数学课程设计中的数学认知图式完善 让我们从最基础的概念开始，逐步深入理解如何在数学课程设计中促进学生数学认知图式的完善。 第一步：理解什么是“数学认知图式” 首先，你需要明白“图式”是认知心理学中的一个核心概念。简单来说，图式是人脑中组织和理解信息的一种心理框架或结构。它像一个预先存在的文件夹或模板，帮助我们快速识别、解释和归类新信息。 数学认知图式 ，特指在数学学习领域，学生大脑中形成的关于数学概念、原理、方法、问题类型及其关系的结构化知识网络。它不是零散知识的堆积，而是有组织、有联系的知识体系。例如，一个关于“方程”的完善图式，不仅包含“含有未知数的等式”这个定义，还包括方程的不同类型（一元一次、一元二次等）、解方程的各种策略（移项、配方、因式分解）、方程与函数、不等式的联系，以及方程在各类应用题中的建模作用。 第二步：认识数学认知图式的特性 一个完善的数学认知图式通常具备以下关键特性，这也是课程设计的目标方向： 结构性 ：知识之间不是孤立的，而是通过逻辑关系（如包含、因果、类比、推广）紧密联结，形成层次分明的网络。 可辨性 ：图式能够清晰区分不同概念和问题的特征边界。比如，能明确区分“概率”与“统计”的关注点，区分“旋转”与“轴对称”变换。 可迁移性 ：在特定情境下建立的图式，能够被识别并应用于新的、看似不同但结构相似的情境中。例如，从“整数运算”图式迁移到“代数式运算”图式。 动态发展性 ：图式不是一成不变的。当遇到新知识、新问题时，原有的图式会通过“同化”（将新信息纳入现有图式）或“顺应”（调整、改变现有图式以适应新信息）的过程，不断进行扩展、精细化或重构。 第三步：设计课程以促进图式的“同化”——丰富与巩固 课程设计的初级目标，是帮助学生将新知识顺利整合到已有图式中，使其更丰富、更稳固。 教学策略示例 ： 激活先行组织者 ：在新课开始时，设计与新知识紧密相关、但更一般化的引导性材料（如一个类比、一个总括性概念），激活学生相关旧图式，为新知识提供“锚点”。 设计变式练习 ：围绕核心概念或方法，设计一组在非本质特征上（如数字、背景、表述形式）变化，但在本质结构上不变的练习题。这能帮助学生辨别哪些是问题的关键特征（从而固化到图式中），哪些是无关特征，从而深化对本质的理解。 运用概念图 ：鼓励学生绘制概念图，将零散知识点用连线、层级、箭头标明关系。这个过程能外化并强化其内在的知识结构，检查知识间的联系是否建立。 第四步：设计课程以促进图式的“顺应”——调整与重构 当新知识与旧图式发生实质性冲突，无法被简单纳入时，课程需要促进学生主动调整甚至重构图式，这是深度学习的关键。 教学策略示例 ： 制造认知冲突 ：创设能够暴露学生已有图式局限性或错误的情境。例如，在小学学过“大的数不能减小的数”后，在引入负数前，可以提出“3-7=？”这样的问题，引发学生认识到原有“减法”图式需要扩展。 进行对比辨析 ：将有联系但易混淆的概念（如“周长”与“面积”、“因数”与“倍数”）或方法（如“算术解法”与“方程解法”）进行系统对比，通过辨析差异，促使学生细化图式的区分边界，形成更精确的子图式。 设计反思性任务 ：提出“为什么两种解法本质上是一样的？”“这个公式在什么条件下不成立？”之类的问题，迫使学生审视自己知识结构的逻辑一致性与适用范围，从而主动优化图式。 第五步：在问题解决中整合与运用图式 完善的图式最终要服务于复杂问题的解决。课程应设计需要调用和整合多个图式的任务。 教学策略示例 ： 设计开放性、跨章节的综合性问题 ：例如，“设计一个校园花坛，使其面积固定而周长最小，并说明理由”。这需要学生调动“图形面积/周长公式”、“极值思想（函数）”等多个图式，并在其间建立新的联系。 鼓励一题多解与多题归一 ：对同一问题，鼓励学生从不同角度（代数、几何、统计）思考，这能激活不同图式，并建立图式间的联系。反过来，将多种解法各异的问题归为同一模型（如都归结为“两点间线段最短”），则是在进行更高层次的图式抽象与概括。 运用思维导图规划解题路径 ：在解决复杂问题前，让学生用思维导图列出可能相关的知识点、公式、方法，这实质上是外化和调用其认知图式网络的过程，有助于系统性地思考。 总结 ：在数学课程设计中完善学生的 数学认知图式 ，是一个从帮助学生 结构化 吸收知识开始，通过丰富的 同化 练习巩固知识网络，再通过有挑战的 顺应 任务调整和精细化网络结构，最终在复杂 问题解决 中实现网络灵活、高效、创造性应用的系统过程。课程的任务就是设计一系列有层次的学习活动，来引导和支撑这一内在心理结构的持续发展与完善。