伯努利数

字数 3617 2025-12-06 11:04:55

伯努利数

好的，我们开始讲解伯努利数。这是一个在数论、分析、拓扑等多个数学领域都极为重要的数列。我将循序渐进地为你构建其完整的知识图景。

第一步：定义与最直接的引入方式

伯努利数 \(B_n\) 最经典的生成函数定义，源自对“和”的探究。考虑前 \(m\) 个自然数的 \(k\) 次幂和：

\[S_k(m) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + (m-1)^k \]

在17世纪，数学家雅各布·伯努利发现，对于任意正整数 \(k\)，\(S_k(m)\) 可以写成一个关于 \(m\) 的 \((k+1)\) 次多项式。令人惊奇的是，这个多项式的系数可以用一系列有理数 \(B_0, B_1, B_2, \dots\) 简洁地表达出来，这就是伯努利数。

第二步：标准生成函数定义

为了系统地研究这个数列，我们使用指数生成函数来定义伯努利数：

\[\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{t^n}{n!}, \quad (|t| < 2\pi) \]

这里，\(\frac{t}{e^t - 1}\) 是一个在 \(t=0\) 处解析的函数（通过洛必达法则可知在 \(t=0\) 时值为1）。将这个函数在 \(t=0\) 处进行泰勒展开，得到的展开系数乘以 \(n!\) 后，就定义了第 \(n\) 个伯努利数 \(B_n\)。

\(B_0\)：常数项为1，所以 \(B_0 = 1\)。
\(B_1\)：展开式的一次项系数。计算可得 \(B_1 = -\frac{1}{2}\)。
之后的数可以通过递推关系求得。

第三步：计算与基本性质

从生成函数出发，可以推导出递推关系。将定义式改写为：

\[t = (e^t - 1) \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{t^n}{n!} = \left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{t^m}{m!} \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{t^n}{n!} \right) \]

比较等式两边 \(t^{N+1}\) 项的系数（\(N \ge 0\)），可以得到关键的递推公式：

\[\sum_{k=0}^{N} \binom{N+1}{k} B_k = 0, \quad \text{当 } N \ge 1 \]

其中 \(\binom{N+1}{k}\) 是二项式系数。这个公式允许我们依次计算出伯努利数。

让我们手动计算前几个：

令 \(N=1\)： \(\binom{2}{0}B_0 + \binom{2}{1}B_1 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot B_1 = 0\) => \(B_1 = -\frac{1}{2}\)。
令 \(N=2\)： \(\binom{3}{0}B_0 + \binom{3}{1}B_1 + \binom{3}{2}B_2 = 1 + 3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 \cdot B_2 = 0\) => \(B_2 = \frac{1}{6}\)。
令 \(N=3\)：可算得 \(B_3 = 0\)。
继续计算可得： \(B_4 = -\frac{1}{30}, B_5 = 0, B_6 = \frac{1}{42}, B_7 = 0, B_8 = -\frac{1}{30}, \dots\)

由此，我们可以总结出几个基本性质：

有理性：所有伯努利数 \(B_n\) 都是有理数。
交错消失：对所有奇数 \(n \ge 3\)，有 \(B_n = 0\)。（注意：\(B_1\) 是唯一的非零奇数项伯努利数，且为负）。
符号交错：偶数项伯努利数 \(B_{2k}\) 的符号是交错的（\(B_2\) 正，\(B_4\) 负，\(B_6\) 正，以此类推）。

第四步：与幂和公式的联系

现在，我们可以回到最初的问题，给出著名的伯努利公式（或称法乌尔哈贝尔公式）：

\[S_k(m) = 1^k + 2^k + \dots + (m-1)^k = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j} B_j \cdot m^{k+1-j} \]

这个公式完美地实现了我们的初衷：将 \(k\) 次幂的和表示为一个 \((k+1)\) 次多项式，其系数由伯努利数和二项式系数组成。例如，当 \(k=2\) 时：

\[1^2 + 2^2 + \dots + (m-1)^2 = \frac{1}{3} \left( B_0 m^3 + 3B_1 m^2 + 3B_2 m \right) = \frac{1}{3} (m^3 - \frac{3}{2}m^2 + \frac{1}{2}m) = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6} \]

第五步：在数论中的核心应用——与黎曼ζ函数的特殊值

这是伯努利数在解析数论中最为著名的角色。黎曼ζ函数定义为 \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}\)，在 \(\text{Re}(s) > 1\) 时收敛，并可解析延拓到整个复平面（除 \(s=1\) 有一单极点外）。

欧拉在18世纪证明了对于正整数 \(k\)：

\[\zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{B_{2k} (2\pi)^{2k}}{2(2k)!} \]

这个公式将偶数点的ζ函数值与圆周率 \(\pi\) 和伯努利数 \(B_{2k}\) 联系起来。例如：

\(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\) （对应 \(B_2 = \frac{1}{6}\)）
\(\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\) （对应 \(B_4 = -\frac{1}{30}\)）

更重要的是，对于负整数和零点的值，有极其简洁的表达式：

\[\zeta(1-n) = -\frac{B_n}{n}, \quad \text{对于整数 } n \ge 2 \]

并且 \(\zeta(0) = -\frac{1}{2} = B_1\)（可以视为上述公式在 \(n=1\) 时的自然推广，但需小心处理符号）。这揭示了伯努利数与ζ函数在负整数点和零点的特殊值有本质联系。由于 \(B_{2k+1} = 0\)（当 \(k \ge 1\)），这直接给出 \(\zeta(-2k) = 0\)（即负偶数是ζ函数的“平凡零点”）。

第六步：与同余性质（库默尔同余）和正则素数

伯努利数的算术性质，特别是其分子除以素数的性质，是代数数论的重要课题。库默尔同余描述了两个伯努利数之比在某种条件下的同余关系，是研究费马大定理早期证明的关键工具。

一个素数 \(p\) 被称为正则素数，如果它不整除任何伯努利数 \(B_2, B_4, \dots, B_{p-3}\) 的分子（在将 \(B_k\) 写为既约分数后）。

库默尔证明了：如果奇素数 \(p\) 是正则素数，则费马方程 \(x^p + y^p = z^p\) 没有非平凡的整数解（即费马大定理对该素数指数 \(p\) 成立）。
虽然非正则素数（如37， 59， 67等）是无穷多的，但库默尔猜测正则素数也是无穷多的，这仍未得到证明。这是伯努利数深刻算术性质的集中体现。

第七步：在其他领域的延伸

伯努利数的身影遍布数学：

拓扑学：出现在流形示性类（如Todd类）的定义中，是Hirzebruch签名定理和Atiyah-Singer指标定理公式里的核心常数。
组合数学：与多种组合数（如斯特林数）有紧密的生成函数联系。
p进分析：可以用于构造p进ζ函数和p进L函数，其值在负整数点同样由伯努利数的p进变形所控制。

总结来说，伯努利数从一个简单的幂和问题中诞生，通过生成函数被严格定义，其有理性、交错消失等性质使其结构优美。它在幂和公式中扮演系数角色，在解析数论中决定了黎曼ζ函数在整数点的特殊值，其算术性质（如分子是否被素数整除）则直接关系到正则素数的定义和费马大定理的早期研究，最终其影响深远至拓扑学和现代算术几何。

伯努利数好的，我们开始讲解伯努利数。这是一个在数论、分析、拓扑等多个数学领域都极为重要的数列。我将循序渐进地为你构建其完整的知识图景。第一步：定义与最直接的引入方式伯努利数 \( B_ n \) 最经典的生成函数定义，源自对“和”的探究。考虑前 \( m \) 个自然数的 \( k \) 次幂和： \[ S_ k(m) = 1^k + 2^k + 3^k + \dots + (m-1)^k \] 在17世纪，数学家雅各布·伯努利发现，对于任意正整数 \( k \)，\( S_ k(m) \) 可以写成一个关于 \( m \) 的 \( (k+1) \) 次多项式。令人惊奇的是，这个多项式的系数可以用一系列有理数 \( B_ 0, B_ 1, B_ 2, \dots \) 简洁地表达出来，这就是伯努利数。第二步：标准生成函数定义为了系统地研究这个数列，我们使用指数生成函数来定义伯努利数： \[ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_ {n=0}^{\infty} B_ n \frac{t^n}{n!}, \quad (|t| < 2\pi) \] 这里，\( \frac{t}{e^t - 1} \) 是一个在 \( t=0 \) 处解析的函数（通过洛必达法则可知在 \( t=0 \) 时值为1）。将这个函数在 \( t=0 \) 处进行泰勒展开，得到的展开系数乘以 \( n! \) 后，就定义了第 \( n \) 个伯努利数 \( B_ n \)。 \( B_ 0 \)：常数项为1，所以 \( B_ 0 = 1 \)。 \( B_ 1 \)：展开式的一次项系数。计算可得 \( B_ 1 = -\frac{1}{2} \)。之后的数可以通过递推关系求得。第三步：计算与基本性质从生成函数出发，可以推导出递推关系。将定义式改写为： \[ t = (e^t - 1) \sum_ {n=0}^{\infty} B_ n \frac{t^n}{n!} = \left( \sum_ {m=1}^{\infty} \frac{t^m}{m!} \right) \left( \sum_ {n=0}^{\infty} B_ n \frac{t^n}{n !} \right) \] 比较等式两边 \( t^{N+1} \) 项的系数（\( N \ge 0 \)），可以得到关键的递推公式： \[ \sum_ {k=0}^{N} \binom{N+1}{k} B_ k = 0, \quad \text{当 } N \ge 1 \] 其中 \( \binom{N+1}{k} \) 是二项式系数。这个公式允许我们依次计算出伯努利数。让我们手动计算前几个：令 \( N=1 \)： \( \binom{2}{0}B_ 0 + \binom{2}{1}B_ 1 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot B_ 1 = 0 \) => \( B_ 1 = -\frac{1}{2} \)。令 \( N=2 \)： \( \binom{3}{0}B_ 0 + \binom{3}{1}B_ 1 + \binom{3}{2}B_ 2 = 1 + 3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 \cdot B_ 2 = 0 \) => \( B_ 2 = \frac{1}{6} \)。令 \( N=3 \)：可算得 \( B_ 3 = 0 \)。继续计算可得： \( B_ 4 = -\frac{1}{30}, B_ 5 = 0, B_ 6 = \frac{1}{42}, B_ 7 = 0, B_ 8 = -\frac{1}{30}, \dots \) 由此，我们可以总结出几个基本性质：有理性：所有伯努利数 \( B_ n \) 都是有理数。交错消失：对所有奇数 \( n \ge 3 \)，有 \( B_ n = 0 \)。（注意：\( B_ 1 \) 是唯一的非零奇数项伯努利数，且为负）。符号交错：偶数项伯努利数 \( B_ {2k} \) 的符号是交错的（\( B_ 2 \) 正，\( B_ 4 \) 负，\( B_ 6 \) 正，以此类推）。第四步：与幂和公式的联系现在，我们可以回到最初的问题，给出著名的伯努利公式（或称法乌尔哈贝尔公式）： \[ S_ k(m) = 1^k + 2^k + \dots + (m-1)^k = \frac{1}{k+1} \sum_ {j=0}^{k} \binom{k+1}{j} B_ j \cdot m^{k+1-j} \] 这个公式完美地实现了我们的初衷：将 \( k \) 次幂的和表示为一个 \( (k+1) \) 次多项式，其系数由伯努利数和二项式系数组成。例如，当 \( k=2 \) 时： \[ 1^2 + 2^2 + \dots + (m-1)^2 = \frac{1}{3} \left( B_ 0 m^3 + 3B_ 1 m^2 + 3B_ 2 m \right) = \frac{1}{3} (m^3 - \frac{3}{2}m^2 + \frac{1}{2}m) = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6} \] 第五步：在数论中的核心应用——与黎曼ζ函数的特殊值这是伯努利数在解析数论中最为著名的角色。黎曼ζ函数定义为 \( \zeta(s) = \sum_ {n=1}^\infty n^{-s} \)，在 \( \text{Re}(s) > 1 \) 时收敛，并可解析延拓到整个复平面（除 \( s=1 \) 有一单极点外）。欧拉在18世纪证明了对于正整数 \( k \)： \[ \zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{B_ {2k} (2\pi)^{2k}}{2(2k) !} \] 这个公式将偶数点的ζ函数值与圆周率 \( \pi \) 和伯努利数 \( B_ {2k} \) 联系起来。例如： \( \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \) （对应 \( B_ 2 = \frac{1}{6} \)） \( \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} \) （对应 \( B_ 4 = -\frac{1}{30} \)）更重要的是，对于负整数和零点的值，有极其简洁的表达式： \[ \zeta(1-n) = -\frac{B_ n}{n}, \quad \text{对于整数 } n \ge 2 \] 并且 \( \zeta(0) = -\frac{1}{2} = B_ 1 \)（可以视为上述公式在 \( n=1 \) 时的自然推广，但需小心处理符号）。这揭示了伯努利数与ζ函数在负整数点和零点的特殊值有本质联系。由于 \( B_ {2k+1} = 0 \)（当 \( k \ge 1 \)），这直接给出 \( \zeta(-2k) = 0 \)（即负偶数是ζ函数的“平凡零点”）。第六步：与同余性质（库默尔同余）和正则素数伯努利数的算术性质，特别是其分子除以素数的性质，是代数数论的重要课题。库默尔同余描述了两个伯努利数之比在某种条件下的同余关系，是研究费马大定理早期证明的关键工具。一个素数 \( p \) 被称为正则素数，如果它不整除任何伯努利数 \( B_ 2, B_ 4, \dots, B_ {p-3} \) 的分子（在将 \( B_ k \) 写为既约分数后）。库默尔证明了：如果奇素数 \( p \) 是正则素数，则费马方程 \( x^p + y^p = z^p \) 没有非平凡的整数解（即费马大定理对该素数指数 \( p \) 成立）。虽然非正则素数（如37， 59， 67等）是无穷多的，但库默尔猜测正则素数也是无穷多的，这仍未得到证明。这是伯努利数深刻算术性质的集中体现。第七步：在其他领域的延伸伯努利数的身影遍布数学：拓扑学：出现在流形示性类（如Todd类）的定义中，是Hirzebruch签名定理和Atiyah-Singer指标定理公式里的核心常数。组合数学：与多种组合数（如斯特林数）有紧密的生成函数联系。 p进分析：可以用于构造 p进ζ函数和 p进L函数，其值在负整数点同样由伯努利数的p进变形所控制。总结来说，伯努利数从一个简单的幂和问题中诞生，通过生成函数被严格定义，其有理性、交错消失等性质使其结构优美。它在幂和公式中扮演系数角色，在解析数论中决定了黎曼ζ函数在整数点的特殊值，其算术性质（如分子是否被素数整除）则直接关系到正则素数的定义和费马大定理的早期研究，最终其影响深远至拓扑学和现代算术几何。