切比雪夫网 1. 从曲面参数化到正交参数网 曲面通常用参数方程 \( \mathbf{r}(u,v) \) 表示。如果参数曲线的切线方向处处相互垂直，即满足 \( \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v = 0 \)，则称参数曲线构成 正交参数网 。例如球面的经纬线就是正交网。正交网可简化许多几何计算。 2. 曲率线是特殊的正交参数网 如果参数曲线是曲面的 曲率线 ，则意味着曲线切向是主方向（主曲率对应的方向）。曲率线总是正交的（除非在脐点处），因此它自然给出一种正交参数化。但曲率线的求解通常需要解微分方程，不总是容易显式表示。 3. 切比雪夫网的定义与几何特征 切比雪夫网 是一种特殊的正交参数网，其额外条件是：沿一族参数曲线的切向量场具有 恒定长度 （只依赖于该族参数，而与另一参数无关）。 更具体地说，设第一基本形式为： \[ ds^2 = E(u,v)\,du^2 + G(u,v)\,dv^2 \] （由于正交，\(F=0\)）。 如果存在函数 \(U(u)\)、\(V(v)\) 使得： \[ E = U(u)^2, \quad G = V(v)^2 \] 则称参数网为切比雪夫网。 此时，沿 \(u\)-曲线的切向量长度只依赖于 \(u\)，沿 \(v\)-曲线的切向量长度只依赖于 \(v\)。 4. 物理意义：可展开的柔性网格 想象一张由柔韧但不可伸缩的细丝织成的网，细丝互相垂直且仅在交点处铰接。如果将其覆盖在曲面上，并让细丝可以自由滑动（长度不变），那么这种网在曲面上的形状就是切比雪夫网。沿每根细丝，其与相邻细丝的交点距离是固定的（但不同细丝的距离可以不同）。 5. 切比雪夫网的微分方程条件 由第一基本形式系数 \(E=U(u)^2,\;G=V(v)^2\) 代入 Gauss 公式与 Codazzi 方程，可推出主曲率 \(k_ 1,k_ 2\) 必须满足： \[ \frac{\partial}{\partial v}\!\left(\frac{1}{U}\frac{\partial V}{\partial u}\right) = 0, \quad \frac{\partial}{\partial u}\!\left(\frac{1}{V}\frac{\partial U}{\partial v}\right) = 0 \] 这等价于存在函数 \(A(u),B(v)\) 使得： \[ \frac{1}{U}\frac{\partial V}{\partial u} = A(u),\quad \frac{1}{V}\frac{\partial U}{\partial v} = B(v) \] 结合 Gauss 方程可得关于 \(U,V\) 的约束，进而限制曲面的类型。 6. 常见曲面的切比雪夫网例子 旋转曲面 ：取经线（子午线）与纬线，若经线弧长参数为 \(u\)，纬线弧长参数为 \(v\)，则 \(E=1\)，\(G=r(u)^2\)（\(r\) 是纬圆半径）。若 \(G\) 可写成 \(V(v)^2\) 形式，则需 \(r\) 与 \(v\) 有特定关系，通常只在圆柱、圆锥等平凡情况成立一般形式，但对球面可通过重新参数化构造。 伪球面 （常负高斯曲率曲面）：存在切比雪夫网，其两族曲线是两条相互平行的测地线的等距线。 直纹面 ：如果它是可展曲面（如柱面、锥面、切线面），则存在切比雪夫网，其中一族是直母线，另一族是与之正交的曲线。 7. 与可展曲面的关系 在可展曲面上，沿直母线的方向是主方向之一（对应主曲率为零），与之正交的方向是另一主方向。如果选取直母线的弧长参数为 \(u\)，与之正交的曲线弧长参数为 \(v\)，则 \(E=1\)，\(G=1+v^2\kappa_ g^2\)（\(\kappa_ g\) 是基线测地曲率）。为了让 \(G=V(v)^2\)，需要 \(\kappa_ g\) 为常数，此时可展曲面是圆柱或平面，此时为正交的直母线-圆（或直线）网，是切比雪夫网的特例。 8. 应用：服装设计与曲面展开 在服装裁剪中，为了将曲面布料剪成多个条带再缝合，常使用近似切比雪夫网的排样，使得条带边缘长度在变形时保持稳定，减少拉伸。计算机图形学中，曲面参数化也追求类似的正交且长度变化平缓的性质，以减少纹理变形。