C*-代数同态与Gelfand-Naimark定理（C*-Algebra Homomorphisms and the Gelfand-Naimark Theorem）
字数 2592 2025-12-05 14:09:14

C*-代数同态与Gelfand-Naimark定理（C*-Algebra Homomorphisms and the Gelfand-Naimark Theorem）

我将为你循序渐进地讲解这个泛函分析与算子代数中的重要主题。这个内容连接了代数结构、拓扑结构和分析结构，是理解非交换泛函分析的基石。

  1. C*-代数回顾与动机
    首先，我们明确讨论对象。一个C*-代数是一个复数域ℂ上的巴拿赫代数A（即完备的赋范代数），配以一个对合映射*: A → A（满足(λa)* = \bar{λ}a*, (a+b)* = a*+b*, (ab)* = ba, (a*)* = a），并且满足关键的C*等式：对于所有a ∈ A，有 |a*a| = |a|²。例子包括：复数域ℂ、希尔伯特空间H上的有界线性算子全体B(H)，以及定义在紧豪斯多夫空间X上的复值连续函数代数C(X)。

    一个自然的问题随之产生：这些看似不同的例子（函数代数和算子代数）之间是否存在深刻的、系统的联系？Gelfand-Naimark定理正是对这个问题的深刻回答。而建立这种联系的核心工具，就是C*-代数之间的同态。

  2. C*-代数同态

    • 定义：设A和B是两个C*-代数。一个映射φ: A → B称为一个C*-代数同态，如果它满足：
      (1) 线性：φ(λa + μb) = λφ(a) + μφ(b)（对所有λ, μ ∈ ℂ, a, b ∈ A）。
      (2) 乘法性：φ(ab) = φ(a)φ(b)。
      (3) 保对合：φ(a*) = φ(a)*。
    • 关键性质：
      • 任何C*-代数同态φ都是压缩的，即 |φ(a)|_B ≤ |a|_A。这是一个非平凡结论，需要用到C*-代数的谱理论来证明。
      • 如果φ是单射的，那么它不仅是压缩的，更是等距的，即 |φ(a)|_B = |a|_A。这是C*-代数“刚性”的体现：代数结构完全决定了范数。
    • 同构：如果一个C-代数同态φ既是单射又是满射，则称其为*同构。此时φ是一个等距同构，A与B在代数、对合和范数意义上完全等同。

  3. 交换C*-代数与Gelfand表示
    为了理解一般C*-代数，我们先看交换的情形。设A是一个交换C*-代数（即对所有a, b ∈ A，有ab = ba）。

    • Gelfand变换：A的谱Δ(A)定义为A上所有非零乘法线性泛函（即满足φ(ab)=φ(a)φ(b)的连续线性泛函φ: A→ℂ）的集合，装备上弱*拓扑后是一个紧豪斯多夫空间。
    • Gelfand变换是一个映射Γ: A → C(Δ(A))，定义为 Γ(a)(φ) = φ(a)， 其中a ∈ A, φ ∈ Δ(A)。
    • 交换Gelfand-Naimark定理：对于任意交换C*-代数A，其Gelfand变换Γ是一个等距*同构，即将A同构地映射到连续函数代数C(Δ(A))上。这完美地回答了“交换C*-代数是什么”的问题：本质上，它们就是某个紧豪斯多夫空间上的连续函数代数。

  4. 非交换推广：GNS构造
    对于非交换C*-代数，我们无法将其表示为某个空间上的函数代数，但可以将其表示为某个希尔伯特空间上的算子代数。这个表示由Gelfand-Naimark-Segal (GNS) 构造实现。

    • 态：C*-代数A上的一个态是一个正线性泛函f: A → ℂ（即对所有a≥0有f(a)≥0），且满足f(1)=1（如果A有单位元）或某种逼近性质。
    • GNS构造过程：给定一个态f，可以在A上通过内积〈a, b〉 = f(ba)定义一个（可能退化的）预希尔伯特结构。商掉零化子空间N={a: f(aa)=0}后得到希尔伯特空间H_f的完备化。然后，A中的每个元素x自然地诱导出H_f上的一个算子π_f(x): [a] → [xa]，这里[a]表示a所在的等价类。映射π_f: A → B(H_f) 就是一个C*-代数同态，称为GNS表示。
    • 关键：这个表示是循环的，即存在一个循环向量ξ_f ∈ H_f（例如[1]），使得{π_f(a)ξ_f: a ∈ A}在H_f中稠密，且满足f(a) = 〈π_f(a)ξ_f, ξ_f〉。

  5. Gelfand-Naimark定理（非交换情形）

    • 定理陈述：每一个C*-代数都同构于某个希尔伯特空间上的有界线性算子代数的一个闭子代数。换句话说，每个C*-代数都有一个忠实的（即单射的）*-表示 π: A → B(H)。
    • 证明思路：这个定理的证明正是上述思想的综合运用。其核心步骤是：
      1. 取A上所有态的空间S(A)。对每个态f ∈ S(A)，应用GNS构造得到一个*-表示(π_f, H_f)。
      2. 将所有表示进行“直和”，构造万有表示 π = ⊕{f∈S(A)} π_f，作用在希尔伯特空间H = ⊕{f∈S(A)} H_f上。
      3. 利用C*-代数中元素的“正性”和“近似单位元”的性质，可以证明这个直和表示是忠实的。具体地，对任意非零a∈A，存在一个态f使得π_f(a) ≠ 0，从而π(a) ≠ 0。这确保了π是一个单射的C*-代数同态，从而是等距嵌入。
    • 意义：这个定理是算子代数的基本定理。它告诉我们，抽象的C*-代数公理（巴拿赫代数+对合+C等式）已经足够刻画希尔伯特空间上有界算子的任何封闭子代数。它为非交换分析提供了统一的框架，将代数的抽象研究与算子的具体表示紧密联系起来。

总结：我们从未出发，理解了C*-代数同态是保持代数、对合结构的映射，并具有等距刚性。通过回顾交换情形的Gelfand表示，我们看到了代数与拓扑的对应。对于一般情形，GNS构造利用“态”这个分析工具，从一个正线性泛函生成了一个希尔伯特空间表示。最终，Gelfand-Naimark定理通过取所有态的GNS表示的直和，证明了每个C*-代数都可以忠实地表示为某个希尔伯特空间上的算子代数，从而在非交换领域建立了类似于交换Gelfand表示的基本对应关系。这条逻辑链清晰地展示了如何从代数公理出发，通过引入拓扑和泛函分析的工具，最终获得具体的算子表示。

C* -代数同态与Gelfand-Naimark定理（C* -Algebra Homomorphisms and the Gelfand-Naimark Theorem） 我将为你循序渐进地讲解这个泛函分析与算子代数中的重要主题。这个内容连接了代数结构、拓扑结构和分析结构，是理解非交换泛函分析的基石。 C* -代数回顾与动机 首先，我们明确讨论对象。一个 C* -代数 是一个复数域ℂ上的巴拿赫代数A（即完备的赋范代数），配以一个对合映射* : A → A（满足(λa)* = \bar{λ}a* , (a+b)* = a* +b* , (ab)* = b a , (a* )* = a），并且满足关键的 C* 等式 ：对于所有a ∈ A，有 \|a* a\| = \|a\|²。例子包括：复数域ℂ、希尔伯特空间H上的有界线性算子全体B(H)，以及定义在紧豪斯多夫空间X上的复值连续函数代数C(X)。 一个自然的问题随之产生：这些看似不同的例子（函数代数和算子代数）之间是否存在深刻的、系统的联系？Gelfand-Naimark定理正是对这个问题的深刻回答。而建立这种联系的核心工具，就是C* -代数之间的 同态 。 C* -代数同态 定义 ：设A和B是两个C* -代数。一个映射φ: A → B称为一个 C* -代数同态 ，如果它满足： (1) 线性：φ(λa + μb) = λφ(a) + μφ(b)（对所有λ, μ ∈ ℂ, a, b ∈ A）。 (2) 乘法性：φ(ab) = φ(a)φ(b)。 (3) 保对合：φ(a* ) = φ(a)* 。 关键性质 ： 任何C* -代数同态φ都是 压缩的 ，即 \|φ(a)\|_ B ≤ \|a\|_ A。这是一个非平凡结论，需要用到C* -代数的谱理论来证明。 如果φ是 单射 的，那么它不仅是压缩的，更是 等距 的，即 \|φ(a)\|_ B = \|a\|_ A。这是C* -代数“刚性”的体现：代数结构完全决定了范数。 同构 ：如果一个C -代数同态φ既是单射又是满射，则称其为* 同构 。此时φ是一个等距同构，A与B在代数、对合和范数意义上完全等同。 交换C* -代数与Gelfand表示 为了理解一般C* -代数，我们先看交换的情形。设A是一个 交换C* -代数 （即对所有a, b ∈ A，有ab = ba）。 Gelfand变换 ：A的 谱 Δ(A)定义为A上所有非零乘法线性泛函（即满足φ(ab)=φ(a)φ(b)的连续线性泛函φ: A→ℂ）的集合，装备上弱* 拓扑后是一个紧豪斯多夫空间。 Gelfand变换 是一个映射Γ: A → C(Δ(A))，定义为 Γ(a)(φ) = φ(a)， 其中a ∈ A, φ ∈ Δ(A)。 交换Gelfand-Naimark定理 ：对于任意交换C* -代数A，其Gelfand变换Γ是一个 等距* 同构 ，即将A同构地映射到连续函数代数C(Δ(A))上。这完美地回答了“交换C* -代数是什么”的问题：本质上，它们就是某个紧豪斯多夫空间上的连续函数代数。 非交换推广：GNS构造 对于非交换C* -代数，我们无法将其表示为某个空间上的函数代数，但可以将其表示为某个希尔伯特空间上的算子代数。这个表示由 Gelfand-Naimark-Segal (GNS) 构造 实现。 态 ：C* -代数A上的一个 态 是一个正线性泛函f: A → ℂ（即对所有a≥0有f(a)≥0），且满足f(1)=1（如果A有单位元）或某种逼近性质。 GNS构造过程 ：给定一个态f，可以在A上通过内积〈a, b〉 = f(b a)定义一个（可能退化的）预希尔伯特结构。商掉零化子空间N={a: f(a a)=0}后得到希尔伯特空间H_ f的完备化。然后，A中的每个元素x自然地诱导出H_ f上的一个算子π_ f(x): [ a] → [ xa]，这里[ a]表示a所在的等价类。映射π_ f: A → B(H_ f) 就是一个C* -代数同态，称为 GNS表示 。 关键 ：这个表示是 循环的 ，即存在一个循环向量ξ_ f ∈ H_ f（例如[ 1]），使得{π_ f(a)ξ_ f: a ∈ A}在H_ f中稠密，且满足f(a) = 〈π_ f(a)ξ_ f, ξ_ f〉。 Gelfand-Naimark定理（非交换情形） 定理陈述 ：每一个C* -代数都 同构于某个希尔伯特空间上的有界线性算子代数的一个闭 子代数。换句话说，每个C* -代数都有一个 忠实的（即单射的）* -表示 π: A → B(H)。 证明思路 ：这个定理的证明正是上述思想的综合运用。其核心步骤是： 取A上所有态的空间S(A)。对每个态f ∈ S(A)，应用GNS构造得到一个* -表示(π_ f, H_ f)。 将所有表示进行“直和”，构造 万有表示 π = ⊕ {f∈S(A)} π_ f，作用在希尔伯特空间H = ⊕ {f∈S(A)} H_ f上。 利用C* -代数中元素的“正性”和“近似单位元”的性质，可以证明这个直和表示是 忠实的 。具体地，对任意非零a∈A，存在一个态f使得π_ f(a) ≠ 0，从而π(a) ≠ 0。这确保了π是一个单射的C* -代数同态，从而是等距嵌入。 意义 ：这个定理是算子代数的基本定理。它告诉我们，抽象的C* -代数公理（巴拿赫代数+对合+C 等式）已经足够刻画希尔伯特空间上有界算子的任何 封闭子代数。它为非交换分析提供了统一的框架，将代数的抽象研究与算子的具体表示紧密联系起来。 总结 ：我们从未出发，理解了 C* -代数同态 是保持代数、对合结构的映射，并具有等距刚性。通过回顾交换情形的 Gelfand表示 ，我们看到了代数与拓扑的对应。对于一般情形， GNS构造 利用“态”这个分析工具，从一个正线性泛函生成了一个希尔伯特空间表示。最终， Gelfand-Naimark定理 通过取所有态的GNS表示的直和，证明了每个C* -代数都可以忠实地表示为某个希尔伯特空间上的算子代数，从而在非交换领域建立了类似于交换Gelfand表示的基本对应关系。这条逻辑链清晰地展示了如何从代数公理出发，通过引入拓扑和泛函分析的工具，最终获得具体的算子表示。