分析学词条：黎曼-斯蒂尔切斯积分

字数 4352 2025-12-06 06:45:25

分析学词条：黎曼-斯蒂尔切斯积分

今天我们来系统性地学习一个联系黎曼积分与有界变差函数的重要概念——黎曼-斯蒂尔切斯积分。它是对经典黎曼积分的一个有力推广，在概率论、函数论和泛函分析中有着广泛应用。我们一步步来。

第一步：从黎曼积分到黎曼-斯蒂尔切斯积分的动机

在经典的黎曼积分中，我们研究的是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上相对于自变量 $x$ 的“面积”。其积分和定义为：

\[S(f, P) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \]

其中 $P: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ 是一个分割，$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 是小区间的长度，$\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ 是取样点。

黎曼-斯蒂尔切斯积分的核心思想是：将增量 $\Delta x_i$ 推广为另一个给定函数 $\alpha(x)$ 在该区间上的增量 $\Delta \alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})$。这样，新的积分和就变成了：

\[S(f, P, \alpha) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta \alpha_i \]

直观上，我们可以将 $\alpha(x)$ 视为一个“测度函数”或“权重函数”，积分 $\int_{a}^{b} f(x) d\alpha(x)$ 衡量的是 $f$ 相对于权重 $d\alpha$ 的加权总和。

第二步：严格定义

设 $f$ 和 $\alpha$ 是定义在闭区间 $[a, b]$ 上的实值函数。

分割与模：令 $P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ 是 $[a, b]$ 的一个分割。分割 $P$ 的模定义为 $\|P\| = \max_{1 \le i \le n} (x_i - x_{i-1})$。
黎曼-斯蒂尔切斯和：对给定的分割 $P$ 和一组取样点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，对应的黎曼-斯蒂尔切斯和为：

\[S(P, f, \alpha) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) [\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})] \]

可积定义：如果存在一个实数 $I$，使得对任意 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得对于任何满足 $\|P\| < \delta$ 的分割 $P$ 和任意选取的取样点 $\xi_i$，都有

\[|S(P, f, \alpha) - I| < \epsilon \]

则称 $f$ 关于 $\alpha$ 在 $[a, b]$ 上是黎曼-斯蒂尔切斯可积的，并记

\[I = \int_{a}^{b} f(x) d\alpha(x) \]

这个积分值 $I$ 就称为 $f$ 关于 $\alpha$ 的黎曼-斯蒂尔切斯积分。

显然，当 $\alpha(x) = x$ 时，$\Delta \alpha_i = \Delta x_i$，这个定义就退化成了经典的黎曼积分。因此，黎曼积分是它的一个特例。

第三步：可积性条件

什么样的函数对 $(f, \alpha)$ 能保证这个积分存在呢？下面是一些重要的充分条件，可以类比黎曼积分的相关定理来理解。

基本条件：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $\alpha$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的，则积分 $\int_{a}^{b} f d\alpha$ 存在。
- 注：有界变差函数（回顾我们之前讲过的词条）可以表示为两个单调递增函数之差。这个条件非常重要。
更强的条件：如果 $f$ 连续，$\alpha$ 单调（递增或递减），则积分存在。这其实是上一个条件的推论，因为单调函数必然是有界变差的。
无公共间断点条件：更一般地，如果 $f$ 黎曼可积，$\alpha$ 有界变差，并且 $f$ 与 $\alpha$ 在 $[a, b]$ 上没有公共的间断点，则积分 $\int_{a}^{b} f d\alpha$ 也存在。公共间断点会导致增量 $\Delta \alpha_i$ 的选取敏感地影响和式的值，从而破坏极限的唯一性。

第四步：性质与计算规则

黎曼-斯蒂尔切斯积分继承了黎曼积分的许多良好性质，并且与函数 $\alpha$ 的性质紧密相关。

线性性：

对被积函数 $f$ 线性：$\int_{a}^{b} (c_1 f_1 + c_2 f_2) d\alpha = c_1 \int_{a}^{b} f_1 d\alpha + c_2 \int_{a}^{b} f_2 d\alpha$。
对积分函数 $\alpha$ 线性：$\int_{a}^{b} f d(c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2) = c_1 \int_{a}^{b} f d\alpha_1 + c_2 \int_{a}^{b} f d\alpha_2$。

区间可加性：如果积分在 $[a, b]$ 上存在，且 $a < c < b$，则它在 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上也存在，且

\[\int_{a}^{b} f d\alpha = \int_{a}^{c} f d\alpha + \int_{c}^{b} f d\alpha \]

分部积分公式：这是该理论中一个极其重要的公式。它建立了关于 $\alpha$ 的积分与关于 $f$ 的积分之间的联系：

\[\int_{a}^{b} f(x) d\alpha(x) + \int_{a}^{b} \alpha(x) df(x) = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a) \]

前提是等式左边的两个积分中有一个存在，则另一个也存在，且等式成立。这个公式是计算许多黎曼-斯蒂尔切斯积分的关键工具。

对 $\alpha$ 的依赖性：如果 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 在 $[a, b]$ 上只相差一个常数，则对任何可积的 $f$，有 $\int_{a}^{b} f d\alpha_1 = \int_{a}^{b} f d\alpha_2$。因此，积分值依赖于 $\alpha$ 的“变化”而不是其绝对数值。

第五步：与黎曼积分的关系及计算实例

当 $\alpha$ 足够光滑时，黎曼-斯蒂尔切斯积分可以转化为经典的黎曼积分。

关键定理：如果 $\alpha$ 在 $[a, b]$ 上连续可微（即 $\alpha‘ \in C^1$），则 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔切斯可积当且仅当 $f \alpha’$ 黎曼可积，并且有

\[\int_{a}^{b} f(x) d\alpha(x) = \int_{a}^{b} f(x) \alpha‘( (x) dx \]

这个公式将新的积分转化为我们熟悉的黎曼积分。

计算示例：设 $f(x) = x$，$\alpha(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上。

用定义思路：由于 $\alpha$ 可导，我们利用上述定理：

\[ \int_{0}^{1} x \, d(x^2) = \int_{0}^{1} x \cdot (2x) \, dx = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \frac{2}{3} x^3 \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3} \]

2.  **用分部积分公式验证**：由公式，

\[ \int_{0}^{1} x \, d(x^2) = x \cdot x^2 \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^2 \, dx = (1 - 0) - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

两者结果一致，$\boxed{\int_{0}^{1} x \, d(x^2) = \frac{2}{3}}$。

第六步：核心应用——概率论与测度

黎曼-斯蒂尔切斯积分最深刻的应用之一是在概率论中。

设 $X$ 是一个随机变量，其累积分布函数为 $F_X(x) = P(X \le x)$。函数 $F_X$ 是单调非减、右连续的函数，满足 $F_X(-\infty)=0$， $F_X(+\infty)=1$。它正是一个典型的有界变差函数。
随机变量 $X$ 的数学期望（如果存在）可以定义为函数 $g(x)$ 关于其分布函数 $F_X$ 的黎曼-斯蒂尔切斯积分：

\[E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) dF_X(x) \]

如果 $X$ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $p(x)$，则 $dF_X(x) = p(x)dx$，上式退化为 $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) p(x) dx$。
如果 $X$ 是离散型随机变量，取值为 $\{x_i\}$，概率为 $p_i$，则 $F_X$ 是一个阶梯函数，在 $x_i$ 处跳跃 $p_i$。此时，积分 $\int g(x) dF_X(x)$ 自然地化为求和 $\sum_i g(x_i) p_i$。

因此，黎曼-斯蒂尔切斯积分提供了一个统一的框架，用于定义连续型和离散型（乃至混合型）随机变量函数的期望，无需区分情况。这正是其威力所在。

总结一下：
黎曼-斯蒂尔切斯积分 $\int f d\alpha$ 是经典黎曼积分的推广，它将积分区间长度的度量 $\Delta x$ 替换为由另一个函数 $\alpha$ 确定的“加权长度” $\Delta \alpha$。它的存在性要求 $f$ 和 $\alpha$ 具有一定正则性（如 $f$ 连续，$\alpha$ 有界变差且无公共间断点）。它具有线性、可加性和强大的分部积分公式。当 $\alpha$ 可导时，它化为普通的黎曼积分；当 $\alpha$ 是阶梯函数时，它化为求和。这一工具在概率论中用于统一地定义关于任意分布随机变量的期望，是分析学连接概率论的一座关键桥梁。

分析学词条：黎曼-斯蒂尔切斯积分今天我们来系统性地学习一个联系黎曼积分与有界变差函数的重要概念—— 黎曼-斯蒂尔切斯积分。它是对经典黎曼积分的一个有力推广，在概率论、函数论和泛函分析中有着广泛应用。我们一步步来。第一步：从黎曼积分到黎曼-斯蒂尔切斯积分的动机在经典的黎曼积分中，我们研究的是函数 $f(x)$ 在区间 $[ a, b ]$ 上相对于自变量 $x$ 的“面积”。其积分和定义为： \[ S(f, P) = \sum_ {i=1}^{n} f(\xi_ i) \Delta x_ i \] 其中 $P: a = x_ 0 < x_ 1 < \dots < x_ n = b$ 是一个分割，$\Delta x_ i = x_ i - x_ {i-1}$ 是小区间的长度，$\xi_ i \in [ x_ {i-1}, x_ i ]$ 是取样点。黎曼-斯蒂尔切斯积分的核心思想是：将增量 $\Delta x_ i$ 推广为另一个给定函数 $\alpha(x)$ 在该区间上的增量 $\Delta \alpha_ i = \alpha(x_ i) - \alpha(x_ {i-1})$。这样，新的积分和就变成了： \[ S(f, P, \alpha) = \sum_ {i=1}^{n} f(\xi_ i) \Delta \alpha_ i \] 直观上，我们可以将 $\alpha(x)$ 视为一个“测度函数”或“权重函数”，积分 $\int_ {a}^{b} f(x) d\alpha(x)$ 衡量的是 $f$ 相对于权重 $d\alpha$ 的加权总和。第二步：严格定义设 $f$ 和 $\alpha$ 是定义在闭区间 $[ a, b ]$ 上的实值函数。分割与模：令 $P = \{x_ 0, x_ 1, \dots, x_ n\}$ 是 $[ a, b]$ 的一个分割。分割 $P$ 的模定义为 $\|P\| = \max_ {1 \le i \le n} (x_ i - x_ {i-1})$。黎曼-斯蒂尔切斯和：对给定的分割 $P$ 和一组取样点 $\xi_ i \in [ x_ {i-1}, x_ i ]$，对应的黎曼-斯蒂尔切斯和为： \[ S(P, f, \alpha) = \sum_ {i=1}^{n} f(\xi_ i) [ \alpha(x_ i) - \alpha(x_ {i-1}) ] \] 可积定义：如果存在一个实数 $I$，使得对任意 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得对于任何满足 $\|P\| < \delta$ 的分割 $P$ 和任意选取的取样点 $\xi_ i$，都有 \[ |S(P, f, \alpha) - I| < \epsilon \] 则称 $f$ 关于 $\alpha$ 在 $[ a, b ]$ 上是黎曼-斯蒂尔切斯可积的，并记 \[ I = \int_ {a}^{b} f(x) d\alpha(x) \] 这个积分值 $I$ 就称为 $f$ 关于 $\alpha$ 的黎曼-斯蒂尔切斯积分。显然，当 $\alpha(x) = x$ 时，$\Delta \alpha_ i = \Delta x_ i$，这个定义就退化成了经典的黎曼积分。因此，黎曼积分是它的一个特例。第三步：可积性条件什么样的函数对 $(f, \alpha)$ 能保证这个积分存在呢？下面是一些重要的充分条件，可以类比黎曼积分的相关定理来理解。基本条件：如果 $f$ 在 $[ a, b]$ 上连续，且 $\alpha$ 在 $[ a, b]$ 上是有界变差的，则积分 $\int_ {a}^{b} f d\alpha$ 存在。注：有界变差函数（回顾我们之前讲过的词条）可以表示为两个单调递增函数之差。这个条件非常重要。更强的条件：如果 $f$ 连续，$\alpha$ 单调（递增或递减），则积分存在。这其实是上一个条件的推论，因为单调函数必然是有界变差的。无公共间断点条件：更一般地，如果 $f$ 黎曼可积，$\alpha$ 有界变差，并且 $f$ 与 $\alpha$ 在 $[ a, b]$ 上没有公共的间断点，则积分 $\int_ {a}^{b} f d\alpha$ 也存在。公共间断点会导致增量 $\Delta \alpha_ i$ 的选取敏感地影响和式的值，从而破坏极限的唯一性。第四步：性质与计算规则黎曼-斯蒂尔切斯积分继承了黎曼积分的许多良好性质，并且与函数 $\alpha$ 的性质紧密相关。线性性：对被积函数 $f$ 线性：$\int_ {a}^{b} (c_ 1 f_ 1 + c_ 2 f_ 2) d\alpha = c_ 1 \int_ {a}^{b} f_ 1 d\alpha + c_ 2 \int_ {a}^{b} f_ 2 d\alpha$。对积分函数 $\alpha$ 线性：$\int_ {a}^{b} f d(c_ 1 \alpha_ 1 + c_ 2 \alpha_ 2) = c_ 1 \int_ {a}^{b} f d\alpha_ 1 + c_ 2 \int_ {a}^{b} f d\alpha_ 2$。区间可加性：如果积分在 $[ a, b]$ 上存在，且 $a < c < b$，则它在 $[ a, c]$ 和 $[ c, b ]$ 上也存在，且 \[ \int_ {a}^{b} f d\alpha = \int_ {a}^{c} f d\alpha + \int_ {c}^{b} f d\alpha \] 分部积分公式：这是该理论中一个极其重要的公式。它建立了关于 $\alpha$ 的积分与关于 $f$ 的积分之间的联系： \[ \int_ {a}^{b} f(x) d\alpha(x) + \int_ {a}^{b} \alpha(x) df(x) = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a) \] 前提是等式左边的两个积分中有一个存在，则另一个也存在，且等式成立。这个公式是计算许多黎曼-斯蒂尔切斯积分的关键工具。对 $\alpha$ 的依赖性：如果 $\alpha_ 1$ 和 $\alpha_ 2$ 在 $[ a, b]$ 上只相差一个常数，则对任何可积的 $f$，有 $\int_ {a}^{b} f d\alpha_ 1 = \int_ {a}^{b} f d\alpha_ 2$。因此，积分值依赖于 $\alpha$ 的“变化”而不是其绝对数值。第五步：与黎曼积分的关系及计算实例当 $\alpha$ 足够光滑时，黎曼-斯蒂尔切斯积分可以转化为经典的黎曼积分。关键定理：如果 $\alpha$ 在 $[ a, b ]$ 上连续可微（即 $\alpha‘ \in C^1$），则 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔切斯可积当且仅当 $f \alpha’$ 黎曼可积，并且有 \[ \int_ {a}^{b} f(x) d\alpha(x) = \int_ {a}^{b} f(x) \alpha‘( (x) dx \] 这个公式将新的积分转化为我们熟悉的黎曼积分。计算示例：设 $f(x) = x$，$\alpha(x) = x^2$ 在 $[ 0, 1 ]$ 上。用定义思路：由于 $\alpha$ 可导，我们利用上述定理： \[ \int_ {0}^{1} x \, d(x^2) = \int_ {0}^{1} x \cdot (2x) \, dx = \int_ {0}^{1} 2x^2 \, dx = \frac{2}{3} x^3 \Big|_ {0}^{1} = \frac{2}{3} \] 用分部积分公式验证：由公式， \[ \int_ {0}^{1} x \, d(x^2) = x \cdot x^2 \Big| {0}^{1} - \int {0}^{1} x^2 \, dx = (1 - 0) - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] 两者结果一致，$\boxed{\int_ {0}^{1} x \, d(x^2) = \frac{2}{3}}$。第六步：核心应用——概率论与测度黎曼-斯蒂尔切斯积分最深刻的应用之一是在概率论中。设 $X$ 是一个随机变量，其累积分布函数为 $F_ X(x) = P(X \le x)$。函数 $F_ X$ 是单调非减、右连续的函数，满足 $F_ X(-\infty)=0$， $F_ X(+\infty)=1$。它正是一个典型的有界变差函数。随机变量 $X$ 的数学期望（如果存在）可以定义为函数 $g(x)$ 关于其分布函数 $F_ X$ 的黎曼-斯蒂尔切斯积分： \[ E[ g(X)] = \int_ {-\infty}^{\infty} g(x) dF_ X(x) \] 如果 $X$ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $p(x)$，则 $dF_ X(x) = p(x)dx$，上式退化为 $E[ g(X)] = \int_ {-\infty}^{\infty} g(x) p(x) dx$。如果 $X$ 是离散型随机变量，取值为 $\{x_ i\}$，概率为 $p_ i$，则 $F_ X$ 是一个阶梯函数，在 $x_ i$ 处跳跃 $p_ i$。此时，积分 $\int g(x) dF_ X(x)$ 自然地化为求和 $\sum_ i g(x_ i) p_ i$。因此，黎曼-斯蒂尔切斯积分提供了一个统一的框架，用于定义连续型和离散型（乃至混合型）随机变量函数的期望，无需区分情况。这正是其威力所在。总结一下：黎曼-斯蒂尔切斯积分 $\int f d\alpha$ 是经典黎曼积分的推广，它将积分区间长度的度量 $\Delta x$ 替换为由另一个函数 $\alpha$ 确定的“加权长度” $\Delta \alpha$。它的存在性要求 $f$ 和 $\alpha$ 具有一定正则性（如 $f$ 连续，$\alpha$ 有界变差且无公共间断点）。它具有线性、可加性和强大的分部积分公式。当 $\alpha$ 可导时，它化为普通的黎曼积分；当 $\alpha$ 是阶梯函数时，它化为求和。这一工具在概率论中用于统一地定义关于任意分布随机变量的期望，是分析学连接概率论的一座关键桥梁。