量子力学中的S矩阵
好的，我们先回顾一下量子力学中散射过程的核心目标：实验上，我们常常向一个靶目标（比如一个势场、一个原子核）发射一束粒子，然后在远离相互作用区域的探测器上观察出射粒子的方向、能量和概率。理论的任务是，给定相互作用的哈密顿量，计算出这些可观测的测量结果。
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散射问题的直观图像与渐近态
我们考虑一个非相对论性量子粒子（如电子）被一个局域势场 \(V(\mathbf{r})\) 散射。其哈密顿量为 \(H = H_0 + V\)，其中 \(H_0 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}\) 是自由粒子动能算符。散射实验的关键假设是：在遥远的过去 \(t \to -\infty\) 和遥远的未来 \(t \to +\infty\)，粒子都远离相互作用区域，其行为近似为自由粒子。这意味着系统的态在 \(t \to \mp\infty\) 时，应当无限趋近于自由哈密顿量 \(H_0\) 的某个本征态 \(|\phi_{\text{in/out}}\rangle\)。我们称 \(|\phi_{\text{in}}\rangle\) 为一个“入态”，代表入射的、尚未被散射的波包；称 \(|\phi_{\text{out}}\rangle\) 为一个“出态”，代表出射的、已经完成散射的波包。这些态被称为“渐近态”。 -
Møller波算符与散射态
然而，系统的真实演化由完整哈密顿量 \(H\) 决定。是否存在一个真实的演化态 \(|\psi^+\rangle\)，它在 \(t \to -\infty\) 时看起来就像自由态 \(|\phi_{\text{in}}\rangle\) 呢？反之，是否存在一个 \(|\psi^-\rangle\)，它在 \(t \to +\infty\) 时看起来就像自由态 \(|\phi_{\text{out}}\rangle\) 呢？数学上，这由Møller波算符 来精确描述（这个词条您已学过）。波算符 \(\Omega^{(\pm)}\) 建立了渐近自由态与完整演化态之间的映射：
\[ |\psi^+\rangle = \Omega^{(+)} |\phi_{\text{in}}\rangle, \quad |\psi^-\rangle = \Omega^{(-)} |\phi_{\text{out}}\rangle。 \]
它们的定义是 \(\Omega^{(\pm)} = \lim_{t \to \mp\infty} e^{iHt} e^{-iH_0 t}\)（在强算子拓扑意义下）。态 \(|\psi^{(\pm)}\rangle\) 被称为完整的“散射态”，它们满足 Lippmann-Schwinger 方程（也已学过）。
- S矩阵的定义与物理意义
现在，核心问题来了：如果我在 \(t \to -\infty\) 时准备了一个入射态 \(|\phi_{\text{in}}\rangle\)，那么我在 \(t \to +\infty\) 时观测到某个出射态 \(|\phi_{\text{out}}\rangle\) 的概率幅是多少？这个过程连接了无穷远过去和无穷远未来：
\[ \langle \phi_{\text{out}} | \psi^+ \rangle = \langle \phi_{\text{out}} | \Omega^{(+)} | \phi_{\text{in}} \rangle。 \]
但我们也可以从另一端思考：出射态 \(|\phi_{\text{out}}\rangle\) 对应的完整演化态是 \(|\psi^-\rangle\)。那么，从 \(|\phi_{\text{in}}\rangle\) 到 \(|\phi_{\text{out}}\rangle\) 的概率幅，等价于完整散射态 \(|\psi^+\rangle\) 与 \(|\psi^-\rangle\) 的内积：
\[ \langle \phi_{\text{out}} | \Omega^{(+)} | \phi_{\text{in}} \rangle = \langle \psi^- | \psi^+ \rangle = \langle \phi_{\text{out}} | \Omega^{(-)\dagger} \Omega^{(+)} | \phi_{\text{in}} \rangle。 \]
这个连接渐近入态和渐近出态的核心算符，就定义为 **S矩阵（散射矩阵）**：
\[ S := \Omega^{(-)\dagger} \Omega^{(+)}。 \]
其矩阵元 \(S_{fi} = \langle \phi_f | S | \phi_i \rangle\) 的物理意义是：从确定的初始渐近态 \(|\phi_i\rangle\) 跃迁到确定的最终渐近态 \(|\phi_f\rangle\) 的概率幅。实验中测量的微分截面，直接与 \(|S_{fi}|^2\) 成正比（需考虑态密度的因子）。
- S矩阵的基本性质
S矩阵具有几个关键数学性质，这些性质源于其定义和物理要求：
- 幺正性：在势散射等幺正演化的系统中，如果波算符是等距同构（即渐近完备性成立），则 \(S^\dagger S = S S^\dagger = I\)。这直接反映了概率守恒：从某个初始态出发，跃迁到所有可能的末态的总概率为1。
- 能量守恒：如果相互作用不含时，哈密顿量 \(H\) 与 \(H_0\) 都与时间演化生成元对易，则可以证明 \(S\) 与 \(H_0\) 对易：\([S, H_0] = 0\)。这意味着 \(S_{fi}\) 只在 \(|\phi_i\rangle\) 和 \(|\phi_f\rangle\) 能量相等时才可能非零。在动量表象中，这体现为一个delta函数 \(\delta(E_f - E_i)\)。
- 与T算符的关系：通常将S矩阵写为 \(S = I - 2\pi i T\)，其中 \(I\) 对应“没有发生散射”的过程（粒子径直穿过而未偏转），而 \(T\) 称为跃迁矩阵 或 T矩阵。T矩阵包含了所有非平凡散射的信息，它与前面学过的Lippmann-Schwinger方程 密切相关，其矩阵元 \(T_{fi} = \langle \phi_f | V | \psi_i^+ \rangle\)。这样，散射振幅就与T矩阵元直接联系。
- S矩阵在动量表象中的形式与分波法
对于中心势场 \(V(r)\)，角动量是守恒量。在动量表象和球坐标下，入射态可以取为具有确定能量 \(E\) 和角动量量子数 \((l, m)\) 的自由球面波。由于旋转对称性，S矩阵在对角化，其矩阵元可写为：
\[ S_{l}(E) = e^{2i\delta_l(E)}。 \]
这里的 \(\delta_l(E)\) 就是著名的相移。这个极其简洁的表达式是S矩阵幺正性（表现为模为1的复数）的直接结果。S矩阵的物理信息完全编码在相移 \(\delta_l(E)\) 中。散射截面可以通过对所有分波 \(l\) 求和 \(\sum_l (2l+1) \sin^2\delta_l(E)\) 来计算。这是处理散射问题的强大解析工具。
总结：S矩阵是量子散射理论的核心数学对象，它将散射过程的渐近输入与渐近输出通过一个幺正算符联系起来。它源于Møller波算符的构造，其矩阵元直接给出可观测的跃迁概率幅，并在对称性下简化为相移，是连接微观相互作用与宏观测量数据的根本桥梁。