可测空间上的原子测度与非原子测度的分解

1. 基本定义：测度的原子
   设\((X, \mathcal{F})\)为可测空间，\(\mu\)是定义在其上的测度。

   • 若存在可测集\(A \in \mathcal{F}\)满足\(\mu(A) > 0\)，且对任意可测子集\(B \subset A\)，要么\(\mu(B)=0\)，要么\(\mu(A \setminus B)=0\)，则称\(A\)是\(\mu\)的一个原子。
   • 直观解释：原子是不可再分的“最小正测度集”——其任意可测真子集的测度要么为0，要么等于整个原子的测度。

2. 非原子测度（连续测度）的定义
   若\(\mu\)不存在任何原子，则称\(\mu\)是非原子测度（或称连续测度）。

   • 关键性质：对任意满足\(0 < t < \mu(A)\)的可测集\(A\)，存在可测子集\(B \subset A\)，使得\(\mu(B) = t\)。
   • 典型例子：\(\mathbb{R}\)上的勒贝格测度是非原子测度。

3. 纯原子测度与纯非原子测度的结构

   • 若存在可数多个原子\(\{A_n\}\)，使得对任意可测集\(B\)，有\(\mu(B) = \sum_{n: A_n \subset B} \mu(A_n)\)，则称\(\mu\)是纯原子测度。
   • 若\(\mu\)完全不含原子，则是纯非原子测度。
   • 注：原子两两不相交（可通过取交集操作化为不相交原子族）。

4. 测度的原子-非原子分解定理
   对任意\(\sigma\)-有限测度\(\mu\)，存在唯一分解：

\[ \mu = \mu_a + \mu_c \]

其中：

• \(\mu_a\)是纯原子测度（原子部分）；
• \(\mu_c\)是非原子测度（连续部分）；
• 且\(\mu_a \perp \mu_c\)（相互奇异）。
• 构造思路：令\(\mathcal{A}\)为所有原子的并（可数并），定义\(\mu_a(E) = \mu(E \cap \mathcal{A})\)，\(\mu_c(E) = \mu(E \setminus \mathcal{A})\)。

5. 分解定理的推论与实例
   • 推论：任意\(\sigma\)-有限测度可唯一分解为可数多个原子测度与一个非原子测度的和。
   • 实例：设\(\mu = \delta_0 + m\)，其中\(\delta_0\)是原点处单位质量的狄拉克测度（原子），\(m\)是\(\mathbb{R}\)上勒贝格测度（非原子）。则\(\mu_a = \delta_0\)，\(\mu_c = m\)。
   • 应用：此分解是研究测度结构、证明里斯表示定理等问题的基本工具。