量子力学中的Borel求和法
字数 2499 2025-12-05 21:57:18

量子力学中的Borel求和法

我们来循序渐进地理解量子力学中的Borel求和法，这是一个处理发散级数的重要数学工具。

第一步：问题的起源——量子力学中的发散级数
在量子力学，特别是微扰论中，我们常常试图将某个物理量（如能量、散射振幅）表达为一个关于耦合常数（如相互作用强度）\(g\) 的幂级数：\(f(g) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n g^n\)。然而，在很多重要的量子场论和量子力学模型中（如谐振子加四次方势、氦原子能级等），人们发现系数 \(a_n\) 在 \(n \to \infty\) 时通常以 \(n!\) 的阶增长（可能还乘以振荡因子），即 \(a_n \sim C^n n!\)。这样的幂级数的收敛半径为零，意味着对于任何 \(g \ne 0\)，这个级数都是发散的（渐近级数）。但物理上我们知道这些物理量应当是良定义的。Borel求和法就是为了从这样的发散级数中“提取”出唯一的有限值，作为其和的合理定义。

第二步：Borel求和的核心思想
Borel求和的核心思想分为两个关键步骤，旨在“驯服” \(n!\) 的发散性：

  1. Borel变换：对一个形式幂级数 \(f(g) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n g^n\)，我们定义其Borel变换 \(\mathcal{B}[f]\) 为一个关于新变量 \(t\) 的（我们希望收敛半径更大的）幂级数：
    \(\mathcal{B}[f](t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} t^n\)。
    由于原来的 \(a_n \sim n!\)，现在 \(a_n / n!\) 的增长通常温和得多（如指数增长），这使得新的级数可能在 \(t\) 平面的某个圆盘内收敛，甚至可能解析延拓到更大的区域。
  2. Borel和（反变换/积分）：如果Borel变换 \(\mathcal{B}[f](t)\) 可以解析延拓到正实轴 \(t \ge 0\)，并且积分 \(\int_0^{\infty} e^{-t/g} \mathcal{B}[f](t) \, dt\) 收敛，那么我们定义原形式幂级数 \(f(g)\) 的Borel和为：
    \(S[f](g) = \frac{1}{g} \int_0^{\infty} e^{-t/g} \mathcal{B}[f](t) \, dt\)。
    注意，这个积分是拉普拉斯逆变换的形式。从物理角度看，因子 \(e^{-t/g}\) 起到了“阻尼”作用，确保了积分的收敛性。如果这个积分对小的正 \(g\) 收敛，并且与物理量相符，我们就说原发散级数 \(f(g)\) 是Borel可和的。

第三步：一个简单的数学例子
考虑一个典型的形式发散级数：\(f(g) = \sum_{n=0}^{\infty} n! (-g)^n\)。

  1. Borel变换：\(\mathcal{B}[f](t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!} (-t)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-t)^n = \frac{1}{1+t}\)。
    这里，发散级数被转换成了一个简单的、在 \(|t| < 1\) 内收敛的几何级数，其封闭形式 \(1/(1+t)\) 可以解析延拓到除了 \(t = -1\) 外的整个复平面。
  2. Borel和：我们计算 \(S[f](g) = \frac{1}{g} \int_0^{\infty} e^{-t/g} \frac{1}{1+t} \, dt\)。
    这个积分对 \(g > 0\) 是收敛的。实际上，它等于指数积分函数 \(e^{1/g} \Gamma(0, 1/g) / g\)，其中 \(\Gamma\) 是不完全Gamma函数。这个函数是 \(g > 0\) 时的良定义函数，可以被视为原发散级数的一个“和”。

第四步：在量子力学中的具体应用场景
一个经典的例子是谐振子加四次方微扰的基态能量。哈密顿量为：\(H = -\frac{1}{2} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} x^2 + g x^4\)。
通过瑞利-薛定谔微扰论，可以得到基态能量的展开：\(E_0(g) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n g^n\)。
已知系数 \(a_n\) 在 \(n \to \infty\) 时表现为 \(a_n \sim (-1)^{n+1} C^n n!\)，其中 \(C\) 是常数。这个级数是交替发散的。Borel求和法的步骤如下：

  1. Borel变换得到的级数 \(\sum a_n t^n / n!\) 具有有限的收敛半径。
  2. Borel变换可以解析延拓到复平面的一个包含正实轴的区域，但通常沿着负实轴有分支切割（这对应“瞬子”效应，是另一个重要主题）。
  3. 对小的正耦合 \(g\)，通过沿正实轴对解析延拓后的Borel变换进行拉普拉斯积分，可以得到一个与精确数值结果高度吻合的有限能量值，从而验证了Borel求和的有效性。

第五步：Borel求和的意义与挑战
Borel求和法的物理意义在于，它提供了一种从微扰论（发散但包含物理本质信息）过渡到精确结果的系统数学程序。它将一个渐近展开与一个特定的解析函数联系起来。其成功的关键在于Borel变换的解析延拓。如果Borel变换的奇点全部位于复 \(t\) 平面的负实轴上（称为“可和性方向”），则沿正实轴的拉普拉斯积分不会遇到奇点，求和是唯一的。如果奇点位于积分路径上（如正实轴上的极点或分支点），则需要定义如“横向和”等更精细的程序来处理，这通常与物理中的非微扰效应（如瞬子）相关。Borel求和法是连接微扰论与非微扰物理的核心数学桥梁之一。

量子力学中的Borel求和法 我们来循序渐进地理解量子力学中的Borel求和法，这是一个处理发散级数的重要数学工具。 第一步：问题的起源——量子力学中的发散级数 在量子力学，特别是微扰论中，我们常常试图将某个物理量（如能量、散射振幅）表达为一个关于耦合常数（如相互作用强度）\( g \) 的幂级数：\( f(g) = \sum_ {n=0}^{\infty} a_ n g^n \)。然而，在很多重要的量子场论和量子力学模型中（如谐振子加四次方势、氦原子能级等），人们发现系数 \( a_ n \) 在 \( n \to \infty \) 时通常以 \( n! \) 的阶增长（可能还乘以振荡因子），即 \( a_ n \sim C^n n ! \)。这样的幂级数的收敛半径为零，意味着对于任何 \( g \ne 0 \)，这个级数都是发散的（渐近级数）。但物理上我们知道这些物理量应当是良定义的。Borel求和法就是为了从这样的发散级数中“提取”出唯一的有限值，作为其和的合理定义。 第二步：Borel求和的核心思想 Borel求和的核心思想分为两个关键步骤，旨在“驯服” \( n ! \) 的发散性： Borel变换 ：对一个形式幂级数 \( f(g) = \sum_ {n=0}^{\infty} a_ n g^n \)，我们定义其 Borel变换 \( \mathcal{B}[ f ] \) 为一个关于新变量 \( t \) 的（我们希望收敛半径更大的）幂级数： \( \mathcal{B} f = \sum_ {n=0}^{\infty} \frac{a_ n}{n !} t^n \)。 由于原来的 \( a_ n \sim n! \)，现在 \( a_ n / n ! \) 的增长通常温和得多（如指数增长），这使得新的级数可能在 \( t \) 平面的某个圆盘内收敛，甚至可能解析延拓到更大的区域。 Borel和（反变换/积分） ：如果Borel变换 \( \mathcal{B} f \) 可以解析延拓到正实轴 \( t \ge 0 \)，并且积分 \( \int_ 0^{\infty} e^{-t/g} \mathcal{B} f \, dt \) 收敛，那么我们定义原形式幂级数 \( f(g) \) 的 Borel和 为： \( S f = \frac{1}{g} \int_ 0^{\infty} e^{-t/g} \mathcal{B} f \, dt \)。 注意，这个积分是拉普拉斯逆变换的形式。从物理角度看，因子 \( e^{-t/g} \) 起到了“阻尼”作用，确保了积分的收敛性。如果这个积分对小的正 \( g \) 收敛，并且与物理量相符，我们就说原发散级数 \( f(g) \) 是 Borel可和 的。 第三步：一个简单的数学例子 考虑一个典型的形式发散级数：\( f(g) = \sum_ {n=0}^{\infty} n ! (-g)^n \)。 Borel变换 ：\( \mathcal{B} f = \sum_ {n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!} (-t)^n = \sum_ {n=0}^{\infty} (-t)^n = \frac{1}{1+t} \)。 这里，发散级数被转换成了一个简单的、在 \( |t| < 1 \) 内收敛的几何级数，其封闭形式 \( 1/(1+t) \) 可以解析延拓到除了 \( t = -1 \) 外的整个复平面。 Borel和 ：我们计算 \( S f = \frac{1}{g} \int_ 0^{\infty} e^{-t/g} \frac{1}{1+t} \, dt \)。 这个积分对 \( g > 0 \) 是收敛的。实际上，它等于指数积分函数 \( e^{1/g} \Gamma(0, 1/g) / g \)，其中 \( \Gamma \) 是不完全Gamma函数。这个函数是 \( g > 0 \) 时的良定义函数，可以被视为原发散级数的一个“和”。 第四步：在量子力学中的具体应用场景 一个经典的例子是谐振子加四次方微扰的基态能量。哈密顿量为：\( H = -\frac{1}{2} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} x^2 + g x^4 \)。 通过瑞利-薛定谔微扰论，可以得到基态能量的展开：\( E_ 0(g) = \sum_ {n=0}^{\infty} a_ n g^n \)。 已知系数 \( a_ n \) 在 \( n \to \infty \) 时表现为 \( a_ n \sim (-1)^{n+1} C^n n ! \)，其中 \( C \) 是常数。这个级数是交替发散的。Borel求和法的步骤如下： Borel变换得到的级数 \( \sum a_ n t^n / n ! \) 具有有限的收敛半径。 Borel变换可以解析延拓到复平面的一个包含正实轴的区域，但通常沿着负实轴有分支切割（这对应“瞬子”效应，是另一个重要主题）。 对小的正耦合 \( g \)，通过沿正实轴对解析延拓后的Borel变换进行拉普拉斯积分，可以得到一个与精确数值结果高度吻合的有限能量值，从而验证了Borel求和的有效性。 第五步：Borel求和的意义与挑战 Borel求和法的物理意义在于，它提供了一种从微扰论（发散但包含物理本质信息）过渡到精确结果的系统数学程序。它将一个渐近展开与一个特定的解析函数联系起来。其成功的关键在于Borel变换的解析延拓。如果Borel变换的奇点全部位于复 \( t \) 平面的负实轴上（称为“可和性方向”），则沿正实轴的拉普拉斯积分不会遇到奇点，求和是唯一的。如果奇点位于积分路径上（如正实轴上的极点或分支点），则需要定义如“横向和”等更精细的程序来处理，这通常与物理中的非微扰效应（如瞬子）相关。Borel求和法是连接微扰论与非微扰物理的核心数学桥梁之一。