C*-代数的态与GNS构造
字数 2105 2025-12-06 07:39:25

C*-代数的态与GNS构造

我们接下来讲解泛函分析中一个连接算子代数与希尔伯特空间表示的核心理论。首先，我们需要理解讨论的舞台：C*-代数。

  1. C*-代数回顾与动机

    • C*-代数 是一个既是复数域上的巴拿赫代数，又配备了满足特定性质的运算（共轭线性、对合、等距）的代数结构。具体地，它满足范数条件：对于任意元素a，有 ||aa|| = ||a||²。我们熟悉的例子包括：复数域ℂ（平凡情形）、定义在紧豪斯多夫空间X上的全体复值连续函数C(X)（乘法为逐点乘法，为复共轭，范数为上确界范数），以及希尔伯特空间H上的全体有界线性算子B(H)（乘法为算子复合，为算子伴随，范数为算子范数）。
    • 动机：我们希望用更具体、更易于处理的对象（比如希尔伯特空间上的算子）来“表示”抽象的C*-代数。Gelfand-Naimark定理指出，任何交换C*-代数都同构于某个紧豪斯多夫空间X上的函数代数C(X)。对于非交换的C*-代数，一个核心的推广思路是寻找到某个B(H)内的*-同态映射。这就是“表示理论”。而要构造这样的表示，关键的桥梁就是“态”。

  2. 态的严格定义

    • 设A是一个C*-代数。A上的一个态（State）是一个线性泛函 φ: A → ℂ，它满足两个条件：
      1. 正性：对于A中任意满足 a = a*（自伴元）且谱包含于[0, ∞)的元素a，有 φ(a) ≥ 0。等价地，对于所有a ∈ A，有 φ(a*a) ≥ 0。
      2. 归一性：若A含有单位元1，则要求 φ(1) = 1。如果A没有单位元，我们要求其在单位化后的代数中满足相应条件，或等价地说 ||φ|| = 1（由正性可推出此范数条件）。
    • 几何解释：在具有单位元的C*-代数中，全体态构成的集合是A的对偶空间A的一个凸子集。实际上，它是A的单位球面中所有正泛函构成的子集，这个子集是弱*紧的。

  3. GNS构造的第一步：从态得到内积

    • GNS（Gelfand-Naimark-Segal）构造从一个给定的态φ出发，为A构造一个希尔伯特空间表示。
    • 潜在问题：φ(aa) ≥ 0提示我们，可以定义<[a], [b]> := φ(ba)作为一个内积的候选，其中[a], [b]是某种等价类。但a*a可能为零而a不为零，这会导致内积不正定。
    • 解决方案：定义集合 N_φ = { a ∈ A | φ(aa) = 0 }。利用柯西-施瓦茨不等式（对于正泛函也成立）可以证明，N_φ实际上是A的一个左理想。然后我们考虑商空间 A / N_φ。在这个商空间上，我们定义内积：<a + N_φ, b + N_φ> := φ(ba)。这个定义是良定的，并且满足内积的所有公理（正定性由商结构保证）。这样，我们就得到了一个准希尔伯特空间（即配备了内积的线性空间，但可能不完备）。

  4. GNS构造的第二步：完备化与代数作用

    • 将上述内积空间 A / N_φ 进行完备化，得到一个希尔伯特空间，记为 H_φ。
    • 构造表示：对于A中任意元素x，我们定义一个从 A / N_φ 到自身的线性映射 π_φ(x)： [a] ↦ [xa]（这里[a] = a + N_φ）。需要验证：
      1. 这个映射是良定的（因为N_φ是左理想）。
      2. 每个π_φ(x)可以唯一地延拓为H_φ上的一个有界线性算子（有界性由φ的态性质和C*-代数范数关系保证）。
      3. 映射 π_φ: A → B(H_φ) 是一个*-同态，即它保持代数运算、*运算，并且是线性的。这就得到了代数A在希尔伯特空间H_φ上的一个表示。

  5. GNS构造的第三步：循环向量与重构

    • 在希尔伯特空间H_φ中，考虑由单位元的等价类（如果A无单位元，则考虑一个逼近单位元的网的某个等价类）生成的向量，记为ξ_φ := [1] + N_φ 或其极限。这个向量具有关键性质：
      1. 循环性：集合 { π_φ(a)ξ_φ | a ∈ A } 在H_φ中稠密。
      2. 重构性：对于所有a ∈ A，有 φ(a) = <ξ_φ, π_φ(a)ξ_φ>。换言之，给定的态φ可以通过这个表示和这个特定的循环向量ξ_φ，以向量态的形式重构出来。
    • 我们称 (π_φ, H_φ, ξ_φ) 为与态φ相关联的GNS三元组。这个表示在酉等价意义下是唯一的。

  6. GNS构造的意义与应用

    • 普遍性：通过遍历A的所有态，并将它们对应的GNS表示进行直和，我们可以得到一个称为万有表示的*-同态，它是单射且等距的。这正是Gelfand-Naimark定理的非交换版本：任何C*-代数都同构于某个希尔伯特空间上的算子代数的一个闭*-子代数。
    • 连通抽象与具体：GNS构造是沟通抽象C*-代数和具体希尔伯特空间算子理论的基石。它将代数上的正线性泛函（态）转化为希尔伯特空间中的单位向量（循环向量），将代数乘法转化为算子复合，从而为研究C*-代数的结构、表示分类（如不可约表示）、以及量子力学中观测量的代数描述（其中态对应于物理状态）提供了根本工具。
C* -代数的态与GNS构造 我们接下来讲解泛函分析中一个连接算子代数与希尔伯特空间表示的核心理论。首先，我们需要理解讨论的舞台：C* -代数。 C* -代数回顾与动机 C* -代数 是一个既是复数域上的巴拿赫代数，又配备了满足特定性质的 运算（共轭线性、对合、等距）的代数结构。具体地，它满足范数条件：对于任意元素a，有 ||a a|| = ||a||²。我们熟悉的例子包括：复数域ℂ（平凡情形）、定义在紧豪斯多夫空间X上的全体复值连续函数C(X)（乘法为逐点乘法， 为复共轭，范数为上确界范数），以及希尔伯特空间H上的全体有界线性算子B(H)（乘法为算子复合， 为算子伴随，范数为算子范数）。 动机 ：我们希望用更具体、更易于处理的对象（比如希尔伯特空间上的算子）来“表示”抽象的C* -代数。Gelfand-Naimark定理指出，任何交换C* -代数都同构于某个紧豪斯多夫空间X上的函数代数C(X)。对于非交换的C* -代数，一个核心的推广思路是寻找到某个B(H)内的* -同态映射。这就是“表示理论”。而要构造这样的表示，关键的桥梁就是“态”。 态的严格定义 设A是一个C* -代数。A上的一个 态 （State）是一个线性泛函 φ: A → ℂ，它满足两个条件： 正性 ：对于A中任意满足 a = a* （自伴元）且谱包含于 [ 0, ∞)的元素a，有 φ(a) ≥ 0。等价地，对于所有a ∈ A，有 φ(a* a) ≥ 0。 归一性 ：若A含有单位元1，则要求 φ(1) = 1。如果A没有单位元，我们要求其在单位化后的代数中满足相应条件，或等价地说 ||φ|| = 1（由正性可推出此范数条件）。 几何解释 ：在具有单位元的C* -代数中，全体态构成的集合是A的对偶空间A 的一个凸子集。实际上，它是A 的单位球面中所有正泛函构成的子集，这个子集是 弱* 紧 的。 GNS构造的第一步：从态得到内积 GNS（Gelfand-Naimark-Segal）构造从一个给定的态φ出发，为A构造一个希尔伯特空间表示。 潜在问题 ：φ(a a) ≥ 0提示我们，可以定义<[ a], [ b]> := φ(b a)作为一个内积的候选，其中[ a], [ b]是某种等价类。但a* a可能为零而a不为零，这会导致内积不正定。 解决方案 ：定义集合 N_ φ = { a ∈ A | φ(a a) = 0 }。利用柯西-施瓦茨不等式（对于正泛函也成立）可以证明，N_ φ实际上是A的一个 左理想 。然后我们考虑商空间 A / N_ φ。在这个商空间上，我们定义内积：<a + N_ φ, b + N_ φ> := φ(b a)。这个定义是良定的，并且满足内积的所有公理（正定性由商结构保证）。这样，我们就得到了一个 准希尔伯特空间 （即配备了内积的线性空间，但可能不完备）。 GNS构造的第二步：完备化与代数作用 将上述内积空间 A / N_ φ 进行完备化，得到一个 希尔伯特空间 ，记为 H_ φ。 构造表示 ：对于A中任意元素x，我们定义一个从 A / N_ φ 到自身的线性映射 π_ φ(x)： [ a] ↦ [ xa]（这里[ a] = a + N_ φ）。需要验证： 这个映射是良定的（因为N_ φ是左理想）。 每个π_ φ(x)可以唯一地延拓为H_ φ上的一个有界线性算子（有界性由φ的态性质和C* -代数范数关系保证）。 映射 π_ φ: A → B(H_ φ) 是一个* -同态，即它保持代数运算、* 运算，并且是线性的。这就得到了代数A在希尔伯特空间H_ φ上的一个 表示 。 GNS构造的第三步：循环向量与重构 在希尔伯特空间H_ φ中，考虑由单位元的等价类（如果A无单位元，则考虑一个逼近单位元的网的某个等价类）生成的向量，记为ξ_ φ := [ 1] + N_ φ 或其极限。这个向量具有关键性质： 循环性 ：集合 { π_ φ(a)ξ_ φ | a ∈ A } 在H_ φ中稠密。 重构性 ：对于所有a ∈ A，有 φ(a) = <ξ_ φ, π_ φ(a)ξ_ φ>。换言之，给定的态φ可以通过这个表示和这个特定的循环向量ξ_ φ，以向量态的形式 重构 出来。 我们称 (π_ φ, H_ φ, ξ_ φ) 为与态φ相关联的 GNS三元组 。这个表示在酉等价意义下是唯一的。 GNS构造的意义与应用 普遍性 ：通过遍历A的所有态，并将它们对应的GNS表示进行直和，我们可以得到一个称为 万有表示 的* -同态，它是单射且等距的。这正是 Gelfand-Naimark定理 的非交换版本：任何C* -代数都同构于某个希尔伯特空间上的算子代数的一个闭* -子代数。 连通抽象与具体 ：GNS构造是沟通抽象C* -代数和具体希尔伯特空间算子理论的基石。它将代数上的正线性泛函（态）转化为希尔伯特空间中的单位向量（循环向量），将代数乘法转化为算子复合，从而为研究C* -代数的结构、表示分类（如不可约表示）、以及量子力学中观测量的代数描述（其中态对应于物理状态）提供了根本工具。