勒贝格外测度与勒贝格测度的构造
字数 2255 2025-12-06 02:10:46

勒贝格外测度与勒贝格测度的构造

我们来系统性地讲解勒贝格测度是如何从更基础的“外测度”概念一步步构造出来的。这是现代实分析（实变函数）的核心基础。

  1. 起点：区间长度与动机
    在数学分析中，我们熟知区间 \(I = (a, b)\) 的长度是 \(b-a\)。勒贝格测度的目标，就是将“长度”这个直观概念，推广到实数集 \(\mathbb{R}\) 上更复杂、更一般的子集（即“可测集”）上去。然而，像 \(\mathbb{R}\) 中的全体子集过于复杂，无法赋予一个满足“平移不变”、“可数可加”等良好性质的“长度”。我们需要一种系统的构造方法。

  2. 核心思想：勒贝格外测度
    为了给任意集合一个“大小”的初步估计，我们采用“从外部覆盖”的思路。对于 \(\mathbb{R}\) 的任意子集 \(E\)，我们定义它的勒贝格外测度 \(m^*(E)\) 为：

\[ m^*(E) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} l(I_k) : E \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k \right\}. \]

这里，下确界（inf）取遍 \(E\) 的所有可数个开区间的覆盖 \(\{I_k\}\)。\(l(I_k)\) 是区间 \(I_k\) 的长度。这个定义是自然的：要量一个不规则图形的“面积”，我们可以用一堆小矩形（在这里是区间）从外面把它盖住，这些小矩形面积之和的“最小可能值”，就作为这个图形大小的一个上界估计。外测度对所有集合都有定义，并且具有：

  • 非负性： \(m^*(E) \geq 0\)，且 \(m^*(\varnothing) = 0\)。
  • 单调性： 若 \(A \subset B\)，则 \(m^*(A) \leq m^*(B)\)。
  • 次可数可加性： 对任意集合序列 \(\{E_k\}\)，有 \(m^*(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k) \leq \sum_{k=1}^{\infty} m^*(E_k)\)。（注意，这里不是等号！这是外测度与最终测度的关键区别）。

  1. 问题：可加性的缺失
    外测度虽然定义广泛，但它不具备我们期望的“可加性”。具体来说，可能存在两个不相交的集合 \(A\) 和 \(B\)，满足 \(m^*(A \cup B) < m^*(A) + m^*(B)\)。这意味着外测度在分割求和时可能会“漏算”或“重复计算”，不是一个合格的“测度”。要成为合格的测度，必须满足可数可加性：对任意一列两两不交的集合，其并集的外测度等于各自外测度之和。

  2. 关键突破：卡拉西奥多里可测性条件
    如何从所有子集中，挑选出那些“性质良好”、能让外测度在其上具有可加性的集合呢？卡拉西奥多里给出了一个精妙的判别准则：
    一个集合 \(E \subset \mathbb{R}\) 被称为勒贝格可测的，如果对任意测试集 \(A \subset \mathbb{R}\)，都有：

\[ m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)。 \]

这个条件的直观解释是：集合 \(E\) 能够像一把“理想的刀”一样，干净利落地切割任何一个测试集 \(A\)，使得切割后两部分的“外尺寸”之和恰好等于 \(A\) 整体的“外尺寸”。这意味着 \(E\) 的边界是足够“规则”的，不会在分割过程中引起额外的尺寸损失。所有满足此条件的 \(E\) 构成的集合族，记作 \(\mathcal{L}\)。

  1. 勒贝格测度的诞生
    可以证明：
  • \(\mathcal{L}\) 构成一个 \(\sigma\)-代数（对可数并、可数交、取补集封闭）。
  • 外测度 \(m^*\) 限制在可测集族 \(\mathcal{L}\) 上时，就满足可数可加性！即，若 \(\{E_k\} \subset \mathcal{L}\) 是一列两两不交的可测集，则：

\[ m^*\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \right) = \sum_{k=1}^{\infty} m^*(E_k)。 \]

  • 此时，我们将 \(m^*\) 在 \(\mathcal{L}\) 上的限制，正式称为勒贝格测度，记作 \(m\)。即，对任意 \(E \in \mathcal{L}\)，定义 \(m(E) = m^*(E)\)。
    • 所有开集、闭集、区间都是勒贝格可测的，并且区间的测度就是其长度。这符合我们的初衷。

  1. 总结构造流程

    1. 从最基础的几何概念“区间长度”出发。

  2. 通过“取覆盖下确界”的方法，将长度概念扩张为定义在所有子集上的外测度 \(m^*\)。

  3. 利用卡拉西奥多里条件，从所有子集中筛选出那些与外测度结构“兼容”的集合，称为可测集，形成可测集族 \(\mathcal{L}\)。

  4. 外测度 \(m^*\) 限制在 \(\mathcal{L}\) 上，就获得了具有可数可加性的勒贝格测度 \(m\)。

    这个“外测度 → 可测集筛选 → 测度”的构造模式（卡拉西奥多里延拓定理）是测度论的公理化核心，勒贝格测度是其最重要、最具体的特例。

勒贝格外测度与勒贝格测度的构造 我们来系统性地讲解勒贝格测度是如何从更基础的“外测度”概念一步步构造出来的。这是现代实分析（实变函数）的核心基础。 起点：区间长度与动机 在数学分析中，我们熟知区间 \( I = (a, b) \) 的长度是 \( b-a \)。勒贝格测度的目标，就是将“长度”这个直观概念，推广到实数集 \( \mathbb{R} \) 上更复杂、更一般的子集（即“可测集”）上去。然而，像 \( \mathbb{R} \) 中的全体子集过于复杂，无法赋予一个满足“平移不变”、“可数可加”等良好性质的“长度”。我们需要一种系统的构造方法。 核心思想：勒贝格外测度 为了给任意集合一个“大小”的初步估计，我们采用“从外部覆盖”的思路。对于 \( \mathbb{R} \) 的 任意 子集 \( E \)，我们定义它的 勒贝格外测度 \( m^ (E) \) 为： \[ m^ (E) = \inf \left\{ \sum_ {k=1}^{\infty} l(I_ k) : E \subset \bigcup_ {k=1}^{\infty} I_ k \right\}. \] 这里，下确界（inf）取遍 \( E \) 的所有可数个开区间的覆盖 \(\{I_ k\}\)。\( l(I_ k) \) 是区间 \( I_ k \) 的长度。这个定义是自然的：要量一个不规则图形的“面积”，我们可以用一堆小矩形（在这里是区间）从外面把它盖住，这些小矩形面积之和的“最小可能值”，就作为这个图形大小的一个上界估计。外测度对所有集合都有定义，并且具有： 非负性 ： \( m^ (E) \geq 0 \)，且 \( m^ (\varnothing) = 0 \)。 单调性 ： 若 \( A \subset B \)，则 \( m^ (A) \leq m^ (B) \)。 次可数可加性 ： 对任意集合序列 \(\{E_ k\}\)，有 \( m^ (\bigcup_ {k=1}^{\infty} E_ k) \leq \sum_ {k=1}^{\infty} m^ (E_ k) \)。（注意，这里不是等号！这是外测度与最终测度的关键区别）。 问题：可加性的缺失 外测度虽然定义广泛，但它不具备我们期望的“可加性”。具体来说，可能存在两个 不相交 的集合 \( A \) 和 \( B \)，满足 \( m^ (A \cup B) < m^ (A) + m^* (B) \)。这意味着外测度在分割求和时可能会“漏算”或“重复计算”，不是一个合格的“测度”。要成为合格的测度，必须满足 可数可加性 ：对任意一列两两不交的集合，其并集的外测度等于各自外测度之和。 关键突破：卡拉西奥多里可测性条件 如何从所有子集中，挑选出那些“性质良好”、能让外测度在其上具有可加性的集合呢？卡拉西奥多里给出了一个精妙的判别准则： 一个集合 \( E \subset \mathbb{R} \) 被称为 勒贝格可测的 ，如果对任意 测试集 \( A \subset \mathbb{R} \)，都有： \[ m^ (A) = m^ (A \cap E) + m^* (A \cap E^c)。 \] 这个条件的直观解释是：集合 \( E \) 能够像一把“理想的刀”一样，干净利落地切割任何一个测试集 \( A \)，使得切割后两部分的“外尺寸”之和恰好等于 \( A \) 整体的“外尺寸”。这意味着 \( E \) 的边界是足够“规则”的，不会在分割过程中引起额外的尺寸损失。所有满足此条件的 \( E \) 构成的集合族，记作 \( \mathcal{L} \)。 勒贝格测度的诞生 可以证明： \( \mathcal{L} \) 构成一个 \( \sigma \)-代数（对可数并、可数交、取补集封闭）。 外测度 \( m^* \) 限制在可测集族 \( \mathcal{L} \) 上时，就满足 可数可加性 ！即，若 \(\{E_ k\} \subset \mathcal{L}\) 是一列两两不交的可测集，则： \[ m^ \left( \bigcup_ {k=1}^{\infty} E_ k \right) = \sum_ {k=1}^{\infty} m^ (E_ k)。 \] 此时，我们将 \( m^* \) 在 \( \mathcal{L} \) 上的限制，正式称为 勒贝格测度 ，记作 \( m \)。即，对任意 \( E \in \mathcal{L} \)，定义 \( m(E) = m^* (E) \)。 所有开集、闭集、区间都是勒贝格可测的，并且区间的测度就是其长度。这符合我们的初衷。 总结构造流程 从最基础的几何概念“区间长度”出发。 通过“取覆盖下确界”的方法，将长度概念 扩张 为定义在所有子集上的 外测度 \( m^* \)。 利用 卡拉西奥多里条件 ，从所有子集中 筛选 出那些与外测度结构“兼容”的集合，称为可测集，形成可测集族 \( \mathcal{L} \)。 外测度 \( m^* \) 限制在 \( \mathcal{L} \) 上，就获得了具有可数可加性的 勒贝格测度 \( m \)。 这个“外测度 → 可测集筛选 → 测度”的构造模式（卡拉西奥多里延拓定理）是测度论的公理化核心，勒贝格测度是其最重要、最具体的特例。