模形式的Petersson内积

字数 4465 2025-12-05 19:47:08

模形式的Petersson内积

我们先从模形式的基本结构入手。模形式是定义在上半复平面上的全纯函数，在某个离散群（如模群 \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\) 或其同余子群）的作用下满足特定的函数方程，并满足在尖点处的有界性（或全纯性）条件。这些函数构成一个有限维的复向量空间，记为 \(M_k(\Gamma)\)，其中 \(k\) 是权，\(\Gamma\) 是作用群。

然而，仅有向量空间结构还不足以深入研究模形式的精细性质，例如正交分解、特征形式等。为此，我们需要在模形式空间上引入一个内积，使其具有希尔伯特空间的结构。这就是 Petersson 内积。

第一步：定义 Petersson 内积的动机与背景
在有限维欧几里得空间中，内积使我们能谈论向量的长度和夹角，并能进行正交分解。对于模形式空间，我们也希望有类似工具。Petersson 内积是一种埃尔米特内积，它使得不同权、不同级的模形式空间成为内积空间，进而可以讨论模形式之间的“正交性”。这对于将模形式空间分解为“旧形式”和“新形式”的子空间至关重要，也是研究 Hecke 算子理论的基础。

第二步：定义所需的测度与积分区域
要定义内积，我们需要在模形式所在的定义域上积分。模形式定义在上半平面 \(\mathbb{H} = \{ \tau = x + iy \in \mathbb{C} : y > 0 \}\) 上，且考虑了群 \(\Gamma\) 的作用。我们考虑商空间 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\)，即上半平面在群 \(\Gamma\) 作用下的轨道空间。但 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 并非紧集，因为它包含“尖点”（无穷远点的等价类）。为了能进行积分，我们需要选择一个“基本域” \(\mathcal{F}\)，它是 \(\mathbb{H}\) 的一个子集，能代表 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 中每个轨道恰好一次（除了边界）。对于同余子群 \(\Gamma\)，基本域可以选取为双曲多边形，其边界包含若干条测地线以及尖点邻域。

关键技巧是：Petersson 内积的积分是在商空间 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 上进行的。为此，我们需要一个在 \(\Gamma\) 作用下不变的测度。上半平面 \(\mathbb{H}\) 具有双曲度量 \(ds^2 = (dx^2 + dy^2)/y^2\)，其对应的体积元为 \(d\mu(\tau) = \frac{dx \, dy}{y^2}\)。这个体积元在 \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\) 的莫比乌斯变换下保持不变。因此，对于 \(\tau \in \mathbb{H}\) 和 \(\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma\)，有 \(d\mu(\gamma \tau) = d\mu(\tau)\)。这保证了我们可以将 \(d\mu\) 推前到商空间 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 上，得到一个有限的体积（当 \(\Gamma\) 的级大于 1 时，体积有限；对于模群本身，需适当处理尖点）。

第三步：Petersson 内积的正式定义
设 \(f\) 和 \(g\) 是权为 \(k\)（\(k\) 为正整数）的模形式，且属于同一个同余子群 \(\Gamma\)。注意，它们不一定是尖形式（cusp form）。Petersson 内积 \(\langle f, g \rangle\) 定义为：

\[\langle f, g \rangle = \int_{\Gamma \backslash \mathbb{H}} f(\tau) \overline{g(\tau)} y^{k} \, d\mu(\tau) = \int_{\Gamma \backslash \mathbb{H}} f(\tau) \overline{g(\tau)} y^{k} \, \frac{dx \, dy}{y^2}, \]

其中 \(\tau = x + iy\)，\(y^k\) 的出现是为了使被积函数在权 \(k\) 的变换规律下不变。更具体地说，对于 \(\gamma \in \Gamma\)，模形式的变换性质为 \(f(\gamma \tau) = (c\tau + d)^k f(\tau)\)。而 \(y^k\) 在变换下会产生因子 \(|c\tau + d|^{2k}\)，与 \(f\) 和 \(\overline{g}\) 的变换因子相结合，恰好抵消，使得被积函数 \(f(\tau) \overline{g(\tau)} y^k\) 是 \(\Gamma\)-不变的，因而可以定义在商空间 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 上。

第四步：积分的收敛性处理
上述积分在 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 上进行。但 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 不是一个紧空间，它在每个尖点处延伸到无穷远。我们需要验证积分在尖点邻域是收敛的。对于尖点 \(s\)，我们可以取一个尖点邻域，将其映射到无穷远处（例如通过一个分式线性变换将 \(s\) 映到 \(\infty\)）。在这个邻域中，坐标可写为 \(\tau = x + iy\)，\(y \to \infty\)。模形式在尖点处有傅里叶展开。如果 \(f\) 和 \(g\) 都是尖形式（即在所有尖点处的常数项为零），那么它们的傅里叶展开从 \(n \ge 1\) 项开始，含有因子 \(e^{2\pi i n \tau}\)，其指数衰减（因为 \(e^{-2\pi n y}\) 当 \(y \to \infty\) 时快速衰减）。此时被积函数 \(f(\tau) \overline{g(\tau)} y^k\) 在 \(y \to \infty\) 时以指数速度衰减，从而积分绝对收敛。

如果 \(f\) 或 \(g\) 不是尖形式（例如艾森斯坦级数），其傅里叶展开包含常数项，被积函数在尖点邻域的行为类似 \(y^{k-2} \, dx \, dy\)，当 \(k > 2\) 时，积分在 \(y \to \infty\) 时仍然收敛（因为 \(y^{k-2}\) 的增长被体积元 \(dy/y^2\) 中的 \(1/y^2\) 部分抑制，实质是 \(y^{k-2} dy/y^2 = y^{k-4} dy\)，当 \(k>2\) 时，在 \(y\) 很大时可能发散，实际上需要更仔细分析：在尖点邻域积分区域是 \(0 \le x \le 1, y \ge Y\)，对 \(x\) 积分后，对 \(y\) 的积分形如 \(\int_{Y}^{\infty} y^{k-2} \cdot (某种衰减) \, dy/y^2\)。对于全纯模形式，其傅里叶系数有多项式增长，但 \(f\) 本身在尖点处有界，实际上被积函数在尖点处是 \(O(y^{k-2})\)，对 \(y\) 积分 \(\int^{\infty} y^{k-4} dy\) 当 \(k>2\) 时在无穷远处收敛当且仅当 \(k-4 < -1\) 即 \(k<3\)，这似乎矛盾。这里需注意：对于非尖形式，Petersson 内积的定义可能发散，因此通常 Petersson 内积只定义在尖形式空间 \(S_k(\Gamma)\) 上。对于全纯模形式空间 \(M_k(\Gamma)\)，若直接对两个非尖形式积分，在尖点处的积分可能发散。但可以证明，若 \(f\) 和 \(g\) 中至少有一个是尖形式，则积分收敛。因此，Petersson 内积通常定义为尖形式空间 \(S_k(\Gamma)\) 上的内积，或者更一般地，作为 \(M_k(\Gamma)\) 上的埃尔米特配对，但只当其中一个输入是尖形式时才收敛。在很多文献中，Petersson 内积特指在尖形式空间上的内积。

第五步：Petersson 内积的性质

埃尔米特性：\(\langle f, g \rangle = \overline{\langle g, f \rangle}\)。
线性：在第一个变量上是线性的，在第二个变量上是共轭线性的。
正定性：对于尖形式 \(f \ne 0\)，有 \(\langle f, f \rangle > 0\)。这使 \(S_k(\Gamma)\) 成为一个有限维希尔伯特空间。
与 Hecke 算子的相容性：Hecke 算子 \(T_n\) 关于 Petersson 内积是正规算子（当 \(n\) 与级互素时甚至是自伴的）。这意味着 \(S_k(\Gamma)\) 可以有一组由 Hecke 特征形式构成的正交基，这些特征形式同时是所有 Hecke 算子的特征向量。这是模形式算术应用的核心。

第六步：Petersson 内积的计算与例子
实际计算 Petersson 内积通常不容易。但对于一些特定的模形式，可以通过解析方法计算。例如，对于权 \(k\) 的艾森斯坦级数 \(E_k\) 和尖形式 \(f\)，由于 \(E_k\) 不是尖形式，\(\langle E_k, f \rangle\) 仍可定义（因为一个输入是尖形式），而且可以证明 \(\langle E_k, f \rangle = 0\)，即艾森斯坦级数与任何尖形式正交。这意味着 \(M_k(\Gamma) = \mathcal{E}_k(\Gamma) \oplus S_k(\Gamma)\)，其中 \(\mathcal{E}_k\) 是艾森斯坦级数张成的子空间，这个正交直和分解是 Petersson 内积的直接结果。

第七步：Petersson 内积的推广与相关概念
Petersson 内积可以推广到非全纯的模形式（如 Maass 形式）以及更高维的模形式（如西格尔模形式）。在推广中，需要选取适当的不变测度和权因子。此外，Petersson 内积与模形式的 L-函数有紧密联系，例如通过 Rankin-Selberg 方法可以将 Petersson 内积表示为 L-函数的特殊值。

总结，Petersson 内积是模形式理论中的基本结构，它赋予了尖形式空间一个希尔伯特空间结构，使得我们可以进行正交分解，并研究 Hecke 算子的谱理论。这个内积的引入，是理解模形式空间几何和算术性质的关键一步。

模形式的Petersson内积我们先从模形式的基本结构入手。模形式是定义在上半复平面上的全纯函数，在某个离散群（如模群 \(\mathrm{SL}_ 2(\mathbb{Z})\) 或其同余子群）的作用下满足特定的函数方程，并满足在尖点处的有界性（或全纯性）条件。这些函数构成一个有限维的复向量空间，记为 \(M_ k(\Gamma)\)，其中 \(k\) 是权，\(\Gamma\) 是作用群。然而，仅有向量空间结构还不足以深入研究模形式的精细性质，例如正交分解、特征形式等。为此，我们需要在模形式空间上引入一个内积，使其具有希尔伯特空间的结构。这就是 Petersson 内积。第一步：定义 Petersson 内积的动机与背景在有限维欧几里得空间中，内积使我们能谈论向量的长度和夹角，并能进行正交分解。对于模形式空间，我们也希望有类似工具。Petersson 内积是一种埃尔米特内积，它使得不同权、不同级的模形式空间成为内积空间，进而可以讨论模形式之间的“正交性”。这对于将模形式空间分解为“旧形式”和“新形式”的子空间至关重要，也是研究 Hecke 算子理论的基础。第二步：定义所需的测度与积分区域要定义内积，我们需要在模形式所在的定义域上积分。模形式定义在上半平面 \(\mathbb{H} = \{ \tau = x + iy \in \mathbb{C} : y > 0 \}\) 上，且考虑了群 \(\Gamma\) 的作用。我们考虑商空间 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\)，即上半平面在群 \(\Gamma\) 作用下的轨道空间。但 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 并非紧集，因为它包含“尖点”（无穷远点的等价类）。为了能进行积分，我们需要选择一个“基本域” \(\mathcal{F}\)，它是 \(\mathbb{H}\) 的一个子集，能代表 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 中每个轨道恰好一次（除了边界）。对于同余子群 \(\Gamma\)，基本域可以选取为双曲多边形，其边界包含若干条测地线以及尖点邻域。关键技巧是：Petersson 内积的积分是在商空间 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 上进行的。为此，我们需要一个在 \(\Gamma\) 作用下不变的测度。上半平面 \(\mathbb{H}\) 具有双曲度量 \(ds^2 = (dx^2 + dy^2)/y^2\)，其对应的体积元为 \(d\mu(\tau) = \frac{dx \, dy}{y^2}\)。这个体积元在 \(\mathrm{SL}_ 2(\mathbb{R})\) 的莫比乌斯变换下保持不变。因此，对于 \(\tau \in \mathbb{H}\) 和 \(\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma\)，有 \(d\mu(\gamma \tau) = d\mu(\tau)\)。这保证了我们可以将 \(d\mu\) 推前到商空间 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 上，得到一个有限的体积（当 \(\Gamma\) 的级大于 1 时，体积有限；对于模群本身，需适当处理尖点）。第三步：Petersson 内积的正式定义设 \(f\) 和 \(g\) 是权为 \(k\)（\(k\) 为正整数）的模形式，且属于同一个同余子群 \(\Gamma\)。注意，它们不一定是尖形式（cusp form）。Petersson 内积 \(\langle f, g \rangle\) 定义为： \[ \langle f, g \rangle = \int_ {\Gamma \backslash \mathbb{H}} f(\tau) \overline{g(\tau)} y^{k} \, d\mu(\tau) = \int_ {\Gamma \backslash \mathbb{H}} f(\tau) \overline{g(\tau)} y^{k} \, \frac{dx \, dy}{y^2}, \] 其中 \(\tau = x + iy\)，\(y^k\) 的出现是为了使被积函数在权 \(k\) 的变换规律下不变。更具体地说，对于 \(\gamma \in \Gamma\)，模形式的变换性质为 \(f(\gamma \tau) = (c\tau + d)^k f(\tau)\)。而 \(y^k\) 在变换下会产生因子 \(|c\tau + d|^{2k}\)，与 \(f\) 和 \(\overline{g}\) 的变换因子相结合，恰好抵消，使得被积函数 \(f(\tau) \overline{g(\tau)} y^k\) 是 \(\Gamma\)-不变的，因而可以定义在商空间 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 上。第四步：积分的收敛性处理上述积分在 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 上进行。但 \(\Gamma \backslash \mathbb{H}\) 不是一个紧空间，它在每个尖点处延伸到无穷远。我们需要验证积分在尖点邻域是收敛的。对于尖点 \(s\)，我们可以取一个尖点邻域，将其映射到无穷远处（例如通过一个分式线性变换将 \(s\) 映到 \(\infty\)）。在这个邻域中，坐标可写为 \(\tau = x + iy\)，\(y \to \infty\)。模形式在尖点处有傅里叶展开。如果 \(f\) 和 \(g\) 都是尖形式（即在所有尖点处的常数项为零），那么它们的傅里叶展开从 \(n \ge 1\) 项开始，含有因子 \(e^{2\pi i n \tau}\)，其指数衰减（因为 \(e^{-2\pi n y}\) 当 \(y \to \infty\) 时快速衰减）。此时被积函数 \(f(\tau) \overline{g(\tau)} y^k\) 在 \(y \to \infty\) 时以指数速度衰减，从而积分绝对收敛。如果 \(f\) 或 \(g\) 不是尖形式（例如艾森斯坦级数），其傅里叶展开包含常数项，被积函数在尖点邻域的行为类似 \(y^{k-2} \, dx \, dy\)，当 \(k > 2\) 时，积分在 \(y \to \infty\) 时仍然收敛（因为 \(y^{k-2}\) 的增长被体积元 \(dy/y^2\) 中的 \(1/y^2\) 部分抑制，实质是 \(y^{k-2} dy/y^2 = y^{k-4} dy\)，当 \(k>2\) 时，在 \(y\) 很大时可能发散，实际上需要更仔细分析：在尖点邻域积分区域是 \(0 \le x \le 1, y \ge Y\)，对 \(x\) 积分后，对 \(y\) 的积分形如 \(\int_ {Y}^{\infty} y^{k-2} \cdot (某种衰减) \, dy/y^2\)。对于全纯模形式，其傅里叶系数有多项式增长，但 \(f\) 本身在尖点处有界，实际上被积函数在尖点处是 \(O(y^{k-2})\)，对 \(y\) 积分 \(\int^{\infty} y^{k-4} dy\) 当 \(k>2\) 时在无穷远处收敛当且仅当 \(k-4 < -1\) 即 \(k<3\)，这似乎矛盾。这里需注意：对于非尖形式，Petersson 内积的定义可能发散，因此通常 Petersson 内积只定义在尖形式空间 \(S_ k(\Gamma)\) 上。对于全纯模形式空间 \(M_ k(\Gamma)\)，若直接对两个非尖形式积分，在尖点处的积分可能发散。但可以证明，若 \(f\) 和 \(g\) 中至少有一个是尖形式，则积分收敛。因此，Petersson 内积通常定义为尖形式空间 \(S_ k(\Gamma)\) 上的内积，或者更一般地，作为 \(M_ k(\Gamma)\) 上的埃尔米特配对，但只当其中一个输入是尖形式时才收敛。在很多文献中，Petersson 内积特指在尖形式空间上的内积。第五步：Petersson 内积的性质埃尔米特性：\(\langle f, g \rangle = \overline{\langle g, f \rangle}\)。线性：在第一个变量上是线性的，在第二个变量上是共轭线性的。正定性：对于尖形式 \(f \ne 0\)，有 \(\langle f, f \rangle > 0\)。这使 \(S_ k(\Gamma)\) 成为一个有限维希尔伯特空间。与 Hecke 算子的相容性：Hecke 算子 \(T_ n\) 关于 Petersson 内积是正规算子（当 \(n\) 与级互素时甚至是自伴的）。这意味着 \(S_ k(\Gamma)\) 可以有一组由 Hecke 特征形式构成的正交基，这些特征形式同时是所有 Hecke 算子的特征向量。这是模形式算术应用的核心。第六步：Petersson 内积的计算与例子实际计算 Petersson 内积通常不容易。但对于一些特定的模形式，可以通过解析方法计算。例如，对于权 \(k\) 的艾森斯坦级数 \(E_ k\) 和尖形式 \(f\)，由于 \(E_ k\) 不是尖形式，\(\langle E_ k, f \rangle\) 仍可定义（因为一个输入是尖形式），而且可以证明 \(\langle E_ k, f \rangle = 0\)，即艾森斯坦级数与任何尖形式正交。这意味着 \(M_ k(\Gamma) = \mathcal{E}_ k(\Gamma) \oplus S_ k(\Gamma)\)，其中 \(\mathcal{E}_ k\) 是艾森斯坦级数张成的子空间，这个正交直和分解是 Petersson 内积的直接结果。第七步：Petersson 内积的推广与相关概念 Petersson 内积可以推广到非全纯的模形式（如 Maass 形式）以及更高维的模形式（如西格尔模形式）。在推广中，需要选取适当的不变测度和权因子。此外，Petersson 内积与模形式的 L-函数有紧密联系，例如通过 Rankin-Selberg 方法可以将 Petersson 内积表示为 L-函数的特殊值。总结，Petersson 内积是模形式理论中的基本结构，它赋予了尖形式空间一个希尔伯特空间结构，使得我们可以进行正交分解，并研究 Hecke 算子的谱理论。这个内积的引入，是理解模形式空间几何和算术性质的关键一步。