环的Jacobson根

字数 2365 2025-12-06 03:52:39

环的Jacobson根

第一步：从零化理想出发理解Jacobson根的动机
在环论中，理想是研究环结构的重要工具。给定一个环 \(R\)（假设含单位元1，不一定交换），我们希望刻画那些“阻碍”环具有良好的模论性质（如半单性）的元素。一个自然的想法是：哪些元素会“零化”所有单模？回忆左 \(R\)-模 \(M\) 是单模，如果 \(M \neq 0\) 且 \(M\) 没有非平凡子模。对任意单左 \(R\)-模 \(M\)，考虑零化子 \(\text{Ann}_R(M) = \{r \in R \mid rM = 0\}\)，这是一个理想。所有单模的零化子的交，可以视为“同时零化所有单模”的元素集合，它就是 Jacobson 根。

第二步：Jacobson 根的三种等价定义
Jacobson 根通常记作 \(J(R)\) 或 \(\text{Rad}(R)\)。对于任意环 \(R\)，它有如下等价刻画：

单模零化子之交：
\(J(R) = \bigcap \{ \text{Ann}_R(M) \mid M \text{ 是单左 } R\text{-模} \}\)。
极大左理想之交：
设 \(I\) 是 \(R\) 的极大左理想（即 \(I \neq R\)，且不存在左理想严格介于 \(I\) 和 \(R\) 之间），则
\(J(R) = \bigcap \{ I \mid I \text{ 是 } R \text{ 的极大左理想} \}\)。
这个定义与上一条等价，因为单左 \(R\)-模一一对应于 \(R/I\)，其中 \(I\) 是极大左理想。
拟逆元刻画：
\(J(R) = \{ x \in R \mid \forall r \in R, 1 - rx \text{ 有左逆元} \}\)。
也可以定义为：\(x \in J(R)\) 当且仅当对任意 \(r, s \in R\)，元素 \(1 - rxs\) 在 \(R\) 中可逆。这个刻画突出了 Jacobson 根与可逆性的关系。

第三步：Jacobson 根的基本性质

\(J(R)\) 是 \(R\) 的双边理想。即使从极大左理想之交出发，它也是双边理想。
Nakayama 引理：设 \(M\) 是有限生成左 \(R\)-模，且 \(J(R)M = M\)，则 \(M = 0\)。
Nakayama 引理是模论中的基本工具，它表明 Jacobson 根“压制”有限生成模：如果模被 \(J(R)\) 作用后不变，则该模必为零模。
商环 \(R/J(R)\) 的 Jacobson 根为零，即 \(J(R/J(R)) = 0\)。这样的环称为 Jacobson 半单环 或 J-半单环。
若 \(R\) 是交换环，则 \(J(R)\) 等于所有极大理想之交，此时也叫做 Jacobson 根，在交换代数中常记作 \(\text{Rad}(R)\)。注意在非交换环中，Jacobson 根一般不等于所有极大双边理想之交。

第四步：与幂零元、幂零理想的关系

任意幂零元（即存在 \(n > 0\) 使 \(x^n = 0\)）属于 \(J(R)\)，因为若 \(x\) 幂零，则 \(1 - rx\) 可逆（逆为 \(1 + rx + (rx)^2 + \dots\)）。
所有幂零理想（即理想中每个元素幂零）包含在 \(J(R)\) 中。特别地，交换环的幂零根（即所有幂零元构成的理想，称为 Nil根）是 \(J(R)\) 的子集。
对于左 Artin 环（满足左理想降链条件），Jacobson 根是幂零理想，即存在 \(n\) 使 \(J(R)^n = 0\)。这是非交换环论的重要结论。

第五步：例子与计算

整数环 \(\mathbb{Z}\)：极大理想是 \(p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素数），故 \(J(\mathbb{Z}) = \bigcap_p p\mathbb{Z} = 0\)。
域 \(k\)：极大理想只有 \(\{0\}\)，所以 \(J(k) = 0\)。
局部环 \((R, \mathfrak{m})\)：若 \(R\) 是交换局部环，极大理想唯一（记作 \(\mathfrak{m}\)），则 \(J(R) = \mathfrak{m}\)。
矩阵环 \(M_n(D)\)（\(D\) 为可除环）：\(J(M_n(D)) = 0\)，因为该环是单环（无非平凡双边理想）。
形式幂级数环 \(k[[x]]\)：极大理想为 \((x)\)，所以 \(J(k[[x]]) = (x)\)。

第六步：Jacobson 根在结构定理中的作用

Wedderburn-Artin 定理：若 \(R\) 是左 Artin 环且 \(J(R) = 0\)，则 \(R\) 同构于有限个可除环上矩阵环的直积。这表明 Jacobson 根为零是环为半单的关键条件。
一般左 Artin 环 \(R\) 有 \(R/J(R)\) 是半单环，且 \(J(R)\) 幂零，从而可用 \(R/J(R)\) 的结构研究 \(R\) 的模表示。

第七步：与几何的关联（交换情形）
在代数几何中，交换环 \(R\) 的素谱 \(\text{Spec}(R)\) 以素理想为点。极大理想对应闭点，\(J(R)\) 是所有闭点对应理想的交。若 \(J(R)\) 是幂零理想（例如 \(R\) 是 Noether 环），则 \(J(R)\) 中的元素在任意闭点为零，即函数在每点取值为零，但可能非零（因为可能有无穷小分量），这对应概形中“函数在结构层芽中属于幂零元”的现象。

环的Jacobson根第一步：从零化理想出发理解Jacobson根的动机在环论中，理想是研究环结构的重要工具。给定一个环 \(R\)（假设含单位元1，不一定交换），我们希望刻画那些“阻碍”环具有良好的模论性质（如半单性）的元素。一个自然的想法是：哪些元素会“零化”所有单模？回忆左 \(R\)-模 \(M\) 是单模，如果 \(M \neq 0\) 且 \(M\) 没有非平凡子模。对任意单左 \(R\)-模 \(M\)，考虑零化子 \(\text{Ann}_ R(M) = \{r \in R \mid rM = 0\}\)，这是一个理想。所有单模的零化子的交，可以视为“同时零化所有单模”的元素集合，它就是 Jacobson 根。第二步：Jacobson 根的三种等价定义 Jacobson 根通常记作 \(J(R)\) 或 \(\text{Rad}(R)\)。对于任意环 \(R\)，它有如下等价刻画：单模零化子之交： \(J(R) = \bigcap \{ \text{Ann}_ R(M) \mid M \text{ 是单左 } R\text{-模} \}\)。极大左理想之交：设 \(I\) 是 \(R\) 的极大左理想（即 \(I \neq R\)，且不存在左理想严格介于 \(I\) 和 \(R\) 之间），则 \(J(R) = \bigcap \{ I \mid I \text{ 是 } R \text{ 的极大左理想} \}\)。这个定义与上一条等价，因为单左 \(R\)-模一一对应于 \(R/I\)，其中 \(I\) 是极大左理想。拟逆元刻画： \(J(R) = \{ x \in R \mid \forall r \in R, 1 - rx \text{ 有左逆元} \}\)。也可以定义为：\(x \in J(R)\) 当且仅当对任意 \(r, s \in R\)，元素 \(1 - rxs\) 在 \(R\) 中可逆。这个刻画突出了 Jacobson 根与可逆性的关系。第三步：Jacobson 根的基本性质 \(J(R)\) 是 \(R\) 的双边理想。即使从极大左理想之交出发，它也是双边理想。 Nakayama 引理：设 \(M\) 是有限生成左 \(R\)-模，且 \(J(R)M = M\)，则 \(M = 0\)。 Nakayama 引理是模论中的基本工具，它表明 Jacobson 根“压制”有限生成模：如果模被 \(J(R)\) 作用后不变，则该模必为零模。商环 \(R/J(R)\) 的 Jacobson 根为零，即 \(J(R/J(R)) = 0\)。这样的环称为 Jacobson 半单环或 J-半单环。若 \(R\) 是交换环，则 \(J(R)\) 等于所有极大理想之交，此时也叫做 Jacobson 根，在交换代数中常记作 \(\text{Rad}(R)\)。注意在非交换环中，Jacobson 根一般不等于所有极大双边理想之交。第四步：与幂零元、幂零理想的关系任意幂零元（即存在 \(n > 0\) 使 \(x^n = 0\)）属于 \(J(R)\)，因为若 \(x\) 幂零，则 \(1 - rx\) 可逆（逆为 \(1 + rx + (rx)^2 + \dots\)）。所有幂零理想（即理想中每个元素幂零）包含在 \(J(R)\) 中。特别地，交换环的幂零根（即所有幂零元构成的理想，称为 Nil根）是 \(J(R)\) 的子集。对于左 Artin 环（满足左理想降链条件），Jacobson 根是幂零理想，即存在 \(n\) 使 \(J(R)^n = 0\)。这是非交换环论的重要结论。第五步：例子与计算整数环 \(\mathbb{Z}\)：极大理想是 \(p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素数），故 \(J(\mathbb{Z}) = \bigcap_ p p\mathbb{Z} = 0\)。域 \(k\)：极大理想只有 \(\{0\}\)，所以 \(J(k) = 0\)。局部环 \((R, \mathfrak{m})\)：若 \(R\) 是交换局部环，极大理想唯一（记作 \(\mathfrak{m}\)），则 \(J(R) = \mathfrak{m}\)。矩阵环 \(M_ n(D)\)（\(D\) 为可除环）：\(J(M_ n(D)) = 0\)，因为该环是单环（无非平凡双边理想）。形式幂级数环 \(k[ [ x]]\)：极大理想为 \((x)\)，所以 \(J(k[ [ x] ]) = (x)\)。第六步：Jacobson 根在结构定理中的作用 Wedderburn-Artin 定理：若 \(R\) 是左 Artin 环且 \(J(R) = 0\)，则 \(R\) 同构于有限个可除环上矩阵环的直积。这表明 Jacobson 根为零是环为半单的关键条件。一般左 Artin 环 \(R\) 有 \(R/J(R)\) 是半单环，且 \(J(R)\) 幂零，从而可用 \(R/J(R)\) 的结构研究 \(R\) 的模表示。第七步：与几何的关联（交换情形）在代数几何中，交换环 \(R\) 的素谱 \(\text{Spec}(R)\) 以素理想为点。极大理想对应闭点，\(J(R)\) 是所有闭点对应理想的交。若 \(J(R)\) 是幂零理想（例如 \(R\) 是 Noether 环），则 \(J(R)\) 中的元素在任意闭点为零，即函数在每点取值为零，但可能非零（因为可能有无穷小分量），这对应概形中“函数在结构层芽中属于幂零元”的现象。