二次型的符号差

字数 2053 2025-12-05 16:31:11

二次型的符号差

二次型的符号差是一个重要的数值不变量，它刻画了实数域上二次型在正交对角化后，正、负特征值的个数。为了理解它，我们需要循序渐进地走一遍。

第一步：回顾基础——实数域上的二次型
一个n元二次型，是形如 \(Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i, j} a_{ij} x_i x_j\) 的齐次二次多项式，其中 \(a_{ij} = a_{ji} \in \mathbb{R}\)。它可以写成矩阵形式 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)，其中 \(A\) 是一个实对称矩阵。

第二步：核心工具——西尔维斯特惯性定理
这个定理是定义符号差的关键前提。它指出：对于一个实对称矩阵 \(A\)，尽管通过不同的可逆线性替换（合同变换）可以将其化为不同的对角形，但其中正对角元的个数和负对角元的个数是不变的。换句话说，存在可逆矩阵 \(P\) 使得：

\[P^T A P = \operatorname{diag}(1, ..., 1, -1, ..., -1, 0, ..., 0) \]

其中，+1的个数、-1的个数、0的个数是唯一确定的，不依赖于对角化方法的选择。这个形式被称为二次型（或对称矩阵）的规范形。

第三步：给出符号差的精确定义
设实数域上的二次型 \(Q\)（或其实对称矩阵 \(A\)）的规范形中：

正对角元的个数为 \(p\)（称为正惯性指数），
负对角元的个数为 \(q\)（称为负惯性指数），
零对角元的个数为 \(n - (p+q)\)（即 \(A\) 的零度，或 \(Q\) 的核的维数）。
那么，我们定义这个二次型的符号差为整数 \(p - q\)。

第四步：符号差的几何与代数解释

秩与符号差的关系：二次型的秩 \(r = p + q\)。因此，符号差 \(p - q = 2p - r\)。当秩固定时，符号差的变化范围是 \(-r, -r+2, ..., r-2, r\)。
正定与负定的刻画：

如果 \(p = n\)（即秩为 \(n\) 且符号差为 \(n\)），则二次型是正定的。
如果 \(q = n\)（即秩为 \(n\) 且符号差为 \(-n\)），则二次型是负定的。
如果 \(p = n-1, q=0\)（秩为 \(n-1\)，符号差为 \(n-1\)），则是半正定的。

几何意义：在标准正交基下，二次型 \(Q(\mathbf{x}) = 1\) 的图像是一个二次曲面（如椭球面、双曲面等）。其中，\(p\) 和 \(q\) 分别决定了该曲面沿各主轴是“开口向上”（正方向）还是“开口向下”（负方向）的性质。符号差 \(p-q\) 是这种“开口方向”失衡性的一个整体度量。

第五步：计算符号差的方法
有多种等价的实用方法来计算符号差：

正交对角化：对矩阵 \(A\) 进行正交对角化（求特征值），\(p\) 等于正特征值的个数（重数计入），\(q\) 等于负特征值的个数。这是最直接的方法。
配方法：通过配方法（合同变换）将二次型化为规范形，然后直接数 \(p\) 和 \(q\)。
顺序主子式法（仅对某些情况有效）：对于正定或负定的情况，可以利用顺序主子式的符号来判断。但更一般的方法是使用雅可比法或通过计算矩阵的合同标准型。

第六步：符号差的应用举例
考虑二次型 \(Q(x, y, z) = x^2 + 2y^2 - 3z^2 + 4xy - 2xz\)。

写出其矩阵：

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -3 \end{pmatrix} \]

计算其特征值（通过解特征多项式 \(\det(A - \lambda I) = 0\)），得到三个实特征值 \(\lambda_1 > 0, \lambda_2 < 0, \lambda_3 < 0\)（具体数值可计算，但此处只需符号）。
因此，正惯性指数 \(p = 1\)，负惯性指数 \(q = 2\)，秩 \(r = 3\)。
符号差 \(\sigma = p - q = 1 - 2 = -1\)。
这个结果告诉我们，这个二次曲面在某个正交坐标系下，方程形如 \(X^2 - Y^2 - Z^2 = 常数\)，这是一个单叶双曲面的方程，与符号差为-1的几何印象相符。

总结：符号差是一个简洁而强大的整数，它封装了实二次型在正交分类下的核心信息。它由西尔维斯特惯性定理保证其良好定义，并通过正负惯性指数计算得到，是连接二次型的代数性质与几何图像的重要桥梁。

二次型的符号差二次型的符号差是一个重要的数值不变量，它刻画了实数域上二次型在正交对角化后，正、负特征值的个数。为了理解它，我们需要循序渐进地走一遍。第一步：回顾基础——实数域上的二次型一个n元二次型，是形如 \( Q(x_ 1, x_ 2, ..., x_ n) = \sum_ {i, j} a_ {ij} x_ i x_ j \) 的齐次二次多项式，其中 \( a_ {ij} = a_ {ji} \in \mathbb{R} \)。它可以写成矩阵形式 \( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \)，其中 \( A \) 是一个实对称矩阵。第二步：核心工具——西尔维斯特惯性定理这个定理是定义符号差的关键前提。它指出：对于一个实对称矩阵 \( A \)，尽管通过不同的可逆线性替换（合同变换）可以将其化为不同的对角形，但其中正对角元的个数和负对角元的个数是不变的。换句话说，存在可逆矩阵 \( P \) 使得： \[ P^T A P = \operatorname{diag}(1, ..., 1, -1, ..., -1, 0, ..., 0) \] 其中，+1的个数、-1的个数、0的个数是唯一确定的，不依赖于对角化方法的选择。这个形式被称为二次型（或对称矩阵）的规范形。第三步：给出符号差的精确定义设实数域上的二次型 \( Q \)（或其实对称矩阵 \( A \)）的规范形中：正对角元的个数为 \( p \)（称为正惯性指数），负对角元的个数为 \( q \)（称为负惯性指数），零对角元的个数为 \( n - (p+q) \)（即 \( A \) 的零度，或 \( Q \) 的核的维数）。那么，我们定义这个二次型的符号差为整数 \( p - q \)。第四步：符号差的几何与代数解释秩与符号差的关系：二次型的秩 \( r = p + q \)。因此，符号差 \( p - q = 2p - r \)。当秩固定时，符号差的变化范围是 \( -r, -r+2, ..., r-2, r \)。正定与负定的刻画：如果 \( p = n \)（即秩为 \( n \) 且符号差为 \( n \)），则二次型是正定的。如果 \( q = n \)（即秩为 \( n \) 且符号差为 \( -n \)），则二次型是负定的。如果 \( p = n-1, q=0 \)（秩为 \( n-1 \)，符号差为 \( n-1 \)），则是半正定的。几何意义：在标准正交基下，二次型 \( Q(\mathbf{x}) = 1 \) 的图像是一个二次曲面（如椭球面、双曲面等）。其中，\( p \) 和 \( q \) 分别决定了该曲面沿各主轴是“开口向上”（正方向）还是“开口向下”（负方向）的性质。符号差 \( p-q \) 是这种“开口方向”失衡性的一个整体度量。第五步：计算符号差的方法有多种等价的实用方法来计算符号差：正交对角化：对矩阵 \( A \) 进行正交对角化（求特征值），\( p \) 等于正特征值的个数（重数计入），\( q \) 等于负特征值的个数。这是最直接的方法。配方法：通过配方法（合同变换）将二次型化为规范形，然后直接数 \( p \) 和 \( q \)。顺序主子式法（仅对某些情况有效）：对于正定或负定的情况，可以利用顺序主子式的符号来判断。但更一般的方法是使用雅可比法或通过计算矩阵的合同标准型。第六步：符号差的应用举例考虑二次型 \( Q(x, y, z) = x^2 + 2y^2 - 3z^2 + 4xy - 2xz \)。写出其矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -3 \end{pmatrix} \] 计算其特征值（通过解特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)），得到三个实特征值 \( \lambda_ 1 > 0, \lambda_ 2 < 0, \lambda_ 3 < 0 \)（具体数值可计算，但此处只需符号）。因此，正惯性指数 \( p = 1 \)，负惯性指数 \( q = 2 \)，秩 \( r = 3 \)。符号差 \( \sigma = p - q = 1 - 2 = -1 \)。这个结果告诉我们，这个二次曲面在某个正交坐标系下，方程形如 \( X^2 - Y^2 - Z^2 = 常数 \)，这是一个单叶双曲面的方程，与符号差为-1的几何印象相符。总结：符号差是一个简洁而强大的整数，它封装了实二次型在正交分类下的核心信息。它由西尔维斯特惯性定理保证其良好定义，并通过正负惯性指数计算得到，是连接二次型的代数性质与几何图像的重要桥梁。