模形式的艾森斯坦级数的常数项公式与伯努利数的算术性质
字数 2163 2025-12-06 04:08:51

模形式的艾森斯坦级数的常数项公式与伯努利数的算术性质

我们先从最基础的背景开始。

  1. 回顾：艾森斯坦级数的定义
    在之前的词条“模形式的艾森斯坦级数的傅里叶展开”中，我们已经知道，对于一个整数 \(k > 2\)（通常为偶数），级数 \(E_k(z) = \frac{1}{2} \sum_{\substack{m, n \in \mathbb{Z} \\ (m, n) = 1}} \frac{1}{(mz + n)^k}\) 是权为 \(k\) 的模形式。这个求和是对所有互质整数对进行的。为了计算方便，常采用归一化版本 \(G_k(z) = \sum_{\substack{m, n \in \mathbb{Z} \\ (m, n) \neq (0,0)}} \frac{1}{(mz + n)^k}\)。两者只差一个常数因子。

  2. 傅里叶展开与常数项
    通过将求和按 \(n\) 重新排列，并利用复数分析中的技巧（例如 Lipschitz 公式或泊松求和公式），可以得到 \(G_k(z)\) 的傅里叶展开式：

\[ G_k(z) = 2\zeta(k) + 2\frac{(2\pi i)^k}{(k-1)!} \sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n) e^{2\pi i n z} \]

这里 \(\sigma_{k-1}(n) = \sum_{d|n} d^{k-1}\) 是除数函数，\(\zeta(k) = \sum_{n=1}^\infty 1/n^k\) 是黎曼ζ函数。展开式中的常数项（即不依赖于 \(z\) 的项）就是 \(2\zeta(k)\)。

  1. 伯努利数的引入
    黎曼ζ函数在正偶数处的值可以用伯努利数精确表示。伯努利数 \(B_k\) 是通过生成函数定义的：

\[ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_{k=0}^{\infty} B_k \frac{t^k}{k!} \]

前几个值为：\(B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3 = 0, B_4 = -\frac{1}{30}, B_5 = 0, \ldots\)。一个关键事实是：对所有 \(k \ge 1\)，有 \(B_{2k+1} = 0\)。

  1. ζ函数在偶数值的公式
    欧拉证明了对于任意整数 \(k \ge 1\)：

\[ \zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{B_{2k} (2\pi)^{2k}}{2(2k)!} \]

这个公式将 ζ 函数在正偶数点的值（一个与圆周率 π 相关的超越数）与伯努利数（有理数）联系起来。例如，\(\zeta(2) = \pi^2/6\) 对应于 \(B_2 = 1/6\)。

  1. 艾森斯坦级数常数项的具体公式
    将上述 ζ 函数公式代入 \(G_k(z)\) 的常数项 \(2\zeta(k)\) 中，但注意公式只对偶数 \(k\) 成立。通常我们设 \(k = 2m\)（\(m \ge 2\)），则：

\[ 2\zeta(2m) = 2 \cdot (-1)^{m+1} \frac{B_{2m} (2\pi)^{2m}}{2(2m)!} = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m} B_{2m}}{(2m)!} \]

为了得到更常用的归一化艾森斯坦级数 \(E_{2m}(z) = \frac{G_{2m}(z)}{2\zeta(2m)}\)，其傅里叶展开的常数项被规范化为 1。但原始的 \(G_{2m}(z)\) 的常数项就是上述用伯努利数表示的有理数与 π 的幂的乘积。

  1. 伯努利数的算术性质
    伯努利数 \(B_{2m}\) 是重要的数论常数，它们的算术性质深刻影响了模形式常数项的算术：

    • 分母：冯·施陶特-克劳森定理指出，\(B_{2m}\) 的分母是所有满足 \((p-1) \mid 2m\) 的素数 \(p\) 的乘积。例如，\(B_{12} = -691/2730\)，分母 2730 = 2 × 3 × 5 × 7 × 13，因为 \(p-1\) 整除 12 的素数是 2, 3, 5, 7, 13。
    • 分子：与 ζ 函数的特殊值相关，并且出现在模形式同余性质中。一个著名结果是库默同余，揭示了伯努利数模素数的规律。
    • 这些性质直接导致了艾森斯坦级数的常数项（在适当归一化后）具有丰富的 p-adic 性质和同余性质，这也是连接模形式与岩泽理论的桥梁之一。

  2. 总结与意义
    因此，模形式中艾森斯坦级数的常数项公式，通过伯努利数，将模形式的傅里叶系数（这里是常数项）与 ζ 函数的特殊值、圆周率 π 以及伯努利数的算术紧密联系起来。这不仅提供了计算模形式具体数值的利器，其分母的素数分布性质（冯·施陶特-克劳森定理）也暗示了模形式系数中隐藏的深刻算术信息，是研究 p-adic 模形式和岩泽理论中 p-adic L 函数插值性质的起点之一。

模形式的艾森斯坦级数的常数项公式与伯努利数的算术性质 我们先从最基础的背景开始。 回顾：艾森斯坦级数的定义 在之前的词条“模形式的艾森斯坦级数的傅里叶展开”中，我们已经知道，对于一个整数 \( k > 2 \)（通常为偶数），级数 \( E_ k(z) = \frac{1}{2} \sum_ {\substack{m, n \in \mathbb{Z} \\ (m, n) = 1}} \frac{1}{(mz + n)^k} \) 是权为 \( k \) 的模形式。这个求和是对所有互质整数对进行的。为了计算方便，常采用归一化版本 \( G_ k(z) = \sum_ {\substack{m, n \in \mathbb{Z} \\ (m, n) \neq (0,0)}} \frac{1}{(mz + n)^k} \)。两者只差一个常数因子。 傅里叶展开与常数项 通过将求和按 \( n \) 重新排列，并利用复数分析中的技巧（例如 Lipschitz 公式或泊松求和公式），可以得到 \( G_ k(z) \) 的傅里叶展开式： \[ G_ k(z) = 2\zeta(k) + 2\frac{(2\pi i)^k}{(k-1)!} \sum_ {n=1}^{\infty} \sigma_ {k-1}(n) e^{2\pi i n z} \] 这里 \( \sigma_ {k-1}(n) = \sum_ {d|n} d^{k-1} \) 是除数函数，\( \zeta(k) = \sum_ {n=1}^\infty 1/n^k \) 是黎曼ζ函数。展开式中的常数项（即不依赖于 \( z \) 的项）就是 \( 2\zeta(k) \)。 伯努利数的引入 黎曼ζ函数在正偶数处的值可以用 伯努利数 精确表示。伯努利数 \( B_ k \) 是通过生成函数定义的： \[ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_ {k=0}^{\infty} B_ k \frac{t^k}{k !} \] 前几个值为：\( B_ 0 = 1, B_ 1 = -\frac{1}{2}, B_ 2 = \frac{1}{6}, B_ 3 = 0, B_ 4 = -\frac{1}{30}, B_ 5 = 0, \ldots \)。一个关键事实是：对所有 \( k \ge 1 \)，有 \( B_ {2k+1} = 0 \)。 ζ函数在偶数值的公式 欧拉证明了对于任意整数 \( k \ge 1 \)： \[ \zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{B_ {2k} (2\pi)^{2k}}{2(2k) !} \] 这个公式将 ζ 函数在正偶数点的值（一个与圆周率 π 相关的超越数）与伯努利数（有理数）联系起来。例如，\( \zeta(2) = \pi^2/6 \) 对应于 \( B_ 2 = 1/6 \)。 艾森斯坦级数常数项的具体公式 将上述 ζ 函数公式代入 \( G_ k(z) \) 的常数项 \( 2\zeta(k) \) 中，但注意公式只对偶数 \( k \) 成立。通常我们设 \( k = 2m \)（\( m \ge 2 \)），则： \[ 2\zeta(2m) = 2 \cdot (-1)^{m+1} \frac{B_ {2m} (2\pi)^{2m}}{2(2m)!} = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m} B_ {2m}}{(2m) !} \] 为了得到更常用的 归一化艾森斯坦级数 \( E_ {2m}(z) = \frac{G_ {2m}(z)}{2\zeta(2m)} \)，其傅里叶展开的常数项被规范化为 1。但原始的 \( G_ {2m}(z) \) 的常数项就是上述用伯努利数表示的有理数与 π 的幂的乘积。 伯努利数的算术性质 伯努利数 \( B_ {2m} \) 是重要的数论常数，它们的算术性质深刻影响了模形式常数项的算术： 分母 ：冯·施陶特-克劳森定理指出，\( B_ {2m} \) 的分母是所有满足 \( (p-1) \mid 2m \) 的素数 \( p \) 的乘积。例如，\( B_ {12} = -691/2730 \)，分母 2730 = 2 × 3 × 5 × 7 × 13，因为 \( p-1 \) 整除 12 的素数是 2, 3, 5, 7, 13。 分子 ：与 ζ 函数的特殊值相关，并且出现在模形式同余性质中。一个著名结果是库默同余，揭示了伯努利数模素数的规律。 这些性质直接导致了艾森斯坦级数的常数项（在适当归一化后）具有丰富的 p-adic 性质和同余性质，这也是连接模形式与岩泽理论的桥梁之一。 总结与意义 因此，模形式中艾森斯坦级数的常数项公式，通过伯努利数，将模形式的傅里叶系数（这里是常数项）与 ζ 函数的特殊值、圆周率 π 以及伯努利数的算术紧密联系起来。这不仅提供了计算模形式具体数值的利器，其分母的素数分布性质（冯·施陶特-克劳森定理）也暗示了模形式系数中隐藏的深刻算术信息，是研究 p-adic 模形式和岩泽理论中 p-adic L 函数插值性质的起点之一。