复变函数的共形不变量 我先明确这个词条的含义。共形不变量是指在共形映射下保持不变的几何或分析量。在复变函数中，共形映射是保持角度和定向的解析函数，那么哪些量在这些变换下不变呢？我将分步骤讲解。 第一步：从共形映射的几何性质引入不变量概念 共形映射 \( f: D \to \mathbb{C} \) 是解析且导数非零的函数，它局部保持角度和形状的相似性（伸缩和旋转）。但全局形状可能改变，例如圆盘可以映射到半平面。 问题：是否存在某种“量”，在共形映射前后是相同的？ 首先想到的是 交角 ：两条曲线在交点处的夹角大小和方向在共形映射下不变，但这是“角度”本身的属性，不是一个数值不变量。我们需要更精细的度量。 第二步：双曲度量作为典型的共形不变量 在单位圆盘 \(\mathbb{D} = \{ |z| < 1 \}\) 上，定义 双曲度量 （庞加莱度量）的线元素为 \[ ds = \frac{2|dz|}{1-|z|^2}. \] 对任意共形映射 \( f: \mathbb{D} \to \mathbb{D} \)，它保持这个度量形式不变，即 \( ds \) 在 \( f \) 下的拉回与原度量相同。这意味着两点间的双曲距离是共形不变量。 更一般地，对任意单连通区域 \( \Omega \neq \mathbb{C} \)，可通过黎曼映射定理将 \( \Omega \) 共形映射到 \( \mathbb{D} \)，然后把 \( \mathbb{D} \) 上的双曲度量拉到 \( \Omega \) 上，得到的双曲距离在 \( \Omega \) 的共形自同构下不变。 第三步：极值长度与模的共形不变性 另一个重要不变量是 极值长度 。给定区域 \( \Omega \) 内的曲线族 \( \Gamma \)，其极值长度定义为 \[ \operatorname{Ext}(\Gamma) = \sup_ {\rho} \frac{\left( \inf_ {\gamma \in \Gamma} \int_ \gamma \rho\, |dz| \right)^2}{\iint_ \Omega \rho^2 \, dx\,dy}, \] 其中 \( \rho \) 是非负的可测密度函数。关键定理：极值长度在共形映射下不变。 这导出一个应用： 四边形的模 。将四边形（带标记边对的 Jordan 域）共形映射到矩形，矩形的高宽比是共形不变量，称为四边形的模。 第四步：调和测度作为共形不变量 设 \( \Omega \) 是边界分段光滑的区域，\( E \subset \partial \Omega \)。调和测度 \( \omega(z, E, \Omega) \) 是 \( \Omega \) 中在边界 \( E \) 上取 1、其余边界取 0 的调和函数。 定理：若 \( f: \Omega \to \Omega' \) 是共形映射，则调和测度保持： \[ \omega(z, E, \Omega) = \omega(f(z), f(E), \Omega'). \] 这体现了边界集合的“大小”在共形映射下的不变性。 第五步：解析容量与几何不变量 对紧集 \( K \subset \mathbb{C} \)，定义 解析容量 \[ \gamma(K) = \sup\{ |f'(\infty)| : f \in H^\infty(\mathbb{C}\setminus K), \|f\| \infty \le 1, f(\infty)=0 \}, \] 其中 \( f'(\infty)=\lim {z\to\infty} z f(z) \)。 解析容量是共形不变量，与集合的“可切除性”相关，在逼近论和位势理论中有用。 第六步：共形不变量在变形理论中的应用 例如，在 泰希米勒理论 中，考虑黎曼曲面的共形类，通过研究与参考结构的极值拟共形映射，定义泰希米勒度量，其中的距离由共形结构的差异通过二次微分的不变量描述。这涉及模空间上的不变量。 总结 ：共形不变量包括双曲距离、极值长度（模）、调和测度、解析容量等，它们在共形映射下保持不变，是研究几何函数论、拟共形映射和黎曼曲面的关键工具。