索末菲-库默尔函数在散射理论中的应用：相移与Jost函数

字数 3644 2025-12-06 02:16:14

索末菲-库默尔函数在散射理论中的应用：相移与Jost函数

好的，我们开始一个新的词条。这次，我们将探讨索末菲-库默尔函数（Sommerfeld-Kummer Functions）在量子散射理论中的一个核心应用场景，即如何用它来构建和计算相移以及与之紧密相关的Jost函数。这个主题将把你学过的特殊函数知识与散射物理的核心概念联系起来。

第一步：回顾散射理论的基本要素

首先，我们需要建立散射问题的数学框架。考虑一个在中心势场 \(V(r)\) （例如，库仑势、汤川势等）中运动的量子粒子，其径向薛定谔方程为：

\[\left[ \frac{d^2}{dr^2} + k^2 - \frac{l(l+1)}{r^2} - U(r) \right] u_l(r) = 0 \]

其中：

\(k\) 是粒子的波数，与能量相关 \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\)。
\(l\) 是角动量量子数。
\(U(r) = \frac{2m}{\hbar^2} V(r)\) 是约化势能。
\(u_l(r)\) 是径向波函数，满足边界条件 \(u_l(0) = 0\)。

在散射问题中，我们关心的是当 \(r \to \infty\) 时，波函数的渐近行为。对于短程势（在无穷远处衰减得比 \(1/r\) 快的势），渐近形式是：

\[u_l(r) \sim \frac{i}{2} \left[ (-1)^{l+1} e^{-ikr} + S_l(k) e^{ikr} \right], \quad r \to \infty \]

这个表达式是物理图像的核心：它表示一个入射的球面波（\(e^{-ikr}\) 项，向内传播）和一个出射的球面波（\(e^{ikr}\) 项，向外传播）的叠加。系数 \(S_l(k)\) 被称为散射矩阵（S矩阵）的分波分量，它完全决定了第 \(l\) 分波的散射信息。

第二步：定义相移 \(\delta_l(k)\) 及其物理意义

S矩阵 \(S_l(k)\) 的模为1（因为概率守恒），因此我们可以将它写成一个相位因子的形式：

\[S_l(k) = e^{2i\delta_l(k)} \]

这里的 \(\delta_l(k)\) 就是我们要求的相移。它的物理意义是：由于势场 \(V(r)\) 的存在，出射波相对于自由粒子（\(V(r)=0\) 时）情况下的出射波，其相位发生了 \(2\delta_l(k)\) 的偏移。

将 \(S_l(k) = e^{2i\delta_l}\) 代回波函数的渐近形式，可以得到一个更常见的表达式：

\[u_l(r) \sim \sin\left( kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l(k) \right)， \quad r \to \infty \]

这与自由粒子的渐近形式 \(\sin(kr - l\pi/2)\) 相比，明确地多出了一个 \(\delta_l(k)\)。相移是散射振幅和微分截面的基本构成元素。因此，求解散射问题的核心任务之一就是计算各个分波的相移 \(\delta_l(k)\)。

第三步：引入Jost函数 \(f_l(k)\)

为了系统性地计算相移，我们引入Jost函数 的概念。我们定义两个特殊的渐近解：

正则解 \(\phi_l(k, r)\)：满足 \(\phi_l(k, 0) = 0\) 和初始斜率归一化条件。它在原点处行为良好。
Jost解 \(f_l^{(\pm)}(k, r)\)：定义为在无穷远处表现为纯出射/入射波：

\[\lim_{r \to \infty} e^{\mp ikr} f_l^{(\pm)}(k, r) = 1 \]

即，\(f_l^{(+)}(k, r) \sim e^{ikr}\)（纯出射），\(f_l^{(-)}(k, r) \sim e^{-ikr}\)（纯入射）。

由于微分方程是线性的，正则解 \(\phi_l(k, r)\) 可以表示为两个Jost解的线性组合。特别是，我们可以写出：

\[\phi_l(k, r) = \frac{i}{2k} \left[ f_l^{(-)}(k) f_l^{(+)}(k, r) - f_l^{(+)}(k) f_l^{(-)}(k, r) \right] \]

这里的系数 \(f_l^{(\pm)}(k)\) 不再依赖于 \(r\)，它们就是Jost函数（有时称为Jost解在 \(r=0\) 处的Wronskian，或从正则解展开的系数）。

比较 \(\phi_l(k, r)\) 的上述表达式和它在 \(r \to \infty\) 时的行为 \(\sim \sin(kr - l\pi/2 + \delta_l)\)，可以建立Jost函数与S矩阵、相移的关键联系：

\[S_l(k) = e^{2i\delta_l(k)} = \frac{f_l^{(+)}(k)}{f_l^{(-)}(k)} \]

并且

\[f_l^{(-)}(k) = |f_l(k)| e^{-i\delta_l(k)}， \quad 其中\ f_l(k) \equiv f_l^{(+)}(k) \]

（对于实势和实k，有 \(f_l^{(-)}(k) = [f_l^{(+)}(k)]^*\)）。

第四步：索末菲-库默尔函数的角色——构建Jost解

这就是索末菲-库默尔函数登场的地方。对于一大类重要的势场（特别是可解模型，如库仑势、指数势、莫尔斯势等），其径向薛定谔方程可以通过适当的变量变换，转化为合流超几何方程（库默尔方程）或超几何方程。

索末菲-库默尔函数 \(S(a, c; z)\) 本身就是这些方程的解。因此，Jost解 \(f_l^{(\pm)}(k, r)\) 可以直接用索末菲-库默尔函数或其线性组合来解析表示。

举例说明（库仑势）：
对于库仑势 \(V(r) = \frac{\alpha}{r}\)，其径向方程在变量变换后，正则解是：

\[\phi_l(k, r) \propto r^{l+1} e^{ikr} S(l+1-i\eta, 2l+2; -2ikr) \]

其中 \(\eta = \frac{m\alpha}{\hbar^2 k}\) 是索末菲参数。而这个函数的渐近展开（利用索末菲-库默尔函数的大宗量渐近公式）恰好能给出：

\[\phi_l \sim \sin(kr - \eta \ln(2kr) - l\pi/2 + \sigma_l) \]

这里不仅包含了通常的相移 \(\sigma_l = \arg \Gamma(l+1+i\eta)\)（库仑相移），还多出了一个对数项 \(\eta \ln(2kr)\)，这是长程库仑势的特征。从这个渐近式中，我们可以直接读出S矩阵和Jost函数。

第五步：从Jost函数计算相移

一旦我们通过索末菲-库默尔函数的表示得到了Jost函数 \(f_l(k)\) 的解析表达式，计算相移就变得直接：

\[\delta_l(k) = \frac{1}{2i} \ln S_l(k) = \frac{1}{2i} \ln \frac{f_l^{(+)}(k)}{f_l^{(-)}(k)} = \arg f_l^{(+)}(k) = -\arg f_l^{(-)}(k) \]

对于库仑势的例子，Jost函数与Gamma函数相关：\(f_l^{(\pm)}(k) \propto \frac{1}{\Gamma(l+1 \mp i\eta)}\)，因此相移 \(\sigma_l = \arg \Gamma(l+1+i\eta)\)。

总结：
索末菲-库默尔函数在散射理论中的应用，提供了一个从具体势场模型（特别是可解模型）的微分方程，通向核心物理量（相移）的解析桥梁。其路径是：

建模：将势场下的薛定谔方程化为合流超几何方程。
求解：用索末菲-库默尔函数写出Jost解。
分析渐近：利用索末菲-库默尔函数的已知渐近展开，得到波函数在无穷远处的行为。
提取物理量：从渐近式识别或计算Jost函数，进而得到相移和S矩阵。

这种方法不仅给出了数值结果，更重要的是揭示了相移如何依赖于角动量 \(l\) 和能量 \(k\) 的解析结构，这对于研究共振、束缚态和虚态等深层物理现象至关重要。

索末菲-库默尔函数在散射理论中的应用：相移与Jost函数好的，我们开始一个新的词条。这次，我们将探讨索末菲-库默尔函数（Sommerfeld-Kummer Functions）在量子散射理论中的一个核心应用场景，即如何用它来构建和计算相移以及与之紧密相关的 Jost函数。这个主题将把你学过的特殊函数知识与散射物理的核心概念联系起来。第一步：回顾散射理论的基本要素首先，我们需要建立散射问题的数学框架。考虑一个在中心势场 \( V(r) \) （例如，库仑势、汤川势等）中运动的量子粒子，其径向薛定谔方程为： \[ \left[ \frac{d^2}{dr^2} + k^2 - \frac{l(l+1)}{r^2} - U(r) \right] u_ l(r) = 0 \] 其中： \( k \) 是粒子的波数，与能量相关 \( E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \)。 \( l \) 是角动量量子数。 \( U(r) = \frac{2m}{\hbar^2} V(r) \) 是约化势能。 \( u_ l(r) \) 是径向波函数，满足边界条件 \( u_ l(0) = 0 \)。在散射问题中，我们关心的是当 \( r \to \infty \) 时，波函数的渐近行为。对于短程势（在无穷远处衰减得比 \( 1/r \) 快的势），渐近形式是： \[ u_ l(r) \sim \frac{i}{2} \left[ (-1)^{l+1} e^{-ikr} + S_ l(k) e^{ikr} \right ], \quad r \to \infty \] 这个表达式是物理图像的核心：它表示一个入射的球面波（\( e^{-ikr} \) 项，向内传播）和一个出射的球面波（\( e^{ikr} \) 项，向外传播）的叠加。系数 \( S_ l(k) \) 被称为散射矩阵（S矩阵）的分波分量，它完全决定了第 \( l \) 分波的散射信息。第二步：定义相移 \( \delta_ l(k) \) 及其物理意义 S矩阵 \( S_ l(k) \) 的模为1（因为概率守恒），因此我们可以将它写成一个相位因子的形式： \[ S_ l(k) = e^{2i\delta_ l(k)} \] 这里的 \( \delta_ l(k) \) 就是我们要求的相移。它的物理意义是：由于势场 \( V(r) \) 的存在，出射波相对于自由粒子（\( V(r)=0 \) 时）情况下的出射波，其相位发生了 \( 2\delta_ l(k) \) 的偏移。将 \( S_ l(k) = e^{2i\delta_ l} \) 代回波函数的渐近形式，可以得到一个更常见的表达式： \[ u_ l(r) \sim \sin\left( kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_ l(k) \right)， \quad r \to \infty \] 这与自由粒子的渐近形式 \( \sin(kr - l\pi/2) \) 相比，明确地多出了一个 \( \delta_ l(k) \)。相移是散射振幅和微分截面的基本构成元素。因此，求解散射问题的核心任务之一就是计算各个分波的相移 \( \delta_ l(k) \)。第三步：引入Jost函数 \( f_ l(k) \) 为了系统性地计算相移，我们引入 Jost函数的概念。我们定义两个特殊的渐近解：正则解 \( \phi_ l(k, r) \)：满足 \( \phi_ l(k, 0) = 0 \) 和初始斜率归一化条件。它在原点处行为良好。 Jost解 \( f_ l^{(\pm)}(k, r) \)：定义为在无穷远处表现为纯出射/入射波： \[ \lim_ {r \to \infty} e^{\mp ikr} f_ l^{(\pm)}(k, r) = 1 \] 即，\( f_ l^{(+)}(k, r) \sim e^{ikr} \)（纯出射），\( f_ l^{(-)}(k, r) \sim e^{-ikr} \)（纯入射）。由于微分方程是线性的，正则解 \( \phi_ l(k, r) \) 可以表示为两个Jost解的线性组合。特别是，我们可以写出： \[ \phi_ l(k, r) = \frac{i}{2k} \left[ f_ l^{(-)}(k) f_ l^{(+)}(k, r) - f_ l^{(+)}(k) f_ l^{(-)}(k, r) \right ] \] 这里的系数 \( f_ l^{(\pm)}(k) \) 不再依赖于 \( r \)，它们就是 Jost函数（有时称为Jost解在 \( r=0 \) 处的Wronskian，或从正则解展开的系数）。比较 \( \phi_ l(k, r) \) 的上述表达式和它在 \( r \to \infty \) 时的行为 \( \sim \sin(kr - l\pi/2 + \delta_ l) \)，可以建立Jost函数与S矩阵、相移的关键联系： \[ S_ l(k) = e^{2i\delta_ l(k)} = \frac{f_ l^{(+)}(k)}{f_ l^{(-)}(k)} \] 并且 \[ f_ l^{(-)}(k) = |f_ l(k)| e^{-i\delta_ l(k)}， \quad 其中\ f_ l(k) \equiv f_ l^{(+)}(k) \] （对于实势和实k，有 \( f_ l^{(-)}(k) = [ f_ l^{(+)}(k)]^* \)）。第四步：索末菲-库默尔函数的角色——构建Jost解这就是索末菲-库默尔函数登场的地方。对于一大类重要的势场（特别是可解模型，如库仑势、指数势、莫尔斯势等），其径向薛定谔方程可以通过适当的变量变换，转化为合流超几何方程（库默尔方程）或超几何方程。索末菲-库默尔函数 \( S(a, c; z) \) 本身就是这些方程的解。因此，Jost解 \( f_ l^{(\pm)}(k, r) \) 可以直接用索末菲-库默尔函数或其线性组合来解析表示。举例说明（库仑势）：对于库仑势 \( V(r) = \frac{\alpha}{r} \)，其径向方程在变量变换后，正则解是： \[ \phi_ l(k, r) \propto r^{l+1} e^{ikr} S(l+1-i\eta, 2l+2; -2ikr) \] 其中 \( \eta = \frac{m\alpha}{\hbar^2 k} \) 是索末菲参数。而这个函数的渐近展开（利用索末菲-库默尔函数的大宗量渐近公式）恰好能给出： \[ \phi_ l \sim \sin(kr - \eta \ln(2kr) - l\pi/2 + \sigma_ l) \] 这里不仅包含了通常的相移 \( \sigma_ l = \arg \Gamma(l+1+i\eta) \)（库仑相移），还多出了一个对数项 \( \eta \ln(2kr) \)，这是长程库仑势的特征。从这个渐近式中，我们可以直接读出S矩阵和Jost函数。第五步：从Jost函数计算相移一旦我们通过索末菲-库默尔函数的表示得到了Jost函数 \( f_ l(k) \) 的解析表达式，计算相移就变得直接： \[ \delta_ l(k) = \frac{1}{2i} \ln S_ l(k) = \frac{1}{2i} \ln \frac{f_ l^{(+)}(k)}{f_ l^{(-)}(k)} = \arg f_ l^{(+)}(k) = -\arg f_ l^{(-)}(k) \] 对于库仑势的例子，Jost函数与Gamma函数相关：\( f_ l^{(\pm)}(k) \propto \frac{1}{\Gamma(l+1 \mp i\eta)} \)，因此相移 \( \sigma_ l = \arg \Gamma(l+1+i\eta) \)。总结：索末菲-库默尔函数在散射理论中的应用，提供了一个从具体势场模型（特别是可解模型）的微分方程，通向核心物理量（相移）的解析桥梁。其路径是：建模：将势场下的薛定谔方程化为合流超几何方程。求解：用索末菲-库默尔函数写出Jost解。分析渐近：利用索末菲-库默尔函数的已知渐近展开，得到波函数在无穷远处的行为。提取物理量：从渐近式识别或计算Jost函数，进而得到相移和S矩阵。这种方法不仅给出了数值结果，更重要的是揭示了相移如何依赖于角动量 \( l \) 和能量 \( k \) 的解析结构，这对于研究共振、束缚态和虚态等深层物理现象至关重要。