勒贝格空间的商空间L^p/∼ 首先，我们从一个已经熟悉的概念出发： L^p空间 。我们知道，对于测度空间(X, Σ, μ)和实数1 ≤ p < ∞，L^p空间是定义在X上的所有可测函数f的集合，这些函数满足∫_ X |f|^p dμ < ∞。但严格来说，L^p空间中的元素不是函数，而是函数的等价类。 这就引出了 等价关系“∼” 。在L^p理论中，我们通常将两个函数视为“相同”的，如果它们几乎处处相等。形式上，我们定义关系：f ∼ g 当且仅当 f(x) = g(x) 对几乎所有的x ∈ X成立。这是一个等价关系（自反、对称、传递）。 接下来，我们考虑 商集 。给定所有满足p次可积条件的可测函数的集合（记作ℒ^p），我们用它模去等价关系∼，得到的集合就是L^p空间，即 L^p(X, μ) = ℒ^p / ∼。这个空间中的每个元素是一个等价类，记作[ f ]，其中f是这一类中的一个代表元。 然后， 商空间的结构 。L^p/∼之所以构成一个赋范线性空间，是因为我们可以在等价类上定义自然的运算：标量乘法 α[ f] = [ αf] 和加法 [ f] + [ g] = [ f + g]。这些定义是良定义的，因为如果选择不同的代表元（如f₁ ∼ f, g₁ ∼ g），得到的函数αf₁, f₁+g₁与αf, f+g仍然是几乎处处相等的。其范数定义为 ‖[ f]‖_ p = (∫ |f|^p dμ)^{1/p}，这个值不依赖于等价类中代表元f的选择，因此是良定义的。 最后， 商空间的完备性与重要性 。在上述范数下，空间L^p/∼是一个 巴拿赫空间 ，即它是完备的（每一个柯西序列在L^p范数下收敛到该空间中的一个元素）。这个构造至关重要，因为它避免了将几乎处处相等的函数视为不同元素所带来的技术麻烦（例如，点态定义的“范数”可能不满足正定性）。因此，在实分析和泛函分析中，当我们谈论L^p空间时，本质上总是在使用这个商空间结构L^p/∼。