模形式的Theta级数
我们先明确Theta级数在模形式理论中的定位。它是一类由二次型直接构造出的级数，是联系二次型与模形式的核心桥梁。我将从最基础的二次型表示数问题开始，逐步引导你理解Theta级数的定义、模形式性质及其深层应用。
第一步：从二次型的表示数问题出发
考虑一个最基本的问题：给定一个正整数 \(n\) 和一个正定二元二次型 \(Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\)，其中 \(a, b, c\) 为整数，且判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\)。一个核心的算术问题是：方程 \(Q(x, y) = n\) 有多少个整数解 \((x, y)\)？我们记这个解的数量为 \(r_Q(n)\)，称为二次型 \(Q\) 的表示数。
研究 \(r_Q(n)\) 随 \(n\) 变化的规律是经典数论难题。直接对每个 \(n\) 逐一求解是困难的。Theta级数的引入，正是为了将离散的表示数“打包”成一个整体函数来研究。
第二步：Theta级数的定义——将表示数“打包”成生成函数
为了同时研究所有 \(n\) 的表示数 \(r_Q(n)\)，我们构造一个形式幂级数，以 \(q\) 为变量：
\[\Theta_Q(z) = \sum_{x, y \in \mathbb{Z}} q^{Q(x, y)} = \sum_{n=0}^{\infty} r_Q(n) q^n， \]
其中我们做了关键代换 \(q = e^{2\pi i z}\)，而 \(z\) 是一个复变量，位于上半平面 \(\Im(z) > 0\)。这个级数称为与二次型 \(Q\) 关联的Theta级数。
- 为什么这样定义？ 当我们将所有整数对 \((x, y)\) 代入 \(Q\) 时，如果 \(Q(x, y) = n\)，则它对 \(q^n\) 项贡献一个系数1。所有满足 \(Q(x, y) = n\) 的整数对，其贡献总和恰好就是表示数 \(r_Q(n)\)。因此，\(\Theta_Q(z)\) 的傅里叶展开系数就是 \(r_Q(n)\)。研究这个解析函数 \(\Theta_Q(z)\)，就能间接研究所有表示数。
第三步：验证Theta级数的模形式性质（关键步骤）
Theta级数之所以强大，是因为它是模形式。我们需要验证它满足模形式的两个核心条件：
- 全纯性：对上半平面 \(\Im(z) > 0\) 内的 \(z\)，由于 \(Q\) 是正定的，\(Q(x,y)\) 始终非负，级数 \(\sum q^{Q(x,y)}\) 的模 \(|q| = e^{-2\pi \Im(z)} < 1\)，这使得该级数在上半平面内绝对收敛，从而定义了全纯函数。
- 模变换性质：这是更深层的对称性。模形式要求函数在模群 \(\Gamma = SL_2(\mathbb{Z})\) 或其同余子群的变换下，满足特定函数方程。具体来说，需要验证对生成元 \(T: z \mapsto z+1\) 和 \(S: z \mapsto -1/z\) 的性质。
- 对 \(T\) 变换：由于 \(q = e^{2\pi i (z+1)} = e^{2\pi i z} = q\)，所以 \(\Theta_Q(z+1) = \Theta_Q(z)\)。这意味着 \(\Theta_Q(z)\) 具有周期1，其傅里叶展开正是以 \(q\) 为变量的形式。
- 对 \(S\) 变换：验证 \(\Theta_Q(-1/z)\) 与 \(\Theta_Q(z)\) 的关系是核心。这里需要用到经典的泊松求和公式。这个公式可以将对整数格的求和，变换为其对偶格（此处即 \(Q\) 对应的对偶二次型）的求和。计算结果是：
\[ \Theta_Q(-1/z) = \frac{z}{\sqrt{|\Delta|}} \Theta_{Q^*}(z)， \]
其中 \(Q^*\) 是对偶二次型，常数为一个与 \(\Delta\) 相关的因子。更精确地，对于判别式为 \(-D\) 的正定二次型，有
\[ \Theta_Q(-1/z) = \frac{z}{\sqrt{-D}} \Theta_Q(z)， \]
当 \(Q\) 是偶幺模（即矩阵行列式为1）的二次型时，会出现非常整齐的结果，例如 \(\Theta(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} q^{n^2}\) 满足 \(\Theta(-1/z) = \sqrt{z/i} \Theta(z)\)。这表明 \(\Theta_Q(z)\) 是一个权为 \(k=1\) 的模形式（对于二元二次型），但其变换中可能涉及“乘子系统”（一种推广的特征标），而不仅仅是简单标量乘法。
第四步：作为模形式的级、权与类型
- 级： 通常，二元二次型 \(Q\) 的Theta级数是某个同余子群 \(\Gamma_0(N)\) 上的模形式，其中 \(N\) 与判别式 \(\Delta\) 相关。例如，若 \(Q\) 是本原的，则 \(N = |\Delta|\)。
- 权： 对于 \(m\) 元正定二次型 \(Q\)，其Theta级数 \(\Theta_Q(z)\) 通常是权为 \(m/2\) 的模形式。对于二元二次型（\(m=2\)），其权为1。
- 类型： 由于定义是实指数求和，Theta级数通常是全纯模形式。它们可以是尖形式，也可以是艾森斯坦级数的分量，这取决于二次型 \(Q\) 的等价类（即其所在的“亏格”）。
第五步：Theta级数的算术应用——回到表示数问题
将 \(\Theta_Q(z)\) 识别为模形式后，我们就可以动用模形式的强大工具来分析表示数 \(r_Q(n)\)。
- 线性空间分解：给定判别式 \(-D\) 的所有二元二次型（在适当等价关系下）构成一个有限集。这些二次型对应的Theta级数张成模空间 \(M_1(\Gamma_0(D), \chi)\) 的一个子空间，其中 \(\chi\) 是克朗内克符号 \(\chi_{-D}\)。这个空间可以分解为艾森斯坦空间和尖形式空间的直和。
- 表示数的公式：因此，\(\Theta_Q(z)\) 可以写成艾森斯坦级数 \(E(z)\) 和尖形式 \(f(z)\) 的线性组合：
\[ \Theta_Q(z) = E(z) + c_f f(z) + \dots \]
等式两边比较第 \(n\) 项傅里叶系数，就得到：
\[ r_Q(n) = a_E(n) + c_f a_f(n) + \dots \]
- 主项： 艾森斯坦级数的系数 \(a_E(n)\) 有明确的算术公式（常涉及迪利克雷L函数值或除数函数），它给出了 \(r_Q(n)\) 的主项，描述了表示数的渐近行为。例如，对正定二元二次型，\(a_E(n)\) 正比于 \(n^{1/2}\) 乘以一个与 \(n\) 的因子分解相关的函数。
- 误差项： 尖形式的系数 \(a_f(n)\) 则构成了误差项。根据拉马努金猜想（已被德利涅证明为魏伊猜想推论）， \(|a_f(n)| = O(n^{k/2 - 1/2 + \epsilon}) = O(n^{0+\epsilon})\)。这表明误差项相对于主项而言非常小。
- 局部-全局原理的体现： 艾森斯坦级数部分的系数公式，通常表现为一个乘积公式：\(a_E(n) = C \prod_{p} \beta_p(n)\)，其中 \(\beta_p(n)\) 是 \(Q\) 在 \( p\)-进数域 \(\mathbb{Q}_p\) 上表示 \(n\) 的“局部密度”。这正是哈塞-闵可夫斯基局部-全局原理在表示数问题上的具体实现：整体表示数（主项）由所有局部表示可能性决定。
第六步：推广与深远影响
- 高元二次型： 对 \(m\) 元正定二次型 \(Q\)，其Theta级数 \(\Theta_Q(z)\) 是权为 \(m/2\) 的模形式。当 \(m\) 是大于等于4的偶数时，它通常是整权模形式，理论更为简洁。
- 西格尔（Siegel）模形式： 将变量 \(z\) 从上半平面的复数推广为西格尔上半空间的矩阵，并将二次型推广为西格尔二次型，由此定义的Theta级数是西格尔模形式，这是多变量模形式理论的开端。
- 与L函数的联系： Theta级数的标准L函数，可以通过将其系数与狄利克雷特征作“扭”并求和来定义。这个L函数与二次型自身的自守L函数紧密相关，并满足函数方程。这是朗兰兹纲领中“从二次型到模形式”这一函子性对应的具体实例。
总结：Theta级数是一座精巧的桥梁，它将二次型的算术表示数这个离散问题，编码为一个具有丰富对称性（模变换）的解析函数。通过将这个函数置于模形式的框架下，我们得以利用傅里叶分析、复分析和代数几何的工具，最终将表示数分解为具有明确算术意义的“主项”（由局部理论决定）和“误差项”（由尖形式控制），从而深刻揭示了二次型表数问题的整体结构。