代数几何中的态射
好的，我们来系统地学习代数几何中的一个核心概念——态射。我会从最基本、最直观的例子开始，逐步深入到其抽象定义和不同层次的性质。
第一步：从函数到多项式映射
理解“态射”，首先需要摆脱“函数仅仅是数字到数字的映射”的思维定式。
- 回顾最简单的函数：在中学，我们学的函数是 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，比如 \(f(x) = x^2 + 1\)。它将一个实数映射为另一个实数。
- 推广到多项式映射：现在我们考虑平面到平面的映射。例如，考虑映射：
\[ \phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad (x, y) \mapsto (x^2 - y, xy + 1) \]
这个映射的每个坐标分量（第一坐标和第二坐标）都是由变量 \(x, y\) 的多项式给出的。我们称之为多项式映射。
3. 核心观察：一个多项式映射 \(\phi = (f_1, f_2)\) 自然地诱导了一个操作：它可以把定义在目标平面 \(\mathbb{R}^2\) 上的多项式函数，“拉回”到定义在源平面 \(\mathbb{R}^2\) 上的多项式函数。具体来说，如果目标平面上有一个多项式函数 \(g(u, v) = u + v\)，那么通过复合，我们得到源平面上的一个函数：
\[ g \circ \phi (x, y) = g(f_1(x, y), f_2(x, y)) = (x^2 - y) + (xy + 1) \]
这依然是一个多项式。所以，\(\phi\) 诱导了一个映射（称为拉回映射）：
\[ \phi^*: \mathbb{R}[u, v] \to \mathbb{R}[x, y], \quad g \mapsto g \circ \phi \]
它是多项式环之间的一个**代数同态**。
这个“由多项式给出，并诱导多项式环同态”的特性，是态射思想的萌芽。
第二步：从多项式映射到仿射簇的态射
代数几何研究的主要对象不是整个欧几里得空间，而是由多项式方程组定义的几何图形，称为仿射代数簇。
- 定义仿射簇：设 \(X \subset \mathbb{R}^n\) 是由多项式方程组 \(\{h_1=0, h_2=0, ...\}\) 定义的集合。例如，单位圆 \(X = \{(x, y) | x^2 + y^2 - 1 = 0\}\)。
- 态射的定义（仿射情形）：设 \(X \subset \mathbb{R}^m\) 和 \(Y \subset \mathbb{R}^n\) 是两个仿射簇。一个映射 \(\phi: X \to Y\) 被称为态射（或称正则映射），如果存在一个多项式映射 \(F: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\)，使得：
- \(F\) 限制在 \(X\) 上等于 \(\phi\)，即 \(\phi = F|_X\)。
- \(F\) 的像落在 \(Y\) 内，即 \(F(X) \subset Y\)。
- 例子：考虑单位圆 \(X = \{x^2+y^2=1\}\) 到抛物线 \(Y = \{v = u^2\} \subset \mathbb{R}^2\) 的映射，定义为 \(\phi(x, y) = (x, y+1)\)。我们可以取多项式映射 \(F(x, y) = (x, y+1)\)。显然，对于圆上的点 \((x, y)\)，有 \(F(x, y) = (x, y+1)\) 满足 \(v = (y+1) = (?) \)。等等，我们需要验证它落在 \(Y\) 上吗？实际上，\((x, y+1)\) 的第二个坐标是 \(y+1\)，它的平方是 \((y+1)^2\)，而 \(u^2 = x^2\)。由于在圆上 \(x^2 = 1 - y^2\)，所以一般 \(x^2 \ne (y+1)^2\)。所以这个 \(F\) 并不是有效的提升。一个有效的例子是 \(\phi(x, y) = (x, y)\)，即从单位圆到自身的恒等映射，它显然可以由 \(F(x, y) = (x, y)\) 给出。
- 关键视角（坐标环）：与第一步类似，一个态射 \(\phi: X \to Y\) 诱导了它们坐标环之间的一个代数同态（拉回）：
\[ \phi^*: \mathbb{R}[Y] \to \mathbb{R}[X], \quad f \mapsto f \circ \phi \]
这里，\(\mathbb{R}[X] = \mathbb{R}[x_1,..., x_m] / I(X)\) 是所有在 \(X\) 上良定义的多项式函数构成的环（称为坐标环）。这个视角至关重要：仿射簇的态射完全等价于其坐标环之间的代数同态。这是代数几何“几何-代数”对偶性的核心体现。
第三步：从仿射簇到一般簇的态射
并非所有代数簇都是仿射的（例如，射影空间、椭圆曲线都不是仿射簇）。我们需要一个局部化的定义。
- 簇的定义：一个（抽象）代数簇 \(X\) 是一个几何空间，它可以被一些开子集 \(U_i\) 覆盖，每个 \(U_i\) 都同构于一个仿射代数簇。并且这些开子集之间的“粘接”是由态射（在仿射意义下）给出的。这类似于流形被欧几里得空间图表覆盖的定义。
- 态射的局部定义：设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个代数簇。一个连续映射 \(\phi: X \to Y\) 被称为态射，如果它局部看起来像仿射簇的态射。具体来说：
- 对于 \(X\) 中任意一点 \(p\)，存在 \(p\) 的一个仿射开邻域 \(U \subset X\)，和 \(\phi(p)\) 的一个仿射开邻域 \(V \subset Y\)，使得 \(\phi(U) \subset V\)。
- 并且限制映射 \(\phi|_U: U \to V\) 是一个仿射簇的态射（即第二步中定义的）。
- 直观理解：这意味着在足够小的局部范围内，\(\phi\) 总可以用多项式函数（或其商，考虑到有理函数也可能在局部是正则的）来描述。这个定义保证了态射是“代数意义上光滑”的映射。
第四步：态射的性质与例子
理解了定义，我们来看态射的一些重要性质和分类。
- 同构：如果存在态射 \(\phi: X \to Y\) 和 \(\psi: Y \to X\)，使得 \(\psi \circ \phi = id_X\) 且 \(\phi \circ \psi = id_Y\)，则称 \(\phi\) 是一个同构。这意味着 \(X\) 和 \(Y\) 在代数几何意义下是“相同”的。例如，仿射直线 \(\mathbb{A}^1\) 和抛物线 \(y=x^2\) 是同构的，映射为 \(t \mapsto (t, t^2)\)。
- 浸入：包括开浸入（\(X\) 是 \(Y\) 的一个开子集，且 \(\phi\) 是包含映射）和闭浸入（\(X\) 在 \(Y\) 中像一个闭子簇，局部由添加一些多项式方程定义）。闭浸入的拉回映射是坐标环的满射。
- 有限态射：这是一个非常重要的紧性概念。直观上，有限态射的纤维（即每个原像集 \(\phi^{-1}(y)\)）是有限个点。代数上，它诱导的拉回映射使 \(\mathbb{R}[X]\) 成为 \(\mathbb{R}[Y]\) 上的有限生成模。例如，映射 \(\mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^1, t \mapsto t^2\) 是一个有限态射（除原点外，每点的纤维有两个点）。
- 平坦态射：这是一个更精细的代数条件，保证了族 \(X \to Y\) 的纤维在某种意义下“连续变化”。它是研究模空间和形变理论的基础工具。你已学过“代数簇的平坦族”和“模的平坦性”，它们是相关的概念。
- 态射与范畴：所有代数簇和它们之间的态射，构成了一个范畴。研究这个范畴中的映射（态射）是代数几何的核心任务。态射允许我们定义纤维积、像、核等几何构造。
总结
态射是代数几何中连接不同几何对象的“允许的”映射。它的认知路径是：
- 从多项式映射出发，理解其诱导多项式环同态的特性。
- 限制到仿射簇上，定义仿射簇的态射，并建立与坐标环同态的完美对偶。
- 通过“局部仿射”的方法，将这个定义推广到最一般的代数簇，即局部由多项式或有理函数描述的映射。
- 最后，研究态射的各种性质（如是否同构、是否有限、是否平坦等），这些性质对应着几何对象之间关系的强弱和结构的保持。
掌握态射的概念，是理解更高级的代数几何内容，如纤维化、奇点解消、上同调理论等的基石。