可测空间上的原子测度与非原子测度 我们先从最基础的概念开始。假设你有一个可测空间 (X, ℱ)，即一个集合 X 配备了一个 σ-代数 ℱ。在这个空间上，我们可以定义测度 μ。今天我们不讨论具体的测度值，而是关注测度的“内部结构”——它是如何将“质量”分配到可测集上的。 步骤1：原子的定义 这是理解这对概念的核心。在可测空间 (X, ℱ, μ) 中，一个可测集 A ∈ ℱ 被称为一个 原子 ，如果它满足两个条件： μ(A) > 0 （它拥有正的测度）。 对于 ℱ 中 任意 满足 B ⊂ A 的子集 B，要么 μ(B) = 0，要么 μ(A \ B) = 0。 这意味着什么？这意味着原子 A 是一个“不可再分”的单元。你无法在 A 内部找到一个正测度的真子集，使得这个子集和它在 A 中的补集 都 具有正测度。在 A 内部，测度是“凝聚”在一点的（尽管形式上 A 本身可能是一个集合），任何试图把它分成两块正质量部分的努力都会失败。 步骤2：例子与直觉 离散测度 ：设 X 是任意集合，ℱ 是 X 的幂集。定义测度 μ 为：对每个点 x∈X，μ({x}) 是一个非负实数。那么，任何满足 μ({x}) > 0 的单点集 {x} 都是一个原子。因为 {x} 的非空真子集只有空集，测度为0。这个测度就是由一堆“原子”（点质量）组成的。 勒贝格测度 ：在实数轴 R 上，配备勒贝格可测集 ℒ 和勒贝格测度 m。勒贝格测度 没有 原子。为什么？因为对任何满足 m(A) > 0 的勒贝格可测集 A，你总能在 A 内部找到一个勒贝格可测子集 B，使得 0 < m(B) < m(A)。（例如，取 A 和一个长度足够小的区间相交的一部分）。所以，勒贝格测度是“连续”的，它的质量可以无限细分。 步骤3：原子测度的定义 一个测度 μ 被称为 纯原子测度 或 完全原子测度 ，如果存在一族原子 {A_ i} ⊂ ℱ，使得： 这些原子是互不相交的（i≠j 时，A_ i ∩ A_ j = ∅）。 X 中所有不属于这些原子的点构成的集合的测度为 0。即，μ( X \ (∪_ i A_ i) ) = 0。 换句话说，整个空间（除了一个零测集）可以被分解为一系列互不相交的原子。所有的正测度都集中在这些不可再分的“块”上。经典的例子是任何离散测度（在可数集上赋予点质量）。 步骤4：非原子测度的定义 一个测度 μ 被称为 非原子测度 或 连续测度 ，如果它不包含任何原子。即，对于任何满足 μ(A) > 0 的可测集 A，总存在一个可测子集 B ⊂ A，使得 0 < μ(B) < μ(A)。 正如步骤2中勒贝格测度的例子，这意味着质量可以被无限“切割”，没有最小的正测度单元。实数轴上的勒贝格测度是标准例子。另一个例子是任何与勒贝格测度绝对连续的测度，如果其拉东-尼科迪姆导数几乎处处为正。 步骤5：一个深刻的分解定理 这是实变函数论中关于测度结构的一个优美结论： 定理（原子-非原子分解） ：设 (X, ℱ, μ) 是一个 σ-有限测度空间。那么，存在唯一的（在差一个零测集的意义下）分解： X = X_ a ∪ X_ c，其中 X_ a ∩ X_ c = ∅，且 X_ a, X_ c ∈ ℱ。 这个分解满足： μ 限制在 X_ a 上（即 μ|_ X_ a）是一个 纯原子测度 。 μ 限制在 X_ c 上（即 μ|_ X_ c）是一个 非原子测度 。 步骤6：分解定理的意义与应用 这个定理告诉我们，在非常一般的条件下（σ-有限），任何一个测度都可以被唯一地分解为“离散部分”（原子部分）和“连续部分”（非原子部分）。 离散部分 (X_ a) ： 可以被表示为可数多个原子的并（加上一个零测集）。这部分的行为很像一个离散概率分布或点质量之和。 连续部分 (X_ c) ： 在这部分上，测度没有“跳跃点”，质量是“弥漫”开的，类似于勒贝格测度。 这个分解是理解更复杂测度的基石。例如，在研究一个函数的分布时，或者在进行勒贝格分解（将一个测度分解为绝对连续部分、奇异连续部分和纯跳跃部分）时，原子与非原子的概念是基本要素。纯跳跃部分对应原子测度，而奇异连续部分和绝对连续部分都属于非原子测度的范畴。