Mac / (1 + y/m)

  2. 核心公式与解释：
    于是，我们得到债券价格百分比变化与收益率变化之间的一阶近似（线性近似） 关系：
    ΔP/P ≈ - D_Mod * Δy
    这个公式是利率风险管理的基石。

    • 负号：价格与收益率变动方向相反。
    • D_Mod：表示收益率每变动1个百分点（100个基点，即 Δy=0.01），债券价格大约变动的百分比。例如，D_Mod=5，意味着若收益率上升1%，债券价格大约下跌5%。
    • 修正久期直接量化了利率风险。比较两只债券，修正久期更长的债券，其价格对利率变化更敏感。

第四步：凸性（Convexity）——对线性近似的二阶修正

修正久期只给出了一个线性近似。但在现实中，债券价格与收益率的关系是一条凸向原点的曲线，而非直线。当利率变动较大时，仅用久期估计价格变化会产生显著误差。凸性就是用来衡量和修正这个曲率的指标。

  1. 数学定义：
    凸性C是债券价格对收益率的二阶导数，再进行标准化：
    C = (1/P) * (d²P/dy²)
    更具体地，对于定期付息债券：
    C = [1/(P*(1+y/m)²)] * Σ_{t=1}^{mN} [ t(t+1/m) * PV(CF_t) ]

  2. 核心公式与解释：
    考虑凸性后，价格百分比变化的二阶近似（泰勒展开到二阶）为：
    ΔP/P ≈ - D_Mod * Δy + (1/2) * C * (Δy)²

    • 凸性的值通常为正（对不含选择权的普通债券），这意味着无论利率上升还是下降，公式右边的第二项(1/2)C(Δy)^2总是正的。这揭示了一个关键性质：在相同久期下，凸性越大的债券，在利率下跌时价格上涨得更多，在利率上涨时价格下跌得更少。这是一种“涨多跌少”的有利特性，因此投资者通常偏好高凸性的债券。

  3. 图形理解：
    在价格-收益率平面上，久期是曲线上某点切线的斜率（负值），而凸性是切线的曲率。久期估计是沿着切线移动，而凸性修正了切线低估真实价格（在曲线上方）的部分。

第五步：应用、扩展与局限性

  1. 组合久期与凸性：一个债券投资组合的久期和凸性等于组合内各债券久期和凸性的加权平均，权重为各债券市值占组合总市值的比例。这是进行资产配置和利率风险对冲的基础。

  2. 关键利率久期：修正久期假设整条收益率曲线平行移动。现实中，曲线可能发生非平行形变。关键利率久期衡量的是债券价格对收益率曲线上特定关键期限利率变动的敏感性，提供了更精细的风险剖析。

  3. 有效久期与有效凸性：对于内嵌期权的债券（如可赎回债券、可回售债券），其现金流会随利率变化而变化，传统的公式失效。此时需要通过估值模型（如二叉树模型）计算利率微小变动下的价格变化来估算，由此得出的称为“有效久期”和“有效凸性”。

  4. 免疫策略：这是久期概念的核心应用。金融机构（如养老金、保险公司）可以使其资产的久期与负债的久期相匹配，从而在利率发生较小变动时，资产和负债的价值变动相互抵消，使净资产免受利率风险影响。为了实现更精确的匹配，通常还需要匹配凸性。

  5. 局限性：

    • 久期模型基于收益率曲线的平行移动假设，这与现实常不符。
    • 它是一个局部度量，只在收益率发生微小变化（“一阶”变化）时较为准确。凸性提供了“二阶”修正，但在市场大幅波动时仍可能不够精确。
    • 它假设收益率变化时，债券的现金流是固定的（不含期权债券）。

总结：
久期（尤其是修正久期）和凸性是固定收益分析中衡量和管理利率风险的一对核心工具。久期提供了价格对利率敏感性的一阶（线性）估计，如同衡量“速度”；凸性提供了二阶（曲率）修正，如同衡量“加速度”。理解并运用这对工具，是进行债券估值、风险管理和构建免疫策略的基石。

久期与凸性（Duration and Convexity） 好的，我们来系统学习“久期与凸性”这一金融数学核心概念。这个概念是理解和量化利率风险的基础工具，尤其在固定收益证券分析与资产负债管理中至关重要。我会从最基本的概念开始，逐步深入，确保每一步都清晰明了。 第一步：基础概念与背景——为什么要衡量利率风险？ 想象你持有一张国债或公司债券，其价格会随市场利率的波动而波动。这是债券投资最主要的 价格风险 来源，即 利率风险 。我们需要一个精确的工具来衡量“当利率变化时，债券价格会变化多少”。一个直观但粗糙的想法是用价格P对收益率y求一阶导数。但这有个问题：不同价格的债券，其价格变化的绝对数值没有可比性。我们需要一个能标准化、反映价格相对变化百分比（或百分比变化）的指标。这就引出了“久期”的概念。 第二步：麦考利久期（Macaulay Duration）——加权平均回款时间 核心思想 ：麦考利久期（由弗雷德里克·麦考利在1938年提出）从另一个视角看问题。它将债券视为一系列未来现金流（Coupon和Face Value）的组合。久期被定义为 收到所有现金流的加权平均时间 ，权重是 各现金流现值在债券总现值（即价格）中所占的比例 。 数学定义 ：对于一个每年支付m次利息、期限为N年、面值为F、年票息率为c、到期收益率为y（年化，每期收益率为y/m）的债券，其价格P为： P = Σ_ {t=1}^{mN} (cF/m) / (1 + y/m)^t + F / (1 + y/m)^{mN} 麦考利久期D_ Mac的计算公式为： D_ Mac = [ Σ_ {t=1}^{mN} t * (PV(CF_ t) / P) ] / m 其中，PV(CF_ t)是第t期现金流的现值。除以m是为了将“期数”转换回“年”为单位。 直观理解 ： 零息债券的麦考利久期等于其剩余到期年限，因为它只在到期时有一次现金流。 付息债券的麦考利久期短于其剩余到期年限，因为前期收到的票息降低了加权平均时间。 久期是债券价格对利率风险的“有效”敏感度的第一个维度，它衡量了时间的集中度 。久期越长，意味着资金被锁定的平均时间越长，面临利率不确定性的时间窗口就越长，因此 利率风险越大 。 第三步：修正久期（Modified Duration）——价格利率敏感性的核心度量 麦考利久期的时间概念很直观，但我们最终关心的是价格变化。通过对债券价格公式关于收益率y求一阶导数，并进行标准化，就能得到与价格变化百分比直接相关的指标。 数学推导 ： 债券价格P是收益率y的函数。对P关于y求导，并两边同时除以P，可得： (dP/P) / dy = - (1/(1+y/m)) * D_ Mac 我们定义 修正久期 D_ Mod 为： D_ Mod = D_ Mac / (1 + y/m) 核心公式与解释 ： 于是，我们得到债券价格百分比变化与收益率变化之间的 一阶近似（线性近似） 关系： ΔP/P ≈ - D_ Mod * Δy 这个公式是利率风险管理的基石。 负号 ：价格与收益率变动方向相反。 D_ Mod ：表示收益率每变动1个百分点（100个基点，即 Δy=0.01），债券价格大约变动的百分比。例如，D_ Mod=5，意味着若收益率上升1%，债券价格大约下跌5%。 修正久期直接量化了利率风险。比较两只债券，修正久期更长的债券，其价格对利率变化更敏感。 第四步：凸性（Convexity）——对线性近似的二阶修正 修正久期只给出了一个线性近似。但在现实中，债券价格与收益率的关系是一条 凸向原点 的曲线，而非直线。当利率变动较大时，仅用久期估计价格变化会产生显著误差。凸性就是用来衡量和修正这个曲率的指标。 数学定义 ： 凸性C是债券价格对收益率的二阶导数，再进行标准化： C = (1/P) * (d²P/dy²) 更具体地，对于定期付息债券： C = [ 1/(P* (1+y/m)²)] * Σ_ {t=1}^{mN} [ t(t+1/m) * PV(CF_ t) ] 核心公式与解释 ： 考虑凸性后，价格百分比变化的二阶近似（泰勒展开到二阶）为： ΔP/P ≈ - D_ Mod * Δy + (1/2) * C * (Δy)² 凸性的值通常为正 （对不含选择权的普通债券），这意味着无论利率上升还是下降，公式右边的第二项(1/2) C (Δy)^2总是正的。这揭示了一个关键性质：在相同久期下， 凸性越大的债券，在利率下跌时价格上涨得更多，在利率上涨时价格下跌得更少 。这是一种“涨多跌少”的有利特性，因此投资者通常偏好高凸性的债券。 图形理解 ： 在价格-收益率平面上，久期是曲线上某点切线的斜率（负值），而凸性是切线的曲率。久期估计是沿着切线移动，而凸性修正了切线低估真实价格（在曲线上方）的部分。 第五步：应用、扩展与局限性 组合久期与凸性 ：一个债券投资组合的久期和凸性等于组合内各债券久期和凸性的加权平均，权重为各债券市值占组合总市值的比例。这是进行资产配置和利率风险对冲的基础。 关键利率久期 ：修正久期假设整条收益率曲线平行移动。现实中，曲线可能发生非平行形变。关键利率久期衡量的是债券价格对收益率曲线上 特定关键期限 利率变动的敏感性，提供了更精细的风险剖析。 有效久期与有效凸性 ：对于内嵌期权的债券（如可赎回债券、可回售债券），其现金流会随利率变化而变化，传统的公式失效。此时需要通过估值模型（如二叉树模型）计算利率微小变动下的价格变化来估算，由此得出的称为“有效久期”和“有效凸性”。 免疫策略 ：这是久期概念的核心应用。金融机构（如养老金、保险公司）可以使其资产的久期与负债的久期相匹配，从而在利率发生较小变动时，资产和负债的价值变动相互抵消，使净资产免受利率风险影响。为了实现更精确的匹配，通常还需要匹配凸性。 局限性 ： 久期模型基于 收益率曲线的平行移动 假设，这与现实常不符。 它是一个 局部度量 ，只在收益率发生微小变化（“一阶”变化）时较为准确。凸性提供了“二阶”修正，但在市场大幅波动时仍可能不够精确。 它假设收益率变化时，债券的现金流是固定的（不含期权债券）。 总结 ： 久期（尤其是修正久期）和凸性是固定收益分析中衡量和管理利率风险的一对核心工具。久期提供了价格对利率敏感性的 一阶（线性）估计 ，如同衡量“速度”；凸性提供了 二阶（曲率）修正 ，如同衡量“加速度”。理解并运用这对工具，是进行债券估值、风险管理和构建免疫策略的基石。