一维弦振动方程的达朗贝尔解及其物理意义
我们从最基本的物理模型——一根无限长的均匀弦的横向振动开始。这根弦很理想：完全柔软（只承受张力，不抵抗弯曲）、均匀（线密度ρ为常数）、在平衡位置做微小横振动（位移u(x,t)相对于弦长很小，且斜率∂u/∂x也很小，可忽略高阶量）。
在这样的假设下，牛顿第二定律应用于弦的微元，可推导出著名的一维波动方程：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
其中 \(c = \sqrt{T/\rho}\) 是波速，T是弦的张力。这是一个二阶线性双曲型偏微分方程。
为了求解这个方程，我们引入一种经典的解法：达朗贝尔解法。其核心是通过变量代换将方程化简。
我们定义两个新的自变量：
\[\xi = x - ct, \quad \eta = x + ct \]
这相当于沿着弦“看”向右传播（ξ为常数）和向左传播（η为常数）的波。利用链式法则，将原方程中的偏导数用ξ, η表示：
\[\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta} \]
\[ \frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial \xi}{\partial t}\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial t}\frac{\partial}{\partial \eta} = -c\frac{\partial}{\partial \xi} + c\frac{\partial}{\partial \eta} \]
然后计算二阶导数（需仔细进行运算）：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \]
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\left( \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \right) \]
将这两个式子代入波动方程，得到：
\[c^2\left( \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \right) = c^2\left( \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} \right) \]
化简后，交叉项相消，得到极其简洁的形式：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \]
这意味着，对η求偏导后，结果与η无关，即 ∂u/∂ξ 仅仅是ξ的函数。但更直接的理解是：这个方程可以立即积分。
对方程 ∂²u/∂ξ∂η = 0 关于η积分一次：
\[\frac{\partial u}{\partial \xi} = f(\xi) \]
这里 f(ξ) 是仅关于ξ的任意函数（积分“常数”）。然后再关于ξ积分：
\[u(\xi, \eta) = \int f(\xi) \, d\xi + G(\eta) \]
注意 ∫ f(ξ) dξ 是ξ的某个函数，记作 F(ξ)。于是通解为：
\[u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta) \]
换回原变量x, t，就得到了达朗贝尔公式（通解形式）：
\[u(x, t) = F(x - ct) + G(x + ct) \]
这就是达朗贝尔解的核心结论。
我们来阐释其深刻的物理意义：
- 解的构成：位移u是两项之和。第一项 F(x - ct) 表示一个右行波。因为在t=0时刻，波形是F(x)；随着时间t增加，要保持F的参数 (x - ct) 不变，x必须增加，即波形以速度c向右平移。同理，第二项 G(x + ct) 表示一个左行波，以速度c向左传播。
- 波的独立性：在无限长弦上，右行波和左行波独立传播，互不干扰，叠加原理在此完美体现。
- 任意性：函数F和G是任意的（只需二次可微），其具体形式由初始条件决定。
现在，我们给波动方程配上初始条件（柯西问题）。设初始时刻 (t=0) 弦的形状和速度已知：
\[u(x, 0) = \phi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x) \]
其中φ(x)是初始位移，ψ(x)是初始速度。
我们将通解 u = F(x-ct) + G(x+ct) 代入初始条件。
在t=0时：
\[u(x,0) = F(x) + G(x) = \phi(x) \quad (1) \]
对时间求偏导：
\[\frac{\partial u}{\partial t} = -c F'(x-ct) + c G'(x+ct) \]
在t=0时：
\[\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = -c F'(x) + c G'(x) = \psi(x) \quad (2) \]
对(2)式两边关于x从某点x₀积分到x（为方便，通常取x₀=0）：
\[-c[F(x) - F(0)] + c[G(x) - G(0)] = \int_{0}^{x} \psi(s) \, ds \]
整理得：
\[-G(x) + F(x) = \frac{1}{c} \int_{0}^{x} \psi(s) \, ds + [G(0) - F(0)] \quad (3) \]
现在联立方程(1)和(3)：
(1)式: F(x) + G(x) = φ(x)
(3)式: F(x) - G(x) = \frac{1}{c} \int_{0}^{x} \psi(s) , ds + C， 其中常数 C = G(0)-F(0)
两式相加、相减，解出F和G：
\[F(x) = \frac{1}{2} \phi(x) + \frac{1}{2c} \int_{0}^{x} \psi(s) \, ds + \frac{C}{2} \]
\[ G(x) = \frac{1}{2} \phi(x) - \frac{1}{2c} \int_{0}^{x} \psi(s) \, ds - \frac{C}{2} \]
注意常数C最终会被消去。将F和G的表达式代入通解 u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct)，得到带初始条件的达朗贝尔公式：
\[u(x, t) = \frac{1}{2} [\phi(x - ct) + \phi(x + ct)] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s) \, ds \]
这个公式是达朗贝尔解法的最终成果，它清晰地给出了任意时刻t、任意位置x的位移。
最后，我们通过一个简单例子来直观理解。考虑初始条件：初始位移是一个三角形脉冲φ(x)，初始速度ψ(x)=0。
根据公式：\(u(x,t) = \frac{1}{2} [\phi(x-ct) + \phi(x+ct)]\)
- 物理图像：初始脉冲在t=0时“分裂”成两个形状相同、但振幅减半的脉冲。一个以速度c向右跑（保持原形），另一个以速度c向左跑（保持原形）。
- 依赖区间：点(x,t)的解只依赖于初始区间[x-ct, x+ct]上的φ和ψ。这个区间称为点(x,t)的依赖区间。它由过点(x,t)的两条特征线 \(x \pm ct =\) 常数 回溯到初始轴所截得。
- 决定区域与影响区域：反之，初始轴上一点(x₀,0)的扰动，其影响范围是过该点的两条特征线所夹的锥形区域（影响区域）。这完美诠释了双曲型方程扰动以有限速度c传播的本质，这是与抛物型、椭圆型方程的根本区别。
达朗贝尔解法因其直接揭示了波动“行波”叠加的本质，并且给出了清晰的依赖区域物理图像，成为理解和求解一维波动方程最直观、最基本的方法，也是分析更复杂双曲型问题的基础。