亚式期权的矩匹配方法（Moment Matching for Asian Options）
字数 3488 2025-12-05 17:58:36

亚式期权的矩匹配方法（Moment Matching for Asian Options）

好的，我们开始一个新词条。我将为您循序渐进地讲解亚式期权定价中一个高效且常用的数值方法：矩匹配方法。

第一步：回顾亚式期权的核心特点

在进入矩匹配方法之前，必须先理解亚式期权的特殊性，这是理解该方法动机的关键。

  1. 定义：亚式期权的回报（Payoff）取决于标的资产价格在期权有效期内一段时间内的平均值，而不是到期日当天的价格。这个平均值可以是算术平均或几何平均。
  2. 挑战：正是这个“平均”过程带来了巨大的定价困难。对于几何平均，由于一系列对数正态分布的乘积仍然服从对数正态分布，我们可以得到解析解（类似于标准布莱克-斯科尔斯公式的变形）。
  3. 核心难题：对于更常见的算术平均亚式期权，其回报是若干个相关对数正态随机变量（资产价格路径）的算术平均值。对数正态分布的算术和（或算术平均）的分布没有已知的解析表达式。这意味着我们无法像处理几何平均或欧式期权那样，简单地写出其风险中性期望的闭合公式。

第二步：矩匹配方法的核心思想

既然算术平均值的精确分布未知，矩匹配方法采用了一种巧妙的“近似”策略。其思想可以概括为：

用一个我们已知其分布、且容易处理的随机变量 \(Y\)，来近似代替那个分布未知的算术平均价格随机变量 \(A(T)\)。 而“匹配”的标准，就是让这两个随机变量的前几阶矩（主要是前两阶或前三阶矩）相等。

第三步：详细分解计算步骤

我们以一个不支付股息的股票为标的资产的算术平均亚式期权为例。设：

  • 资产价格过程： \(dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t\) （风险中性测度下）
  • 算术平均： \(A(T) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} S(t_i)\)， 其中 \(0 = t_0 < t_1 < ... < t_n = T\) 是预先设定的观察时点。
  • 期权在到期日 \(T\) 的回报为： \(\max(A(T) - K, 0)\) （看涨期权）。

矩匹配方法的定价步骤如下：

步骤1：计算算术平均 \(A(T)\) 的真实矩（在风险中性测度下）

我们需要计算 \(A(T)\) 的期望（一阶矩）、方差（二阶中心矩），有时还包括偏度（三阶标准化矩）。

  1. 一阶矩（期望）： \(E[A(T)] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[S(t_i)]\)。由于 \(E[S(t_i)] = S_0 e^{r t_i}\)，这个计算是直接的。
  2. 二阶矩（非中心矩）： \(E[A(T)^2] = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E[S(t_i)S(t_j)]\)。
  • 当 \(i = j\) 时， \(E[S(t_i)^2] = S_0^2 e^{(2r + \sigma^2)t_i}\)。
  • 当 \(i \ne j\) 时，设 \(t_i < t_j\)，有 \(E[S(t_i)S(t_j)] = E[S(t_i) \cdot E[S(t_j)| \mathcal{F}_{t_i}]] = E[S(t_i) \cdot S(t_i)e^{r(t_j - t_i)}] = S_0^2 e^{r t_j} e^{(r + \sigma^2) t_i}\)。
  • 通过双重求和，我们可以精确计算出 \(E[A(T)^2]\)，进而得到方差 \(Var(A(T)) = E[A(T)^2] - (E[A(T)])^2\)。

步骤2：选择一个方便的近似分布

最常见的选择是对数正态分布。为什么？

  • 因为标的资产价格本身服从对数正态分布，算术平均作为其“平均”，近似为对数正态分布在直觉上是合理的。
  • 更重要的是，如果一个随机变量服从对数正态分布，那么以它为标的的欧式期权，可以直接使用（经过调整的）布莱克-斯科尔斯公式来定价，这极大地简化了问题。

因此，我们假设近似变量 \(Y\) 服从对数正态分布，即 \(\ln Y \sim \mathcal{N}(m, s^2)\)。

步骤3：进行矩匹配

我们需要找到对数正态分布参数 \(m\) 和 \(s^2\)，使得 \(Y\) 的矩与我们在步骤1中计算出的 \(A(T)\) 的矩相匹配。

  1. 两矩匹配：匹配一阶矩和二阶矩。
  • 对于对数正态分布 \(Y\)，有：

\[ E[Y] = e^{m + \frac{1}{2}s^2} \]

\[ E[Y^2] = e^{2m + 2s^2} \]

  • 令 \(E[Y] = E[A(T)] =: M_1\) 且 \(E[Y^2] = E[A(T)^2] =: M_2\)。
  • 解这个方程组，得到参数：

\[ s^2 = \ln\left(\frac{M_2}{M_1^2}\right) \]

\[ m = \ln(M_1) - \frac{1}{2}s^2 \]

  • 这样，我们就用参数为 \((m, s^2)\) 的对数正态分布 \(Y\) 来近似替代 \(A(T)\)。

步骤4：利用近似分布进行定价

既然我们认为 \(A(T) \approx Y \sim \text{Log-Normal}(m, s^2)\)，那么亚式看涨期权的价格 \(C\) 就可以近似为：

\[C \approx e^{-rT} E[\max(Y - K, 0)] \]

而这就是一个以 \(Y\) 为标的、执行价为 \(K\)、到期日为 \(T\) 的标准欧式看涨期权的定价问题，只不过标的资产 \(Y\) 的“当前价格”是 \(E[Y] = M_1\)，波动率是 \(s / \sqrt{T}\)（注意：这里的 \(s\) 是 \(\ln Y\) 的总标准差，不是年化波动率。在布莱克-斯科尔斯公式中，我们需要输入年化波动率 \(\sigma_Y\)，满足 \(\sigma_Y \sqrt{T} = s\)，即 \(\sigma_Y = s / \sqrt{T}\)）。

因此，最终的近似定价公式为：

\[C \approx BS_{\text{call}}(S_{\text{eff}}, K, T, r, \sigma_{\text{eff}}) \]

其中：

  • \(S_{\text{eff}} = M_1 = E[A(T)]\)
  • \(\sigma_{\text{eff}} = s / \sqrt{T} = \sqrt{\ln(M_2 / M_1^2) / T}\)
  • \(BS_{\text{call}}\) 是标准的布莱克-斯科尔斯看涨期权公式。

第四步：方法的评价、扩展与注意事项

  1. 精度与效率：矩匹配法（特别是两矩匹配）通常能提供非常优秀且稳定的近似结果，其精度在大多数实际应用场景下足够高，且计算速度极快（仅涉及少量求和与一次BS公式计算），远快于蒙特卡洛模拟。
  2. 扩展：三矩匹配：为了进一步提高精度，尤其是对深度价内或价外期权的定价精度，可以采用三矩匹配。此时，我们不仅匹配 \(A(T)\) 的一、二阶矩，还匹配其偏度（三阶中心矩）。这时，简单的对数正态分布（只有两个参数）不足以匹配三个矩，需要选择一个三参数分布，例如移位对数正态分布或平方正态分布，然后类似地解方程组确定参数，最后通常需要通过数值积分计算期望。
  3. 适用性：该方法不仅适用于算术平均亚式期权，也适用于其他“平均”类衍生品，如篮子期权（Basket Options）的定价，其中需要匹配的是一篮子资产加权平均价格的矩。
  4. 局限性：
    • 它毕竟是一种近似。当标的资产波动率极高、或平均周期很长时，近似误差可能会增大。
    • 它主要用于欧式亚式期权的定价。对于美式亚式期权，此方法无法直接应用，需要与其他方法（如最小二乘蒙特卡洛）结合。

总结一下逻辑链条：
算术平均亚式期权无解析解 → 用已知分布Y近似替代未知的平均价格A(T) → 通过让Y和A(T)的前几阶矩相等来确定Y的参数（矩匹配）→ 利用Y分布的已知定价公式（如BS公式）快速得到近似期权价格。

这就是亚式期权定价中矩匹配方法的完整、循序渐进的原理与操作过程。

亚式期权的矩匹配方法（Moment Matching for Asian Options） 好的，我们开始一个新词条。我将为您循序渐进地讲解亚式期权定价中一个高效且常用的数值方法： 矩匹配方法 。 第一步：回顾亚式期权的核心特点 在进入矩匹配方法之前，必须先理解亚式期权的特殊性，这是理解该方法动机的关键。 定义 ：亚式期权的回报（Payoff）取决于标的资产价格在期权有效期内 一段时间内的平均值 ，而不是到期日当天的价格。这个平均值可以是 算术平均 或 几何平均 。 挑战 ：正是这个“平均”过程带来了巨大的定价困难。对于 几何平均 ，由于一系列对数正态分布的乘积仍然服从对数正态分布，我们可以得到解析解（类似于标准布莱克-斯科尔斯公式的变形）。 核心难题 ：对于更常见的 算术平均亚式期权 ，其回报是若干个相关对数正态随机变量（资产价格路径）的算术平均值。 对数正态分布的算术和（或算术平均）的分布没有已知的解析表达式 。这意味着我们无法像处理几何平均或欧式期权那样，简单地写出其风险中性期望的闭合公式。 第二步：矩匹配方法的核心思想 既然算术平均值的精确分布未知，矩匹配方法采用了一种巧妙的“近似”策略。其思想可以概括为： 用一个我们已知其分布、且容易处理的随机变量 \( Y \)，来近似代替那个分布未知的算术平均价格随机变量 \( A(T) \)。 而“匹配”的标准，就是让这两个随机变量的前几阶矩（主要是前两阶或前三阶矩）相等。 第三步：详细分解计算步骤 我们以一个不支付股息的股票为标的资产的算术平均亚式期权为例。设： 资产价格过程： \( dS_ t = r S_ t dt + \sigma S_ t dW_ t \) （风险中性测度下） 算术平均： \( A(T) = \frac{1}{n} \sum_ {i=1}^{n} S(t_ i) \)， 其中 \( 0 = t_ 0 < t_ 1 < ... < t_ n = T \) 是预先设定的观察时点。 期权在到期日 \(T\) 的回报为： \( \max(A(T) - K, 0) \) （看涨期权）。 矩匹配方法的定价步骤如下： 步骤1：计算算术平均 \(A(T)\) 的真实矩（在风险中性测度下） 我们需要计算 \(A(T)\) 的期望（一阶矩）、方差（二阶中心矩），有时还包括偏度（三阶标准化矩）。 一阶矩（期望） ： \( E[ A(T)] = \frac{1}{n} \sum_ {i=1}^{n} E[ S(t_ i)] \)。由于 \(E[ S(t_ i)] = S_ 0 e^{r t_ i}\)，这个计算是直接的。 二阶矩（非中心矩） ： \( E[ A(T)^2] = \frac{1}{n^2} \sum_ {i=1}^{n} \sum_ {j=1}^{n} E[ S(t_ i)S(t_ j) ] \)。 当 \( i = j \) 时， \(E[ S(t_ i)^2] = S_ 0^2 e^{(2r + \sigma^2)t_ i}\)。 当 \( i \ne j \) 时，设 \( t_ i < t_ j \)，有 \(E[ S(t_ i)S(t_ j)] = E[ S(t_ i) \cdot E[ S(t_ j)| \mathcal{F}_ {t_ i}]] = E[ S(t_ i) \cdot S(t_ i)e^{r(t_ j - t_ i)}] = S_ 0^2 e^{r t_ j} e^{(r + \sigma^2) t_ i}\)。 通过双重求和，我们可以精确计算出 \(E[ A(T)^2]\)，进而得到方差 \(Var(A(T)) = E[ A(T)^2] - (E[ A(T) ])^2\)。 步骤2：选择一个方便的近似分布 最常见的选择是 对数正态分布 。为什么？ 因为标的资产价格本身服从对数正态分布，算术平均作为其“平均”，近似为对数正态分布在直觉上是合理的。 更重要的是， 如果一个随机变量服从对数正态分布，那么以它为标的的欧式期权，可以直接使用（经过调整的）布莱克-斯科尔斯公式来定价 ，这极大地简化了问题。 因此，我们假设近似变量 \(Y\) 服从对数正态分布，即 \( \ln Y \sim \mathcal{N}(m, s^2) \)。 步骤3：进行矩匹配 我们需要找到对数正态分布参数 \(m\) 和 \(s^2\)，使得 \(Y\) 的矩与我们在步骤1中计算出的 \(A(T)\) 的矩相匹配。 两矩匹配 ：匹配一阶矩和二阶矩。 对于对数正态分布 \(Y\)，有： \[ E[ Y ] = e^{m + \frac{1}{2}s^2} \] \[ E[ Y^2 ] = e^{2m + 2s^2} \] 令 \(E[ Y] = E[ A(T)] =: M_ 1\) 且 \(E[ Y^2] = E[ A(T)^2] =: M_ 2\)。 解这个方程组，得到参数： \[ s^2 = \ln\left(\frac{M_ 2}{M_ 1^2}\right) \] \[ m = \ln(M_ 1) - \frac{1}{2}s^2 \] 这样，我们就用参数为 \((m, s^2)\) 的对数正态分布 \(Y\) 来近似替代 \(A(T)\)。 步骤4：利用近似分布进行定价 既然我们认为 \(A(T) \approx Y \sim \text{Log-Normal}(m, s^2)\)，那么亚式看涨期权的价格 \(C\) 就可以近似为： \[ C \approx e^{-rT} E[ \max(Y - K, 0) ] \] 而这就是一个以 \(Y\) 为标的、执行价为 \(K\)、到期日为 \(T\) 的 标准欧式看涨期权 的定价问题，只不过标的资产 \(Y\) 的“当前价格”是 \(E[ Y] = M_ 1\)，波动率是 \(s / \sqrt{T}\)（注意：这里的 \(s\) 是 \(\ln Y\) 的总标准差，不是年化波动率。在布莱克-斯科尔斯公式中，我们需要输入 年化波动率 \(\sigma_ Y\)，满足 \(\sigma_ Y \sqrt{T} = s\)，即 \(\sigma_ Y = s / \sqrt{T}\)）。 因此，最终的近似定价公式为： \[ C \approx BS_ {\text{call}}(S_ {\text{eff}}, K, T, r, \sigma_ {\text{eff}}) \] 其中： \(S_ {\text{eff}} = M_ 1 = E[ A(T) ]\) \(\sigma_ {\text{eff}} = s / \sqrt{T} = \sqrt{\ln(M_ 2 / M_ 1^2) / T}\) \(BS_ {\text{call}}\) 是标准的布莱克-斯科尔斯看涨期权公式。 第四步：方法的评价、扩展与注意事项 精度与效率 ：矩匹配法（特别是两矩匹配）通常能提供非常优秀且稳定的近似结果，其精度在大多数实际应用场景下足够高，且计算速度极快（仅涉及少量求和与一次BS公式计算），远快于蒙特卡洛模拟。 扩展：三矩匹配 ：为了进一步提高精度，尤其是对深度价内或价外期权的定价精度，可以采用三矩匹配。此时，我们不仅匹配 \(A(T)\) 的一、二阶矩，还匹配其 偏度 （三阶中心矩）。这时，简单的对数正态分布（只有两个参数）不足以匹配三个矩，需要选择一个 三参数分布 ，例如 移位对数正态分布 或 平方正态分布 ，然后类似地解方程组确定参数，最后通常需要通过数值积分计算期望。 适用性 ：该方法不仅适用于算术平均亚式期权，也适用于其他“平均”类衍生品，如篮子期权（Basket Options）的定价，其中需要匹配的是一篮子资产加权平均价格的矩。 局限性 ： 它毕竟是一种 近似 。当标的资产波动率极高、或平均周期很长时，近似误差可能会增大。 它主要用于 欧式 亚式期权的定价。对于美式亚式期权，此方法无法直接应用，需要与其他方法（如最小二乘蒙特卡洛）结合。 总结一下逻辑链条 ： 算术平均亚式期权无解析解 → 用已知分布Y近似替代未知的平均价格A(T) → 通过让Y和A(T)的前几阶矩相等来确定Y的参数（矩匹配）→ 利用Y分布的已知定价公式（如BS公式）快速得到近似期权价格。 这就是亚式期权定价中矩匹配方法的完整、循序渐进的原理与操作过程。