狄利克雷函数 我们开始对狄利克雷函数（Dirichlet function）进行系统、循序渐进的讲解。 第一步：定义与基本性质 狄利克雷函数是一个经典的实变函数例子，通常用 D(x) 表示，具体定义为： D(x) = 1， 当 x 为有理数； D(x) = 0， 当 x 为无理数。 这个定义在实数集 R 上。我们立刻可以观察到它的几个基本特性： 它是一个处处有界的函数，因为其值域仅为 {0, 1}。 它在任意非空开区间上都能取到 0 和 1，因为有理数和无理数在实数中都是稠密的。 第二步：不连续性 狄利克雷函数是阐述函数连续性概念的经典反例。我们可以证明它在每一点都不连续。 证明思路 ：取实数轴上任意一点 x0。 如果 x0 是有理数，则 D(x0)=1。根据无理数的稠密性，在 x0 的任何邻域内都存在无理数 x，使得 D(x)=0。因此，当 x (无理数) 趋近于 x0 时，D(x) 不趋近于 D(x0)=1。所以，在 x0 处不连续。 如果 x0 是无理数，则 D(x0)=0。根据有理数的稠密性，在 x0 的任何邻域内都存在有理数 x，使得 D(x)=1。因此，当 x (有理数) 趋近于 x0 时，D(x) 不趋近于 D(x0)=0。所以，在 x0 处也不连续。 因此，狄利克雷函数是 处处不连续 的函数。 第三步：可测性 在实变函数论中，我们关心函数的可测性，这比连续性弱得多，但足以建立积分理论。 考虑定义域为 R，配备勒贝格测度 m。 对于任意常数 c ∈ R，考虑集合 {x: D(x) > c}。 如果 c ≥ 1， 则该集合为空集（可测）。 如果 0 ≤ c < 1， 则该集合为全体有理数 Q（有理数集是可数的，零测集，故为可测集）。 如果 c < 0， 则该集合为全体实数 R（可测）。 根据勒贝格可测函数的等价定义（对任意实数 c，上水平集可测），我们得出结论： 狄利克雷函数是勒贝格可测函数 。关键在于，有理数集 Q 虽然稠密，但在勒贝格测度意义下是零测集。 第四步：黎曼可积性与勒贝格可积性 这是理解狄利克雷函数重要性的核心。 黎曼不可积 ： 回忆黎曼积分的达布（Darboux）定义。在任何非空闭区间 [ a, b ] 上，对区间进行任意划分。由于有理数和无理数都稠密，在任何子区间上，函数的上确界都是 1，下确界都是 0。 因此，对于任意划分，达布上和恒等于 (b-a)， 达布下和恒等于 0。 上和与下和的极限不相等，所以 狄利克雷函数在任意区间上都不是黎曼可积的 。 勒贝格可积 ： 勒贝格积分建立在可测集和可测函数的基础上。我们已经知道 D(x) 是勒贝格可测的。 计算其在区间 [ a, b] 上的勒贝格积分 ∫_ [ a, b ] D(x) dm。 可以将 D(x) 写成一个简单函数：D(x) = 1_ Q(x)， 其中 1_ Q 是有理数集 Q 的示性函数。 根据勒贝格积分的定义，对于示性函数，积分值等于其支撑集的测度，即 ∫_ [ a, b] 1_ Q(x) dm = m(Q ∩ [ a, b ])。 由于 Q 是可数集，其勒贝格测度为 0，所以 m(Q ∩ [ a, b ]) = 0。 因此， 狄利克雷函数在任意区间上是勒贝格可积的，且其勒贝格积分为 0 。 第五步：变体与推广 狄利克雷函数有许多变体，用以说明不同的数学性质。 黎曼函数 ：有时被称为“改良的狄利克雷函数”。定义 f(x)=1/q， 当 x=p/q 为既约真分数（p, q 互质，q>0）；f(0)=1（或0）；f(x)=0， 当 x 为无理数。这个函数在无理点连续，在有理点不连续，是黎曼可积的，但勒贝格积分同样为0。 用极限构造 ：狄利克雷函数可以表示为一个处处收敛的函数列的极限。例如，设 r1, r2, ... 是全体有理数的枚举。定义 f_ n(x) = lim_ {m→∞} [ cos(n!πx)]^{2m}。可以证明 f_ n 处处收敛到狄利克雷函数 D(x)。这表明，一个处处不连续的函数，可以是一个处处连续的函数的极限（尽管这个极限不保持连续性）。 总结 狄利克雷函数作为一个结构简单但性质深刻的函数，是实变函数论中的一个关键“测试函数”。它清晰地展示了以下几点： 连续性 与 可测性 是两个不同层次的概念，后者更弱、更广泛。 黎曼积分 与 勒贝格积分 在可积函数类上的根本差异。勒贝格积分能够处理“高度不连续”但“可测”的函数，其理论更完备。 函数的“病态行为”（如处处不连续）与其“积分行为”（勒贝格可积且积分为0）可以并行不悖，这凸显了测度论在处理“大小”和“多少”问题时的强大能力。