筛法
筛法是数论中研究素数分布与整数集合中满足特定条件的元素个数的一类方法。其核心思想是通过逐步“筛选”排除某些不满足条件的整数，从而估计或精确计算剩余集合的大小。下面我们将从最基础的例子开始，逐步深入讲解筛法的核心概念与发展。
第一步：埃拉托斯特尼筛法（古典筛法）
这是最古老的筛法，用于找出不超过某个正整数 \(N\) 的所有素数。步骤如下：
- 列出从 \(2\) 到 \(N\) 的所有整数。
- 从最小的素数 \(p=2\) 开始，划去所有 \(p\) 的倍数（保留 \(p\) 本身）。
- 取下一个未被划去的数作为新的 \(p\)，重复步骤2，直到 \(p^2 > N\)。
- 剩余未被划去的数即为所有不超过 \(N\) 的素数。
这种方法虽然直观，但主要用于构造素数表，并不直接提供素数个数的精确公式。
第二步：筛法问题的抽象化
设 \(A\) 是一个有限正整数集合，\(P\) 是一个素数集合（通常为所有素数或其子集）。对每个素数 \(p \in P\)，我们指定一个“筛除条件”，例如去掉 \(A\) 中所有能被 \(p\) 整除的数。记 \(A_d\) 为 \(A\) 中能被 \(d\) 整除的元素的集合，其中 \(d\) 是某些素数的乘积。筛法的目标是估计集合
\[S(A, P) = |\{a \in A: \forall p \in P, p \nmid a\}| \]
即 \(A\) 中不被任何 \(P\) 中素数整除的元素的个数。
第三步：容斥原理与误差积累
利用容斥原理，可得：
\[S(A, P) = \sum_{d \mid P(z)} \mu(d) |A_d| \]
其中 \(P(z) = \prod_{\substack{p \in P \\ p < z}} p\)，\(\mu(d)\) 是莫比乌斯函数，求和跑遍 \(P(z)\) 的所有正因子。
但当 \(z\) 较大时，项数过多无法计算。实际上，我们通常只对部分项求和，得到上下界估计，这就引出了“筛法理论”的核心挑战：控制误差项。
第四步：筛法函数与参数选择
定义筛法函数：
\[S(A, P, z) = |\{a \in A: \forall p \in P, p < z \Rightarrow p \nmid a\}| \]
即去掉所有含有小于 \(z\) 的素因子（来自 \(P\)）的数。
为了估计 \(S(A, P, z)\)，我们常假设 \(|A_d|\) 近似具有形式：
\[|A_d| = \frac{\rho(d)}{d} X + R_d \]
其中 \(X\) 是 \(A\) 的某种“尺度”，\(\rho(d)\) 是一个可乘函数，\(R_d\) 是误差。通过选择适当的 \(z\) 和筛选范围，可以在误差项可控的条件下得到 \(S(A, P, z)\) 的上下界。
第五步：布朗筛法（1919年）
布朗首次用严格筛法得到了哥德巴赫猜想的弱结果（每个大偶数可表为两个不超过9个素数的乘积之和）。其关键思想是截断莫比乌斯反演，只对较小的 \(d\) 求和，并通过组合技巧将剩余项转化为可控制的双重和。布朗筛法给出了形如：
\[S(A, P, z) \sim X W(z) \quad (W(z) = \prod_{p \in P, p
的渐近估计，但需要较强条件（如 \(\rho(p)\) 较小）。
第六步：塞尔伯格筛法（1947年）
塞尔伯格引入优化思想：用一组实参数 \(\lambda_d\)（满足 \(\lambda_1=1\)，且对较大 \(d\) 为零）构造函数：
\[\sum_{d \mid n} \lambda_d \geq 0 \quad (\text{当 } n=1 \text{ 时取等号}) \]
从而：
\[S(A, P, z) \leq \sum_{a \in A} \left( \sum_{d \mid (a, P(z))} \lambda_d \right)^2 \]
通过最小化二次型选择 \(\lambda_d\)，得到比布朗筛更优的上界。塞尔伯格筛法不依赖概率假设，适用于很多组合数论问题。
第七步：大筛法
大筛法不是直接筛选整数，而是通过调和分析（如不等式）估计在模不同素数下分布不均匀的整数集合的大小。其典型结论是：若一个集合 \(A \subset [1,N]\) 在模 \(p\) 的每个剩余类中元素不太多，则 \(|A|\) 不会太大。大筛法与狄利克雷特征、\(L\) 函数理论结合，是研究素数分布的重要工具。
第八步：筛法与 \(L\) 函数零点
陈景润证明“1+2”的突破性工作（每个大偶数可表为一个素数与一个不超过两个素数乘积之和）基于对筛法的精细改进，并结合了对狄利克雷 \(L\) 函数零点分布的深刻结果（邦别里-维诺格拉多夫定理）。这展示了筛法解析化的重要方向：误差项的控制依赖于 \(L\) 函数在临界线附近的零点密度估计。
第九步：GPY筛法与张益唐的突破
戈德斯通、平茨和伊尔迪里姆在2005年提出一种“GPY筛法”，通过考虑元组 \((n+h_1, \dots, n+h_k)\) 的素数分布，结合埃利奥特-哈伯斯塔姆猜想，证明了存在任意长的素数差有界。2013年，张益唐在不假设该猜想的情况下，通过巧妙选择参数和改进误差处理，证明了存在无穷多对素数差小于7000万，这实质上是筛法技术与解析数论的高度融合。
第十步：筛法的现代发展
现代筛法已与遍历理论、自守形式、代数几何等分支交叉。例如：
- 筛法用于研究椭圆曲线的整点与素数。
- 高阶筛法（higher sieve）通过考虑更复杂的组合结构来突破传统筛法的“奇偶障碍”（即传统筛法难以区分素数与恰有两个素因子的数）。
- 筛法与模型论结合，研究稀疏集合中的算术结构。
筛法从古典的列举工具，逐步发展为具有严密分析基础和强大应用能力的理论体系，始终是解析数论与组合数论的核心方法之一。