阿贝尔范畴
字数 2617 2025-12-06 00:55:39

阿贝尔范畴

首先，我们从一个基本的观察开始。在数学的许多领域，比如群论、环论、模论、拓扑学中，我们常常研究一类对象（如群、模、拓扑空间）以及它们之间的某种“结构保持映射”（如群同态、模同态、连续函数）。这些对象和映射放在一起，就形成了一个“范畴”。

  1. 范畴的基础回顾
    一个范畴C由以下组成：

    • 对象： Ob(C)， 比如所有集合，所有群，所有左R-模。
    • 态射： 对任意两个对象A, B ∈ Ob(C)， 有一个集合Hom_C(A, B)， 其元素称为从A到B的态射。态射可以复合，即如果有f: A → B, g: B → C， 则存在复合态射g∘f: A → C。
    • 这个复合运算需要满足结合律：(h∘g)∘f = h∘(g∘f)。
    • 并且，对每个对象X，存在一个特殊的恒等态射id_X: X → X，使得对任意f: A → X和g: X → B，有 id_X ∘ f = f 且 g ∘ id_X = g。

    我们熟悉的例子有：

    • 集合范畴 Set：对象是集合，态射是函数。
    • 阿贝尔群范畴 Ab：对象是阿贝尔群（即交换群），态射是群同态。
    • 左R-模范畴 R-Mod：对象是环R上的左模，态射是R-线性映射（模同态）。

  2. 加法范畴
    我们希望范畴能有一些类似于阿贝尔群的“加法”结构。一个范畴A如果满足以下条件，则称为加法范畴：

    • 对任意两个对象A, B，态射集合Hom_A(A, B)是一个阿贝尔群（其二元运算记为“+”，零元是零态射0: A → B）。
    • 态射的复合对加法满足分配律：即 (g₁ + g₂) ∘ f = g₁∘f + g₂∘f，且 g ∘ (f₁ + f₂) = g∘f₁ + g∘f₂。
    • 存在零对象0，使得对任意对象X，Hom(X,0)和Hom(0,X)都是只含零元（零态射）的阿贝尔群。这等价于说0既是初始对象（有唯一态射0→X）又是终结对象（有唯一态射X→0）。
    • 对任意两个对象A, B，它们的双积（或称直和）A⊕B存在。这意味着存在对象A⊕B以及态射i_A: A → A⊕B, i_B: B → A⊕B, p_A: A⊕B → A, p_B: A⊕B → B，满足关系：
      p_A ∘ i_A = id_A, p_B ∘ i_B = id_B, p_A ∘ i_B = 0, p_B ∘ i_A = 0, 且 i_A ∘ p_A + i_B ∘ p_B = id_{A⊕B}。
      在加法范畴中，双积A⊕B同时扮演了“积”和“上积”（余积）的角色。

    例子：阿贝尔群范畴Ab和左R-模范畴R-Mod都是加法范畴。态射的加法就是逐点相加：(f+g)(x) = f(x)+g(x)。零对象是平凡群/模{0}。双积就是直和。

  3. 阿贝尔范畴的定义
    加法范畴为我们提供了“加”的工具，但要进行同调代数（研究正合序列、上同调等），我们还需要“核”与“余核”的概念，并能谈论“像”。一个加法范畴A如果满足以下条件，则称为阿贝尔范畴：

    • A中每个态射都有核和余核。
      设f: A → B是一个态射。
      • 核 ker(f) 是一个对象K连同态射k: K → A，满足f∘k = 0，并且它是“泛”的：任何使得f∘g = 0的态射g: X → A，都唯一地通过k分解（即存在唯一的u: X → K使得k∘u = g）。
      • 余核 coker(f) 是一个对象C连同态射c: B → C，满足c∘f = 0，并且它是“余泛”的：任何使得h∘f = 0的态射h: B → Y，都唯一地通过c分解（即存在唯一的v: C → Y使得v∘c = h）。
    • 每个单态都是某个态射的核，每个满态都是某个态射的余核。
      • 在一个加法范畴中，单态（monomorphism）f是指：对任意g, h: X → A，若f∘g = f∘h，则g = h。这类似于集合中的单射概念。
      • 满态（epimorphism）f是指：对任意g, h: B → Y，若g∘f = h∘f，则g = h。这类似于集合中的满射概念。
    • 最重要的条件是：每个态射f: A → B都可以分解为一个满态后接一个单态，即 f = (A → I) ∘ (I → B)，其中A → I是余核的核（称为f的上像 coim(f)），I → B是核的余核（称为f的像 im(f)）。在阿贝尔范畴中，可以证明自然映射 coim(f) → im(f) 是一个同构。这允许我们将f的“像”定义为一个良定的对象。

  4. 阿贝尔范畴的性质与例子
    在阿贝尔范畴中，我们可以像在模范畴中一样，进行许多熟悉的操作：

    • 正合序列：可以定义正合序列。我们说序列 ... → A --(f)→ B --(g)→ C → ... 在B处正合，如果 im(f) = ker(g)。
    • 同构定理：类似模论中的同构定理成立，例如 (A/B) / (C/B) ≅ A/C（在合适的商对象意义下）。
    • 最重要的例子：
      1. R-Mod（环R上的左模范畴）是阿贝尔范畴的原型。所有关于阿贝尔范畴的直觉和基本定理都源于此。
      2. Ab（阿贝尔群范畴）是R=ℤ时的特例。
      3. Sheaves of abelian groups on a topological space（拓扑空间上的阿贝尔群层范畴）是代数几何和拓扑学中至关重要的阿贝尔范畴例子。一个层可以看作是一种“局部 glued”的阿贝尔群，其态射是层的态射。这个范畴是阿贝尔的，但其对象的元素没有全局的、简单的“点”描述，这体现了阿贝尔范畴公理化方法的威力——它不依赖于对象是否有“元素”。
      4. 阿贝尔范畴的满子范畴，如果对取核、余核、以及有限直和封闭，则它自身也是阿贝尔范畴。例如，有限生成R-模范畴（若R是诺特环）是阿贝尔的。

  5. 阿贝尔范畴的意义
    阿贝尔范畴的概念是同调代数的自然框架。它抽象并概括了模范畴（R-Mod）中所有进行同调运算所需的基本性质。在同调代数中，诸如导函子（如Ext, Tor）、谱序列等工具都是在阿贝尔范畴（或更一般的三角范畴、稳定无穷范畴）的层面上定义和研究的。这使得理论具有极大的普遍性：一个在阿贝尔范畴中证明的同调代数定理，可以同时应用于模、层、链复形等多种数学对象，无需为每种情况单独证明。因此，阿贝尔范畴是现代代数学、代数几何、代数拓扑等领域的基石性语言。

阿贝尔范畴 首先，我们从一个基本的观察开始。在数学的许多领域，比如群论、环论、模论、拓扑学中，我们常常研究一类对象（如群、模、拓扑空间）以及它们之间的某种“结构保持映射”（如群同态、模同态、连续函数）。这些对象和映射放在一起，就形成了一个“范畴”。 范畴的基础回顾 一个范畴C由以下组成： 对象： Ob(C)， 比如所有集合，所有群，所有左R-模。 态射： 对任意两个对象A, B ∈ Ob(C)， 有一个集合Hom_ C(A, B)， 其元素称为从A到B的态射。态射可以复合，即如果有f: A → B, g: B → C， 则存在复合态射g∘f: A → C。 这个复合运算需要满足 结合律 ：(h∘g)∘f = h∘(g∘f)。 并且，对每个对象X，存在一个特殊的 恒等态射 id_ X: X → X，使得对任意f: A → X和g: X → B，有 id_ X ∘ f = f 且 g ∘ id_ X = g。 我们熟悉的例子有： 集合范畴 Set ：对象是集合，态射是函数。 阿贝尔群范畴 Ab ：对象是阿贝尔群（即交换群），态射是群同态。 左R-模范畴 R-Mod ：对象是环R上的左模，态射是R-线性映射（模同态）。 加法范畴 我们希望范畴能有一些类似于阿贝尔群的“加法”结构。一个范畴A如果满足以下条件，则称为 加法范畴 ： 对任意两个对象A, B，态射集合Hom_ A(A, B)是一个阿贝尔群（其二元运算记为“+”，零元是零态射0: A → B）。 态射的复合对加法满足 分配律 ：即 (g₁ + g₂) ∘ f = g₁∘f + g₂∘f，且 g ∘ (f₁ + f₂) = g∘f₁ + g∘f₂。 存在 零对象 0，使得对任意对象X，Hom(X,0)和Hom(0,X)都是只含零元（零态射）的阿贝尔群。这等价于说0既是初始对象（有唯一态射0→X）又是终结对象（有唯一态射X→0）。 对任意两个对象A, B，它们的 双积 （或称直和）A⊕B存在。这意味着存在对象A⊕B以及态射i_ A: A → A⊕B, i_ B: B → A⊕B, p_ A: A⊕B → A, p_ B: A⊕B → B，满足关系： p_ A ∘ i_ A = id_ A, p_ B ∘ i_ B = id_ B, p_ A ∘ i_ B = 0, p_ B ∘ i_ A = 0, 且 i_ A ∘ p_ A + i_ B ∘ p_ B = id_ {A⊕B}。 在加法范畴中，双积A⊕B同时扮演了“积”和“上积”（余积）的角色。 例子：阿贝尔群范畴Ab和左R-模范畴R-Mod都是加法范畴。态射的加法就是逐点相加：(f+g)(x) = f(x)+g(x)。零对象是平凡群/模{0}。双积就是直和。 阿贝尔范畴的定义 加法范畴为我们提供了“加”的工具，但要进行同调代数（研究正合序列、上同调等），我们还需要“核”与“余核”的概念，并能谈论“像”。一个加法范畴A如果满足以下条件，则称为 阿贝尔范畴 ： A中每个态射都有 核 和 余核 。 设f: A → B是一个态射。 核 ker(f) 是一个对象K连同态射k: K → A，满足f∘k = 0，并且它是“泛”的：任何使得f∘g = 0的态射g: X → A，都唯一地通过k分解（即存在唯一的u: X → K使得k∘u = g）。 余核 coker(f) 是一个对象C连同态射c: B → C，满足c∘f = 0，并且它是“余泛”的：任何使得h∘f = 0的态射h: B → Y，都唯一地通过c分解（即存在唯一的v: C → Y使得v∘c = h）。 每个 单态 都是某个态射的核，每个 满态 都是某个态射的余核。 在一个加法范畴中，单态（monomorphism）f是指：对任意g, h: X → A，若f∘g = f∘h，则g = h。这类似于集合中的单射概念。 满态（epimorphism）f是指：对任意g, h: B → Y，若g∘f = h∘f，则g = h。这类似于集合中的满射概念。 最重要的条件是：每个态射f: A → B都可以分解为一个 满态 后接一个 单态 ，即 f = (A → I) ∘ (I → B)，其中A → I是余核的核（称为f的 上像 coim(f)），I → B是核的余核（称为f的 像 im(f)）。在阿贝尔范畴中，可以证明自然映射 coim(f) → im(f) 是一个同构。这允许我们将f的“像”定义为一个良定的对象。 阿贝尔范畴的性质与例子 在阿贝尔范畴中，我们可以像在模范畴中一样，进行许多熟悉的操作： 正合序列 ：可以定义正合序列。我们说序列 ... → A --(f)→ B --(g)→ C → ... 在B处正合，如果 im(f) = ker(g)。 同构定理 ：类似模论中的同构定理成立，例如 (A/B) / (C/B) ≅ A/C（在合适的商对象意义下）。 最重要的例子 ： R-Mod （环R上的左模范畴）是阿贝尔范畴的原型。所有关于阿贝尔范畴的直觉和基本定理都源于此。 Ab （阿贝尔群范畴）是R=ℤ时的特例。 Sheaves of abelian groups on a topological space （拓扑空间上的阿贝尔群层范畴）是代数几何和拓扑学中至关重要的阿贝尔范畴例子。一个层可以看作是一种“局部 glued”的阿贝尔群，其态射是层的态射。这个范畴是阿贝尔的，但其对象的元素没有全局的、简单的“点”描述，这体现了阿贝尔范畴公理化方法的威力——它不依赖于对象是否有“元素”。 阿贝尔范畴的 满子范畴 ，如果对取核、余核、以及有限直和封闭，则它自身也是阿贝尔范畴。例如，有限生成R-模范畴（若R是诺特环）是阿贝尔的。 阿贝尔范畴的意义 阿贝尔范畴的概念是同调代数的自然框架。它抽象并概括了模范畴（R-Mod）中所有进行同调运算所需的基本性质。在同调代数中，诸如 导函子 （如Ext, Tor）、 谱序列 等工具都是在阿贝尔范畴（或更一般的三角范畴、稳定无穷范畴）的层面上定义和研究的。这使得理论具有极大的普遍性：一个在阿贝尔范畴中证明的同调代数定理，可以同时应用于模、层、链复形等多种数学对象，无需为每种情况单独证明。因此，阿贝尔范畴是现代代数学、代数几何、代数拓扑等领域的基石性语言。