数学课程设计中的数学抽象与具象互动教学
字数 2071 2025-12-05 13:15:24

数学课程设计中的数学抽象与具象互动教学

我们从一个你非常熟悉的概念“数”开始理解“抽象”和“具象”的互动。你最初认识“3”，可能是通过三个苹果、三块糖、三个手指（具象）。后来你明白，无论苹果、糖还是手指，都可以用同一个符号“3”来表示，它代表“三个事物”这一共同属性，这就是抽象。抽象与具象的互动，是数学思维发展的核心动力。接下来，我将为你层层剖析这一概念在教学中的设计与应用。

第一步：明确“抽象”与“具象”在数学学习中的本质角色

  • 具象：指具体的物体、情境、操作、图形或实例。它们是感官可以直接或间接感知的，是数学概念的物质基础或现实原型。例如，用秤称重量是“质量”的具象，搭积木是“立体图形”的具象。
  • 抽象：指从具体事物中，剥离其非本质属性（如颜色、气味、材质），抽取出共同的、本质的属性（如数量、形状、关系、结构），形成数学概念、符号、规则和思想的过程。例如，从“3个苹果”、“3公里”中抽象出数字“3”；从各种三角形实物中抽象出“由三条线段首尾相连构成的封闭图形”这一概念。
  • 互动关系：数学学习不是从具象直接“跳跃”到抽象，也不是停留在具象，而是一个“从具象中感知，在抽象中建构，再回到具象中应用和深化”的螺旋上升过程。抽象思维需要具象经验的支撑，而具象理解需要通过抽象来升华和一般化。

第二步：设计“从具象到抽象”的教学路径（抽象化过程）
这是概念形成的关键阶段。课程设计应铺设清晰的阶梯：

  1. 操作感知：设计可动手操作的活动，积累丰富的感性经验。例如，学习“分数”时，让学生用纸片折一折、涂一涂，感知“平均分”和“部分与整体”的关系。
  2. 观察比较：引导学生在众多具体例子中，找出共同特征，忽略无关特征。例如，展示不同大小、颜色、角度的直角三角形纸片，让学生发现它们“都有一个直角”这个不变的本质属性。
  3. 表述归纳：鼓励学生用自己的语言描述发现的共同点，教师再引导用逐渐精确的数学语言进行概括。例如，从“两边一样长”到“对边相等”，最终归纳出“长方形对边相等”的命题。
  4. 符号化与形式化：将归纳出的概念或关系，用数学符号、公式、定义或图形（如几何图形）表示。这是抽象的高级阶段。例如，将加法交换的规律，用文字描述，最终表示为 a + b = b + a。

第三步：设计“从抽象到具象”的教学路径（具体化过程）
这是概念理解深化和应用迁移的关键，防止学生只记住空洞的符号。

  1. 解释与举例：要求学生对一个抽象概念或定理，举出多个具体例子进行解释。例如，学习了“函数”定义后，让学生列举生活中“一个量随另一个量变化”的实例（如票价与里程、圆的面积与半径）。
  2. 模型建构：引导学生用具体的材料、图形或现实情境，来表征（“建模”）一个抽象关系。例如，用线段图、方格纸来表示“行程问题”中的数量关系；用天平模型来理解等式的基本性质。
  3. 问题解决应用：将抽象知识应用于解决具体的、特别是真实情境的问题。例如，学习了“相似三角形”后，设计“测量旗杆高度”的实际任务。这个过程是“具象化”的实践，能检验和深化抽象理解。
  4. 多元表征转换：促进学生灵活地在文字描述、符号公式、图形图表、实物情境等不同表征形式之间进行转换。例如，对于二次函数，能在解析式、数据表、抛物线圈图像、以及刻画抛体运动的现象间自如转换。这体现了抽象与具象的深度融合。

第四步：在课程设计中构建“互动循环”与层次进阶
一个完整的教学单元或主题，应设计多个抽象与具象的互动循环，层层递进：

  • 微观循环：在一节课的某个知识点学习中，完成“具体实例 → 初步抽象 → 具体解释”的小循环。
  • 单元循环：在一个单元内，从生活情境引入（具象），经过探究形成核心概念和原理（抽象），再通过变式练习、综合应用、建模活动回到新的情境（新的具象），实现理解的巩固和迁移。
  • 学段进阶：随着学生认知发展，互动的层次应提高。小学阶段，具象材料更实物化、操作化；初中阶段，逐渐增加图形、图表等半抽象中介；高中阶段，则更多在符号、形式系统与更复杂的现实模型、科学情境之间进行高层次互动。

第五步：教学策略与评估要点

  • 策略：善用探究式学习、问题解决、数学建模、实验教学等。提供“有结构的材料”（如几何拼板、方格纸）作为具象支撑，同时设计“有层次的问题”引导抽象思维。
  • 评估：不仅要评估学生能否进行抽象演算（如解题），更要评估其“互动的能力”。例如：
    • 能否为新学的抽象概念创造合适的例子？（抽象→具象）
    • 能否从一组具体现象中提炼出数学模型？（具象→抽象）
    • 能否用图形、实物来解释一个抽象的公式或定理？（抽象→具象）
    • 能否在不同表征形式间进行正确转换？（互动流畅性）

总而言之，数学课程设计中的数学抽象与具象互动教学，其核心是精心设计学习路径，让学生的思维在有支撑的、可感知的具体经验与有力量的、一般化的抽象观念之间往复穿梭。通过这种动态互动，学生不仅能理解数学“是什么”，更能理解数学“从何而来、为何如此、有何用处”，从而建构起深刻、灵活且可用的数学理解，真正掌握数学思维的灵魂。

数学课程设计中的数学抽象与具象互动教学 我们从一个你非常熟悉的概念“数”开始理解“抽象”和“具象”的互动。你最初认识“3”，可能是通过三个苹果、三块糖、三个手指（ 具象 ）。后来你明白，无论苹果、糖还是手指，都可以用同一个符号“3”来表示，它代表“三个事物”这一共同属性，这就是 抽象 。抽象与具象的互动，是数学思维发展的核心动力。接下来，我将为你层层剖析这一概念在教学中的设计与应用。 第一步：明确“抽象”与“具象”在数学学习中的本质角色 具象 ：指具体的物体、情境、操作、图形或实例。它们是感官可以直接或间接感知的，是数学概念的物质基础或现实原型。例如，用秤称重量是“质量”的具象，搭积木是“立体图形”的具象。 抽象 ：指从具体事物中，剥离其非本质属性（如颜色、气味、材质），抽取出共同的、本质的属性（如数量、形状、关系、结构），形成数学概念、符号、规则和思想的过程。例如，从“3个苹果”、“3公里”中抽象出数字“3”；从各种三角形实物中抽象出“由三条线段首尾相连构成的封闭图形”这一概念。 互动关系 ：数学学习不是从具象直接“跳跃”到抽象，也不是停留在具象，而是一个“ 从具象中感知，在抽象中建构，再回到具象中应用和深化 ”的螺旋上升过程。抽象思维需要具象经验的支撑，而具象理解需要通过抽象来升华和一般化。 第二步：设计“从具象到抽象”的教学路径（抽象化过程） 这是概念形成的关键阶段。课程设计应铺设清晰的阶梯： 操作感知 ：设计可动手操作的活动，积累丰富的感性经验。例如，学习“分数”时，让学生用纸片折一折、涂一涂，感知“平均分”和“部分与整体”的关系。 观察比较 ：引导学生在众多具体例子中，找出共同特征，忽略无关特征。例如，展示不同大小、颜色、角度的直角三角形纸片，让学生发现它们“都有一个直角”这个不变的本质属性。 表述归纳 ：鼓励学生用自己的语言描述发现的共同点，教师再引导用逐渐精确的数学语言进行概括。例如，从“两边一样长”到“对边相等”，最终归纳出“长方形对边相等”的命题。 符号化与形式化 ：将归纳出的概念或关系，用数学符号、公式、定义或图形（如几何图形）表示。这是抽象的高级阶段。例如，将加法交换的规律，用文字描述，最终表示为 a + b = b + a。 第三步：设计“从抽象到具象”的教学路径（具体化过程） 这是概念理解深化和应用迁移的关键，防止学生只记住空洞的符号。 解释与举例 ：要求学生对一个抽象概念或定理，举出多个具体例子进行解释。例如，学习了“函数”定义后，让学生列举生活中“一个量随另一个量变化”的实例（如票价与里程、圆的面积与半径）。 模型建构 ：引导学生用具体的材料、图形或现实情境，来表征（“建模”）一个抽象关系。例如，用线段图、方格纸来表示“行程问题”中的数量关系；用天平模型来理解等式的基本性质。 问题解决应用 ：将抽象知识应用于解决具体的、特别是真实情境的问题。例如，学习了“相似三角形”后，设计“测量旗杆高度”的实际任务。这个过程是“具象化”的实践，能检验和深化抽象理解。 多元表征转换 ：促进学生灵活地在文字描述、符号公式、图形图表、实物情境等不同表征形式之间进行转换。例如，对于二次函数，能在解析式、数据表、抛物线圈图像、以及刻画抛体运动的现象间自如转换。这体现了抽象与具象的深度融合。 第四步：在课程设计中构建“互动循环”与层次进阶 一个完整的教学单元或主题，应设计多个抽象与具象的互动循环，层层递进： 微观循环 ：在一节课的某个知识点学习中，完成“具体实例 → 初步抽象 → 具体解释”的小循环。 单元循环 ：在一个单元内，从生活情境引入（具象），经过探究形成核心概念和原理（抽象），再通过变式练习、综合应用、建模活动回到新的情境（新的具象），实现理解的巩固和迁移。 学段进阶 ：随着学生认知发展，互动的层次应提高。小学阶段，具象材料更实物化、操作化；初中阶段，逐渐增加图形、图表等半抽象中介；高中阶段，则更多在符号、形式系统与更复杂的现实模型、科学情境之间进行高层次互动。 第五步：教学策略与评估要点 策略 ：善用探究式学习、问题解决、数学建模、实验教学等。提供“有结构的材料”（如几何拼板、方格纸）作为具象支撑，同时设计“有层次的问题”引导抽象思维。 评估 ：不仅要评估学生能否进行抽象演算（如解题），更要评估其“互动的能力”。例如： 能否为新学的抽象概念创造合适的例子？（抽象→具象） 能否从一组具体现象中提炼出数学模型？（具象→抽象） 能否用图形、实物来解释一个抽象的公式或定理？（抽象→具象） 能否在不同表征形式间进行正确转换？（互动流畅性） 总而言之， 数学课程设计中的数学抽象与具象互动教学 ，其核心是精心设计学习路径，让学生的思维在有支撑的、可感知的具体经验与有力量的、一般化的抽象观念之间往复穿梭。通过这种动态互动，学生不仅能理解数学“是什么”，更能理解数学“从何而来、为何如此、有何用处”，从而建构起深刻、灵活且可用的数学理解，真正掌握数学思维的灵魂。