二次域的类数与迪利克雷类数公式
字数 2986 2025-12-06 05:03:01

二次域的类数与迪利克雷类数公式

我们先建立二次域的基本概念。设 \(d \neq 0,1\) 是一个无平方因子的整数，记 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)，这是一个二次域。它的判别式 \(D_K\) 定义为：

  • 如果 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，则 \(D_K = d\)。
  • 如果 \(d \equiv 2,3 \pmod{4}\)，则 \(D_K = 4d\)。

判别式是二次域最重要的不变量之一，它决定了域的基本算术性质。

第一步：理想类群与类数

  1. 在二次域 \(K\) 中，所有分式理想构成一个阿贝尔群，主分式理想（即形如 \((\alpha)\) 的理想）构成它的一个子群。
  2. 这两个群的商群称为 \(K\) 的理想类群，记作 \(Cl_K\)。它是一个有限阿贝尔群。
  3. 理想类群的阶 \(h_K = |Cl_K|\) 称为 \(K\) 的类数。类数 \(h_K = 1\) 当且仅当 \(K\) 的整数环是主理想整环，即其中算术基本定理成立（每个非零理想都可唯一分解成素理想的乘积）。因此，类数衡量了该数域与“唯一因子分解性质”的偏离程度。

第二步：迪利克雷类数公式的基本形式
对于二次域，类数可以通过一个与判别式相关的解析公式精确计算，这就是迪利克雷类数公式。它的最经典形式为：

  1. 定义二次域 \(K\) 的戴德金ζ函数为：

\[\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a}} \frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}, \quad \Re(s) > 1 \]

其中求和过所有非零理想 \(\mathfrak{a}\)，\(N(\mathfrak{a})\) 是理想的范数。
2. 这个函数在 \(s=1\) 处有一个单极点，其留数包含了类数信息。迪利克雷证明了留数公式：

\[\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s) = \frac{2^{r_1} (2\pi)^{r_2} h_K R_K}{w_K \sqrt{|D_K|}} \]

其中：

  • \(r_1\) 是实嵌入的个数（对二次域，\(r_1=2, d>0\)；\(r_1=0, d<0\)）。
  • \(r_2\) 是复嵌入的对数（对二次域，\(r_2=0, d>0\)；\(r_2=1, d<0\)）。
  • \(w_K\) 是单位根（即1的根）的个数。对二次域，当 \(d<0\) 且 \(d \neq -1, -3\) 时，\(w_K=2\)（只有±1）；\(d=-1\) 时 \(w_K=4\)（±1, ±i）；\(d=-3\) 时 \(w_K=6\)（六次单位根）。当 \(d>0\) 时，\(w_K=2\)。
  • \(R_K\) 是调整子，对实二次域是基本单位的对数，对虚二次域定义为1。

第三步：针对二次域的类数公式具体化
利用二次域的ζ函数可以分解为 \(\zeta_K(s) = \zeta(s) L(s, \chi_D)\)，其中 \(\chi_D = \left(\frac{D}{\cdot}\right)\) 是克罗内克符号（二次域的特征标），可以推导出更具体的类数公式。

  1. 虚二次域 (d<0) 的类数公式：

\[h_K = \frac{w_K \sqrt{|D|}}{2\pi} L(1, \chi_D) \]

其中 \(L(1, \chi_D) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi_D(n)}{n}\)。这个公式将类数表示为一个有限和，因为 \(L(1, \chi_D)\) 可以写成有限和（利用狄利克雷特征的性质）：

\[L(1, \chi_D) = -\frac{\pi}{D^{3/2}} \sum_{a=1}^{|D|} \chi_D(a) a, \quad \text{或等价地} \quad h_K = \frac{1}{2 - \chi_D(2)} \sum_{a=1}^{|D|-1} \chi_D(a) \left( \frac{a}{|D|} - \frac{1}{2} \right) \]

这给出了计算虚二次域类数的明确算法。

  1. 实二次域 (d>0) 的类数公式：
    设 \(\epsilon > 1\) 是基本单位（即满足佩尔方程 \(x^2 - d y^2 = \pm 1\) 的最小解 \(x+y\sqrt{d}\)），则

\[h_K R_K = \frac{\sqrt{D}}{2} L(1, \chi_D) \]

其中 \(R_K = \log \epsilon\)，所以

\[h_K = \frac{\sqrt{D}}{2 \log \epsilon} L(1, \chi_D) \]

同样，\(L(1, \chi_D)\) 可以表示为有限和：

\[L(1, \chi_D) = -\frac{1}{\sqrt{D}} \sum_{a=1}^{D} \chi_D(a) \log \sin \frac{\pi a}{D} \]

或者利用连分数展开计算基本单位 \(\epsilon\) 和 \(L(1, \chi_D)\) 的近似值来求 \(h_K\)。

第四步：类数公式的意义与应用

  1. 计算工具：类数公式是将类数这个代数对象与解析的L-函数在中心点 \(s=1\) 的值联系起来，使得计算大规模二次域的类数成为可能。
  2. 类数的性质：
    • 虚二次域的类数随着 \(|D|\) 增大而增大，但增长缓慢。高斯拉猜想（即虚二次域类数为1的只有9个）已由贝克-斯塔克解决。
    • 实二次域的类数通常很小，但有无穷多个实二次域的类数为1（此猜想未解决）。
  3. 与其他问题的联系：
    • 类数公式是解析类数公式的特例，后者是更一般的代数数域类数公式的基础。
    • 它与BSD猜想有形式上的相似性，后者将椭圆曲线的秩与L函数在中心点的导数联系起来。
    • 类数整除性问题（如库默尔关于费马大定理的工作）与类数公式中L函数值的算术性质密切相关。

第五步：举例
考虑虚二次域 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)，此时 \(d=-5 \equiv 3 \pmod{4}\)，所以 \(D_K = 4d = -20\)，\(|D|=20\)，\(w_K=2\)。计算：

\[L(1, \chi_{-20}) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \dots \]

实际上可以通过有限和公式精确计算得 \(L(1, \chi_{-20}) = \frac{\pi}{\sqrt{20}} \cdot 2\)（具体计算略）。代入公式：

\[h_K = \frac{2 \sqrt{20}}{2\pi} \cdot \frac{2\pi}{\sqrt{20}} = 2 \]

所以 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 的类数为2，这与它的整数环不是主理想整环（例如理想 (2, 1+\sqrt{-5}) 非主）一致。

二次域的类数与迪利克雷类数公式 我们先建立二次域的基本概念。设 \(d \neq 0,1\) 是一个无平方因子的整数，记 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\)，这是一个二次域。它的 判别式 \(D_ K\) 定义为： 如果 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，则 \(D_ K = d\)。 如果 \(d \equiv 2,3 \pmod{4}\)，则 \(D_ K = 4d\)。 判别式是二次域最重要的不变量之一，它决定了域的基本算术性质。 第一步：理想类群与类数 在二次域 \(K\) 中，所有分式理想构成一个阿贝尔群，主分式理想（即形如 \((\alpha)\) 的理想）构成它的一个子群。 这两个群的商群称为 \(K\) 的 理想类群 ，记作 \(Cl_ K\)。它是一个有限阿贝尔群。 理想类群的阶 \(h_ K = |Cl_ K|\) 称为 \(K\) 的 类数 。类数 \(h_ K = 1\) 当且仅当 \(K\) 的整数环是主理想整环，即其中算术基本定理成立（每个非零理想都可唯一分解成素理想的乘积）。因此，类数衡量了该数域与“唯一因子分解性质”的偏离程度。 第二步：迪利克雷类数公式的基本形式 对于二次域，类数可以通过一个与判别式相关的解析公式精确计算，这就是 迪利克雷类数公式 。它的最经典形式为： 定义二次域 \(K\) 的 戴德金ζ函数 为： \[ \zeta_ K(s) = \sum_ {\mathfrak{a}} \frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}, \quad \Re(s) > 1 \] 其中求和过所有非零理想 \(\mathfrak{a}\)，\(N(\mathfrak{a})\) 是理想的范数。 这个函数在 \(s=1\) 处有一个单极点，其留数包含了类数信息。迪利克雷证明了留数公式： \[ \lim_ {s \to 1} (s-1) \zeta_ K(s) = \frac{2^{r_ 1} (2\pi)^{r_ 2} h_ K R_ K}{w_ K \sqrt{|D_ K|}} \] 其中： \(r_ 1\) 是实嵌入的个数（对二次域，\(r_ 1=2, d>0\)；\(r_ 1=0, d <0\)）。 \(r_ 2\) 是复嵌入的对数（对二次域，\(r_ 2=0, d>0\)；\(r_ 2=1, d <0\)）。 \(w_ K\) 是单位根（即1的根）的个数。对二次域，当 \(d<0\) 且 \(d \neq -1, -3\) 时，\(w_ K=2\)（只有±1）；\(d=-1\) 时 \(w_ K=4\)（±1, ±i）；\(d=-3\) 时 \(w_ K=6\)（六次单位根）。当 \(d>0\) 时，\(w_ K=2\)。 \(R_ K\) 是 调整子 ，对实二次域是基本单位的对数，对虚二次域定义为1。 第三步：针对二次域的类数公式具体化 利用二次域的ζ函数可以分解为 \(\zeta_ K(s) = \zeta(s) L(s, \chi_ D)\)，其中 \(\chi_ D = \left(\frac{D}{\cdot}\right)\) 是克罗内克符号（二次域的特征标），可以推导出更具体的类数公式。 虚二次域 (d<0) 的类数公式 ： \[ h_ K = \frac{w_ K \sqrt{|D|}}{2\pi} L(1, \chi_ D) \] 其中 \(L(1, \chi_ D) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{\chi_ D(n)}{n}\)。这个公式将类数表示为一个有限和，因为 \(L(1, \chi_ D)\) 可以写成有限和（利用狄利克雷特征的性质）： \[ L(1, \chi_ D) = -\frac{\pi}{D^{3/2}} \sum_ {a=1}^{|D|} \chi_ D(a) a, \quad \text{或等价地} \quad h_ K = \frac{1}{2 - \chi_ D(2)} \sum_ {a=1}^{|D|-1} \chi_ D(a) \left( \frac{a}{|D|} - \frac{1}{2} \right) \] 这给出了计算虚二次域类数的明确算法。 实二次域 (d>0) 的类数公式 ： 设 \(\epsilon > 1\) 是基本单位（即满足佩尔方程 \(x^2 - d y^2 = \pm 1\) 的最小解 \(x+y\sqrt{d}\)），则 \[ h_ K R_ K = \frac{\sqrt{D}}{2} L(1, \chi_ D) \] 其中 \(R_ K = \log \epsilon\)，所以 \[ h_ K = \frac{\sqrt{D}}{2 \log \epsilon} L(1, \chi_ D) \] 同样，\(L(1, \chi_ D)\) 可以表示为有限和： \[ L(1, \chi_ D) = -\frac{1}{\sqrt{D}} \sum_ {a=1}^{D} \chi_ D(a) \log \sin \frac{\pi a}{D} \] 或者利用连分数展开计算基本单位 \(\epsilon\) 和 \(L(1, \chi_ D)\) 的近似值来求 \(h_ K\)。 第四步：类数公式的意义与应用 计算工具 ：类数公式是将类数这个代数对象与解析的L-函数在中心点 \(s=1\) 的值联系起来，使得计算大规模二次域的类数成为可能。 类数的性质 ： 虚二次域的类数随着 \(|D|\) 增大而增大，但增长缓慢。高斯拉猜想（即虚二次域类数为1的只有9个）已由贝克-斯塔克解决。 实二次域的类数通常很小，但有无穷多个实二次域的类数为1（此猜想未解决）。 与其他问题的联系 ： 类数公式是 解析类数公式 的特例，后者是更一般的代数数域类数公式的基础。 它与 BSD猜想 有形式上的相似性，后者将椭圆曲线的秩与L函数在中心点的导数联系起来。 类数整除性问题（如库默尔关于费马大定理的工作）与类数公式中L函数值的算术性质密切相关。 第五步：举例 考虑虚二次域 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)，此时 \(d=-5 \equiv 3 \pmod{4}\)，所以 \(D_ K = 4d = -20\)，\(|D|=20\)，\(w_ K=2\)。计算： \[ L(1, \chi_ {-20}) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \dots \] 实际上可以通过有限和公式精确计算得 \(L(1, \chi_ {-20}) = \frac{\pi}{\sqrt{20}} \cdot 2\)（具体计算略）。代入公式： \[ h_ K = \frac{2 \sqrt{20}}{2\pi} \cdot \frac{2\pi}{\sqrt{20}} = 2 \] 所以 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 的类数为2，这与它的整数环不是主理想整环（例如理想 (2, 1+\sqrt{-5}) 非主）一致。