可测空间上测度的内正则性与外正则性
字数 4015 2025-12-06 08:06:27

可测空间上测度的内正则性与外正则性

好的，我们开始学习实变函数中的一个重要概念：可测空间上测度的内正则性与外正则性。这个概念是连接一般测度论与拓扑/几何性质（如博雷尔测度、拉东测度）的关键桥梁，它刻画了用“内部”的紧集或闭集与“外部”的开集来逼近任意可测集的可能性。

第一步：定义可测空间与测度

首先，我们明确基础框架。

  1. 可测空间： 一个可测空间是一个对偶 \((X, \mathcal{F})\)，其中 \(X\) 是一个非空集合，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 \(\sigma\)-代数，其中的元素称为 \(\mathcal{F}\)-可测集（简称可测集）。
  2. 测度： 在一个可测空间 \((X, \mathcal{F})\) 上，一个测度 \(\mu\) 是一个从 \(\mathcal{F}\) 到 \([0, +\infty]\) 的映射，满足：
  • \(\mu(\emptyset) = 0\)
  • （可数可加性）对任意一列两两不交的集合 \(\{E_n\} \subset \mathcal{F}\)，有 \(\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n)\)。

此时，我们拥有一个“纯粹”的测度论结构，不涉及任何“开集”、“紧集”等拓扑概念。

第二步：引入拓扑结构——拓扑可测空间

为了让“内部”和“外部”有明确的几何意义，我们需要引入拓扑。

  1. 拓扑空间： 一个集合 \(X\) 配上拓扑 \(\tau\)，即 \(X\) 中某些子集（称为开集）构成的族，满足包含 \(X\) 和空集，并且对有限交和任意并封闭。这个对偶 \((X, \tau)\) 称为拓扑空间。
  2. 博雷尔 \(\sigma\)-代数： 在拓扑空间 \((X, \tau)\) 上，由所有开集生成的 \(\sigma\)-代数称为博雷尔 \(\sigma\)-代数，记为 \(\mathcal{B}(X)\)。其元素称为博雷尔集。现在，\((X, \mathcal{B}(X))\) 成为一个可测空间，并且与拓扑紧密相连。
  3. 拓扑可测空间： 我们将考虑这样的情形：我们的可测空间 \((X, \mathcal{F})\) 中，\(\mathcal{F}\) 包含了博雷尔 \(\sigma\)-代数，即 \(\mathcal{B}(X) \subset \mathcal{F}\)。通常，我们直接取 \(\mathcal{F} = \mathcal{B}(X)\)。在 \((X, \mathcal{B}(X))\) 上定义的测度称为博雷尔测度。

现在我们有了“开集”（属于 \(\tau\)，也属于 \(\mathcal{B}(X)\)）、“闭集”（开集的补集）、“紧集”（任意开覆盖存在有限子覆盖的集合）等拓扑概念作为“工具”。

第三步：内正则性的定义

内正则性描述的是用“内部”较小的、性质良好的集合（如紧集或闭集）从下方逼近任意可测集的能力。

  1. 内正则性（相对于一个集合族）：
    设 \(\mu\) 是 \((X, \mathcal{F})\) 上的测度，\(\mathcal{K}\) 是 \(\mathcal{F}\) 的一个子族（例如所有闭集或所有紧集）。我们说 \(\mu\) 是 \(\mathcal{K}\)-内正则 的，如果对于每个可测集 \(E \in \mathcal{F}\)，都有：

\[ \mu(E) = \sup \{ \mu(K) : K \subset E, K \in \mathcal{K} \}. \]

这个定义是说，集合 \(E\) 的测度，可以通过其内部那些属于族 \(\mathcal{K}\) 的子集的测度的上确界来“达到”或无限逼近。

  1. 常见的内正则性类型：
  • 闭集内正则： 取 \(\mathcal{K}\) 为所有闭集。这表示任何可测集的测度可以用其内部的闭子集的测度来逼近。
  • 紧集内正则： 取 \(\mathcal{K}\) 为所有紧集。这要求更强，因为紧集的性质比闭集更好（特别是在非紧的空间中）。这在局部紧豪斯多夫空间中尤其重要。

第四步：外正则性的定义

外正则性描述的是用“外部”较大的、性质良好的集合（如开集）从上方逼近任意可测集的能力。

  1. 外正则性（相对于一个集合族）：
    设 \(\mu\) 是 \((X, \mathcal{F})\) 上的测度，\(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{F}\) 的一个子族（例如所有开集）。我们说 \(\mu\) 是 \(\mathcal{G}\)-外正则 的，如果对于每个可测集 \(E \in \mathcal{F}\)，都有：

\[ \mu(E) = \inf \{ \mu(G) : E \subset G, G \in \mathcal{G} \}. \]

这个定义是说，集合 \(E\) 的测度，可以通过包含它的、属于族 \(\mathcal{G}\) 的超集的测度的下确界来“达到”或无限逼近。

  1. 常见的外正则性类型：
  • 开集外正则： 取 \(\mathcal{G}\) 为所有开集。这表示任何可测集的测度可以用包含它的开超集的测度来逼近。

第五步：正则测度的定义

当内正则性和外正则性同时满足，且相互匹配时，我们就得到了一个非常“好”的测度。

  1. 正则博雷尔测度：
    在拓扑空间 \((X, \tau)\) 上，一个定义在博雷尔 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}(X)\) 上的测度 \(\mu\) 称为正则博雷尔测度，如果它同时满足：
  • 外正则性： 对所有 \(E \in \mathcal{B}(X)\)，有 \(\mu(E) = \inf \{ \mu(G) : E \subset G, G \text{ 是开集} \}\)。
  • 内正则性： 对所有 \(E \in \mathcal{B}(X)\)，有 \(\mu(E) = \sup \{ \mu(K) : K \subset E, K \text{ 是紧集} \}\)。
  1. 关键点：
    • 这里的“内正则”是相对于紧集而言的，这是一个很强的条件，它要求空间有“足够多”的紧集。
    • 正则性建立起了测度（分析对象）和拓扑/紧性（几何对象）之间的深刻联系。一个正则测度完全由它在开集（或紧集）上的值决定。

第六步：为什么需要正则性？——意义与重要性

正则性不是一个自动满足的性质，但许多重要的测度都具有正则性，这带来了巨大的便利。

  1. 逼近工具： 它允许我们用性质简单的集合（开集、紧集）来逼近复杂的可测集，从而简化许多证明。例如，要证明一个性质对所有可测集成立，可以先证明它对开集和紧集成立，然后利用正则性推广。
  2. 唯一性定理： 在“好”的空间上（如局部紧豪斯多夫空间），在博雷尔集上定义的两个正则测度，如果它们在所有开集上（或所有紧集上）取值相同，那么它们处处相等。
  3. 与连续函数的联系： 在局部紧豪斯多夫空间上，一个正则博雷尔测度 \(\mu\) 可以与 \(C_c(X)\)（具有紧支集的连续函数空间）上的正线性泛函一一对应（里斯表示定理）。具体来说，\(\mu\) 的积分给出了这样一个泛函，反之，给定这样一个泛函，存在唯一的正则博雷尔测度 \(\mu\) 来表示它。这是现代分析的核心结果之一。
  4. 勒贝格测度的正则性： 在 \(\mathbb{R}^n\) 上，勒贝格测度是一个正则博雷尔测度。它的构造（通过外测度）自动保证了开集外正则性，而其内正则性（相对于紧集）则需要利用勒贝格测度的平移不变性和局部有限性等性质来证明。勒贝格测度的正则性是我们用闭立方体、开球等简单几何体来逼近任意勒贝格可测集的理论基础。

第七步：经典结论与例子

  1. 定理（在“好”空间上，有限博雷尔测度是正则的）：
    设 \(X\) 是一个完备可分的度量空间（即波兰空间），则 \(X\) 上任何一个有限博雷尔测度（即 \(\mu(X) < \infty\)）都是正则的（内正则相对于闭集，外正则相对于开集）。如果 \(X\) 是局部紧的，则可以加强为内正则相对于紧集。

  2. 定理（在紧空间上，博雷尔测度自动正则）：
    在一个紧豪斯多夫空间上，任何一个有限博雷尔测度都是正则的。

  3. 例子：

  • 计数测度： 在实数集 \(\mathbb{R}\) 上配备通常拓扑。计数测度 \(\mu(E) = E\) 中点的个数（若 \(E\) 无限则为 \(+\infty\)）。这个测度是外正则的（因为任何集合都包含在包含它的开集中，开集的测度可以很大），但不是内正则的。例如，考虑开区间 \((0,1)\)，它的内部紧子集只能是有限集，测度有限，其上确界是有限数，但 \(\mu((0,1)) = \infty\)，两者不相等。这说明内正则性是一个更强的、对测度“局部行为”的限制。
  • 狄拉克测度： 在任意拓扑空间 \(X\) 中一点 \(x_0\) 处的狄拉克测度 \(\delta_{x_0}(E) = 1 \text{ 若 } x_0 \in E, \text{否则 } 0\)。容易验证它是正则的（开集外正则，紧集内正则）。

总结： 内正则性与外正则性是衡量一个测度与底层拓扑结构兼容性的标尺。正则测度（同时满足开集外正则和紧集内正则）是分析学中最重要的一类测度，它们既具有良好的分析性质（可逼近性、唯一性），又与拓扑/几何（开集、紧集）及泛函分析（连续函数对偶）有着完美的结合。理解这个概念是学习更深入的测度论、几何测度论以及算子代数相关内容的关键一步。

可测空间上测度的内正则性与外正则性 好的，我们开始学习实变函数中的一个重要概念： 可测空间上测度的内正则性与外正则性 。这个概念是连接一般测度论与拓扑/几何性质（如博雷尔测度、拉东测度）的关键桥梁，它刻画了用“内部”的紧集或闭集与“外部”的开集来逼近任意可测集的可能性。 第一步：定义可测空间与测度 首先，我们明确基础框架。 可测空间 ： 一个可测空间是一个对偶 \((X, \mathcal{F})\)，其中 \(X\) 是一个非空集合，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个 \(\sigma\)-代数，其中的元素称为 \(\mathcal{F}\)-可测集 （简称可测集）。 测度 ： 在一个可测空间 \((X, \mathcal{F})\) 上，一个 测度 \(\mu\) 是一个从 \(\mathcal{F}\) 到 \([ 0, +\infty ]\) 的映射，满足： \(\mu(\emptyset) = 0\) （可数可加性）对任意一列两两不交的集合 \(\{E_ n\} \subset \mathcal{F}\)，有 \(\mu(\bigcup_ {n=1}^{\infty} E_ n) = \sum_ {n=1}^{\infty} \mu(E_ n)\)。 此时，我们拥有一个“纯粹”的测度论结构，不涉及任何“开集”、“紧集”等拓扑概念。 第二步：引入拓扑结构——拓扑可测空间 为了让“内部”和“外部”有明确的几何意义，我们需要引入拓扑。 拓扑空间 ： 一个集合 \(X\) 配上 拓扑 \(\tau\)，即 \(X\) 中某些子集（称为 开集 ）构成的族，满足包含 \(X\) 和空集，并且对有限交和任意并封闭。这个对偶 \((X, \tau)\) 称为拓扑空间。 博雷尔 \(\sigma\)-代数 ： 在拓扑空间 \((X, \tau)\) 上，由所有开集生成的 \(\sigma\)-代数称为 博雷尔 \(\sigma\)-代数 ，记为 \(\mathcal{B}(X)\)。其元素称为 博雷尔集 。现在，\((X, \mathcal{B}(X))\) 成为一个可测空间，并且与拓扑紧密相连。 拓扑可测空间 ： 我们将考虑这样的情形：我们的可测空间 \((X, \mathcal{F})\) 中，\(\mathcal{F}\) 包含了博雷尔 \(\sigma\)-代数，即 \(\mathcal{B}(X) \subset \mathcal{F}\)。通常，我们直接取 \(\mathcal{F} = \mathcal{B}(X)\)。在 \((X, \mathcal{B}(X))\) 上定义的测度称为 博雷尔测度 。 现在我们有了“开集”（属于 \(\tau\)，也属于 \(\mathcal{B}(X)\)）、“闭集”（开集的补集）、“紧集”（任意开覆盖存在有限子覆盖的集合）等拓扑概念作为“工具”。 第三步：内正则性的定义 内正则性 描述的是用“内部”较小的、性质良好的集合（如紧集或闭集）从下方逼近任意可测集的能力。 内正则性（相对于一个集合族） ： 设 \(\mu\) 是 \((X, \mathcal{F})\) 上的测度，\(\mathcal{K}\) 是 \(\mathcal{F}\) 的一个子族（例如所有闭集或所有紧集）。我们说 \(\mu\) 是 \(\mathcal{K}\)-内正则 的，如果对于每个可测集 \(E \in \mathcal{F}\)，都有： \[ \mu(E) = \sup \{ \mu(K) : K \subset E, K \in \mathcal{K} \}. \] 这个定义是说，集合 \(E\) 的测度，可以通过其内部那些属于族 \(\mathcal{K}\) 的子集的测度的上确界来“达到”或无限逼近。 常见的内正则性类型 ： 闭集内正则 ： 取 \(\mathcal{K}\) 为所有闭集。这表示任何可测集的测度可以用其内部的闭子集的测度来逼近。 紧集内正则 ： 取 \(\mathcal{K}\) 为所有紧集。这要求更强，因为紧集的性质比闭集更好（特别是在非紧的空间中）。这在 局部紧豪斯多夫空间 中尤其重要。 第四步：外正则性的定义 外正则性 描述的是用“外部”较大的、性质良好的集合（如开集）从上方逼近任意可测集的能力。 外正则性（相对于一个集合族） ： 设 \(\mu\) 是 \((X, \mathcal{F})\) 上的测度，\(\mathcal{G}\) 是 \(\mathcal{F}\) 的一个子族（例如所有开集）。我们说 \(\mu\) 是 \(\mathcal{G}\)-外正则 的，如果对于每个可测集 \(E \in \mathcal{F}\)，都有： \[ \mu(E) = \inf \{ \mu(G) : E \subset G, G \in \mathcal{G} \}. \] 这个定义是说，集合 \(E\) 的测度，可以通过包含它的、属于族 \(\mathcal{G}\) 的超集的测度的下确界来“达到”或无限逼近。 常见的外正则性类型 ： 开集外正则 ： 取 \(\mathcal{G}\) 为所有开集。这表示任何可测集的测度可以用包含它的开超集的测度来逼近。 第五步：正则测度的定义 当内正则性和外正则性同时满足，且相互匹配时，我们就得到了一个非常“好”的测度。 正则博雷尔测度 ： 在拓扑空间 \((X, \tau)\) 上，一个定义在博雷尔 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}(X)\) 上的测度 \(\mu\) 称为 正则博雷尔测度 ，如果它同时满足： 外正则性 ： 对所有 \(E \in \mathcal{B}(X)\)，有 \(\mu(E) = \inf \{ \mu(G) : E \subset G, G \text{ 是开集} \}\)。 内正则性 ： 对所有 \(E \in \mathcal{B}(X)\)，有 \(\mu(E) = \sup \{ \mu(K) : K \subset E, K \text{ 是紧集} \}\)。 关键点 ： 这里的“内正则”是相对于 紧集 而言的，这是一个很强的条件，它要求空间有“足够多”的紧集。 正则性建立起了测度（分析对象）和拓扑/紧性（几何对象）之间的深刻联系。一个正则测度完全由它在开集（或紧集）上的值决定。 第六步：为什么需要正则性？——意义与重要性 正则性不是一个自动满足的性质，但许多重要的测度都具有正则性，这带来了巨大的便利。 逼近工具 ： 它允许我们用性质简单的集合（开集、紧集）来逼近复杂的可测集，从而简化许多证明。例如，要证明一个性质对所有可测集成立，可以先证明它对开集和紧集成立，然后利用正则性推广。 唯一性定理 ： 在“好”的空间上（如局部紧豪斯多夫空间），在博雷尔集上定义的两个正则测度，如果它们在所有开集上（或所有紧集上）取值相同，那么它们处处相等。 与连续函数的联系 ： 在局部紧豪斯多夫空间上，一个正则博雷尔测度 \(\mu\) 可以与 \(C_ c(X)\)（具有紧支集的连续函数空间）上的正线性泛函一一对应（里斯表示定理）。具体来说，\(\mu\) 的积分给出了这样一个泛函，反之，给定这样一个泛函，存在唯一的正则博雷尔测度 \(\mu\) 来表示它。这是现代分析的核心结果之一。 勒贝格测度的正则性 ： 在 \(\mathbb{R}^n\) 上， 勒贝格测度 是一个正则博雷尔测度。它的构造（通过外测度）自动保证了开集外正则性，而其内正则性（相对于紧集）则需要利用勒贝格测度的平移不变性和局部有限性等性质来证明。勒贝格测度的正则性是我们用闭立方体、开球等简单几何体来逼近任意勒贝格可测集的理论基础。 第七步：经典结论与例子 定理（在“好”空间上，有限博雷尔测度是正则的） ： 设 \(X\) 是一个 完备可分的度量空间 （即波兰空间），则 \(X\) 上任何一个 有限 博雷尔测度（即 \(\mu(X) < \infty\)）都是正则的（内正则相对于闭集，外正则相对于开集）。如果 \(X\) 是 局部紧的 ，则可以加强为内正则相对于紧集。 定理（在紧空间上，博雷尔测度自动正则） ： 在一个紧豪斯多夫空间上，任何一个有限博雷尔测度都是正则的。 例子 ： 计数测度 ： 在实数集 \(\mathbb{R}\) 上配备通常拓扑。计数测度 \(\mu(E) = E\) 中点的个数（若 \(E\) 无限则为 \(+\infty\)）。这个测度是 外正则 的（因为任何集合都包含在包含它的开集中，开集的测度可以很大），但 不是内正则 的。例如，考虑开区间 \((0,1)\)，它的内部紧子集只能是有限集，测度有限，其上确界是有限数，但 \(\mu((0,1)) = \infty\)，两者不相等。这说明内正则性是一个更强的、对测度“局部行为”的限制。 狄拉克测度 ： 在任意拓扑空间 \(X\) 中一点 \(x_ 0\) 处的狄拉克测度 \(\delta_ {x_ 0}(E) = 1 \text{ 若 } x_ 0 \in E, \text{否则 } 0\)。容易验证它是正则的（开集外正则，紧集内正则）。 总结 ： 内正则性与外正则性是衡量一个测度与底层拓扑结构兼容性的标尺。 正则测度 （同时满足开集外正则和紧集内正则）是分析学中最重要的一类测度，它们既具有良好的分析性质（可逼近性、唯一性），又与拓扑/几何（开集、紧集）及泛函分析（连续函数对偶）有着完美的结合。理解这个概念是学习更深入的测度论、几何测度论以及算子代数相关内容的关键一步。