维塔利集（Vitali Set）
字数 2162 2025-12-05 12:16:12

维塔利集（Vitali Set）

我将详细讲解维塔利集的概念及其在实变函数和测度论中的重要意义。让我们先从基本背景开始。

1. 背景与动机：勒贝格测度与测度扩张问题

在实分析中，勒贝格测度是欧氏空间上一种重要的测度，它推广了长度、面积、体积等直观概念。勒贝格可测集构成一个σ-代数，包含了所有博雷尔集，并且勒贝格测度具有平移不变性和可数可加性。自然的问题是：是否所有的实数集都是勒贝格可测的？也就是说，能否将勒贝格测度定义在所有实数子集构成的σ-代数上，同时保持平移不变性和可数可加性？维塔利在1905年通过构造一个反例，给出了否定的答案。

2. 构造维塔利集的关键思想：等价类与选择公理

我们考虑区间 [0,1] 中的实数，并定义一个等价关系：对于 x, y ∈ [0,1]，称 x ∼ y 当且仅当 x - y 是有理数。这个关系将 [0,1] 划分成许多互不相交的等价类。每个等价类实际上是一个可数集，因为对固定的 x，所有形如 x + q（q 为有理数，且结果模1限制在 [0,1] 内）的数构成该类。

根据选择公理，我们可以从每个等价类中恰好选取一个元素，构成一个集合 V ⊆ [0,1]，这个 V 就称为一个维塔利集。选择公理的使用是关键，因为并没有明确的规则来选取这些代表元，因此 V 是一个非构造性的存在。

3. 维塔利集的非可测性证明

我们证明 V 不可能是勒贝格可测的。证明采用反证法，分为以下几步：

步骤1：利用有理平移构造覆盖
令 Q₁ = ℚ ∩ [-1,1]，即绝对值不超过1的有理数集合，它是可数的。对于每个 q ∈ Q₁，定义 V_q = {v + q : v ∈ V}，即 V 平移 q 后模1限制在 [0,1] 内的结果（严格来说，考虑 v+q 的小数部分，使其落在 [0,1] 内，这可以通过取 v+q 模1实现，记作 (v+q) mod 1）。可以证明：

  • 这些平移后的集合 {V_q : q ∈ Q₁} 两两不相交。
  • 它们覆盖了区间 [0,1]。这是因为对任意 x ∈ [0,1]，存在 v ∈ V 使得 v 与 x 属于同一个等价类，即 x - v = q 为某个有理数，且由于 x, v ∈ [0,1]，有 q ∈ [-1,1]，所以 q ∈ Q₁，从而 x ∈ V_q。

步骤2：应用勒贝格测度的可数可加性与平移不变性
假设 V 是勒贝格可测的，记其测度为 m(V)。由于勒贝格测度具有平移不变性，每个 V_q 也是可测的，且 m(V_q) = m(V)。又因为 {V_q} 是可数多个互不相交的可测集，且它们的并包含于 [-1,2] 内（因为平移范围在 [-1,1] 内，原集在 [0,1] 内），由可数可加性有：

\[m\left( \bigcup_{q \in Q_1} V_q \right) = \sum_{q \in Q_1} m(V_q) = \sum_{q \in Q_1} m(V). \]

由于 ⋃ V_q 包含 [0,1]，且被 [-1,2] 包含，我们有：

\[1 = m([0,1]) \le \sum_{q \in Q_1} m(V) \le m([-1,2]) = 3. \]

步骤3：导出矛盾
如果 m(V) = 0，则上式左边求和为0，不可能 ≥1。如果 m(V) > 0，则右边求和是无穷大（因为可数多个相同正数相加），不可能 ≤3。因此，无论 m(V) 是0还是正数，都会产生矛盾。所以 V 不可能是勒贝格可测的。这个结论表明：在承认选择公理的前提下，存在不是勒贝格可测的实数子集。

4. 维塔利集的意义与推广

  1. 测度理论的局限：维塔利集表明，如果要求测度具有平移不变性和可数可加性，那么它不能定义在所有实数子集上。勒贝格测度只能定义在一个较小的σ-代数（勒贝格可测集类）上，这个类虽然包含了所有物理上自然的集合，但从集合论角度看只是实数集的子集。
  2. 选择公理的作用：构造依赖于选择公理。事实上，索洛维模型表明，在没有选择公理的某些数学体系中，所有实数集都可能是勒贝格可测的。因此，非可测集的存在性与选择公理密切相关。
  3. 巴拿赫-塔斯基悖论的联系：维塔利集的思想后来被推广，用于证明著名的巴拿赫-塔斯基悖论（一个球可以通过有限分割与旋转重组成两个相同大小的球），进一步揭示了在 ℝ³ 中如果要求所有子集可测，则旋转不变的可加测度无法存在。

5. 相关概念：可测集的“好”性质

与维塔利集这种病态集合相对，勒贝格可测集具有许多正则性质，例如：

  • 外测度近似：任何勒贝格可测集 E 都可以用开集从外部逼近，用闭集从内部逼近。
  • 密度点性质：由勒贝格密度定理，几乎每个点都是可测集的密度点。
  • 可测函数的逼近：如鲁津定理表明，可测函数可以用连续函数在除去一个小测度集后一致逼近。

维塔利集则完全不具备这些性质，它是典型的反例，用以展示如果放弃可测性会出现的奇怪现象。

总结来说，维塔利集是一个依赖于选择公理构造的实数子集，它揭示了勒贝格测度无法被延拓到所有实数子集上同时保持平移不变与可数可加，是理解可测性概念及其局限性的关键例子。

维塔利集（Vitali Set） 我将详细讲解维塔利集的概念及其在实变函数和测度论中的重要意义。让我们先从基本背景开始。 1. 背景与动机：勒贝格测度与测度扩张问题 在实分析中，勒贝格测度是欧氏空间上一种重要的测度，它推广了长度、面积、体积等直观概念。勒贝格可测集构成一个σ-代数，包含了所有博雷尔集，并且勒贝格测度具有 平移不变性 和 可数可加性 。自然的问题是：是否所有的实数集都是勒贝格可测的？也就是说，能否将勒贝格测度定义在所有实数子集构成的σ-代数上，同时保持平移不变性和可数可加性？维塔利在1905年通过构造一个反例，给出了否定的答案。 2. 构造维塔利集的关键思想：等价类与选择公理 我们考虑区间 [ 0,1] 中的实数，并定义一个等价关系：对于 x, y ∈ [ 0,1]，称 x ∼ y 当且仅当 x - y 是有理数。这个关系将 [ 0,1] 划分成许多互不相交的等价类。每个等价类实际上是一个可数集，因为对固定的 x，所有形如 x + q（q 为有理数，且结果模1限制在 [ 0,1 ] 内）的数构成该类。 根据 选择公理 ，我们可以从每个等价类中恰好选取一个元素，构成一个集合 V ⊆ [ 0,1]，这个 V 就称为一个 维塔利集 。选择公理的使用是关键，因为并没有明确的规则来选取这些代表元，因此 V 是一个非构造性的存在。 3. 维塔利集的非可测性证明 我们证明 V 不可能是勒贝格可测的。证明采用反证法，分为以下几步： 步骤1：利用有理平移构造覆盖 令 Q₁ = ℚ ∩ [ -1,1]，即绝对值不超过1的有理数集合，它是可数的。对于每个 q ∈ Q₁，定义 V_ q = {v + q : v ∈ V}，即 V 平移 q 后模1限制在 [ 0,1] 内的结果（严格来说，考虑 v+q 的小数部分，使其落在 [ 0,1 ] 内，这可以通过取 v+q 模1实现，记作 (v+q) mod 1）。可以证明： 这些平移后的集合 {V_ q : q ∈ Q₁} 两两不相交。 它们覆盖了区间 [ 0,1]。这是因为对任意 x ∈ [ 0,1]，存在 v ∈ V 使得 v 与 x 属于同一个等价类，即 x - v = q 为某个有理数，且由于 x, v ∈ [ 0,1]，有 q ∈ [ -1,1]，所以 q ∈ Q₁，从而 x ∈ V_ q。 步骤2：应用勒贝格测度的可数可加性与平移不变性 假设 V 是勒贝格可测的，记其测度为 m(V)。由于勒贝格测度具有平移不变性，每个 V_ q 也是可测的，且 m(V_ q) = m(V)。又因为 {V_ q} 是可数多个互不相交的可测集，且它们的并包含于 [ -1,2] 内（因为平移范围在 [ -1,1] 内，原集在 [ 0,1 ] 内），由可数可加性有： \[ m\left( \bigcup_ {q \in Q_ 1} V_ q \right) = \sum_ {q \in Q_ 1} m(V_ q) = \sum_ {q \in Q_ 1} m(V). \] 由于 ⋃ V_ q 包含 [ 0,1]，且被 [ -1,2 ] 包含，我们有： \[ 1 = m([ 0,1]) \le \sum_ {q \in Q_ 1} m(V) \le m([ -1,2 ]) = 3. \] 步骤3：导出矛盾 如果 m(V) = 0，则上式左边求和为0，不可能 ≥1。如果 m(V) > 0，则右边求和是无穷大（因为可数多个相同正数相加），不可能 ≤3。因此，无论 m(V) 是0还是正数，都会产生矛盾。所以 V 不可能是勒贝格可测的。这个结论表明：在承认选择公理的前提下，存在不是勒贝格可测的实数子集。 4. 维塔利集的意义与推广 测度理论的局限 ：维塔利集表明，如果要求测度具有平移不变性和可数可加性，那么它不能定义在所有实数子集上。勒贝格测度只能定义在一个较小的σ-代数（勒贝格可测集类）上，这个类虽然包含了所有物理上自然的集合，但从集合论角度看只是实数集的子集。 选择公理的作用 ：构造依赖于选择公理。事实上，索洛维模型表明，在没有选择公理的某些数学体系中，所有实数集都可能是勒贝格可测的。因此，非可测集的存在性与选择公理密切相关。 巴拿赫-塔斯基悖论的联系 ：维塔利集的思想后来被推广，用于证明著名的巴拿赫-塔斯基悖论（一个球可以通过有限分割与旋转重组成两个相同大小的球），进一步揭示了在 ℝ³ 中如果要求所有子集可测，则旋转不变的可加测度无法存在。 5. 相关概念：可测集的“好”性质 与维塔利集这种病态集合相对，勒贝格可测集具有许多正则性质，例如： 外测度近似 ：任何勒贝格可测集 E 都可以用开集从外部逼近，用闭集从内部逼近。 密度点性质 ：由勒贝格密度定理，几乎每个点都是可测集的密度点。 可测函数的逼近 ：如鲁津定理表明，可测函数可以用连续函数在除去一个小测度集后一致逼近。 维塔利集则完全不具备这些性质，它是典型的反例，用以展示如果放弃可测性会出现的奇怪现象。 总结来说， 维塔利集 是一个依赖于选择公理构造的实数子集，它揭示了勒贝格测度无法被延拓到所有实数子集上同时保持平移不变与可数可加，是理解可测性概念及其局限性的关键例子。