平行曲面的法曲率与主曲率关系

字数 2947 2025-12-05 11:16:47

平行曲面的法曲率与主曲率关系

平行曲面是通过将原曲面沿法向量方向平移固定距离而得到的新曲面。设原曲面为 \(S\)，其单位法向量场为 \(\mathbf{n}\)，则距离为 \(d\) 的平行曲面 \(S_d\) 可表示为：

\[\mathbf{r}_d(u,v) = \mathbf{r}(u,v) + d \cdot \mathbf{n}(u,v), \]

其中 \(\mathbf{r}(u,v)\) 是 \(S\) 的参数化。以下逐步分析平行曲面的法曲率与主曲率如何关联。

步骤1：回顾原曲面的基本几何量

原曲面 \(S\) 的第一基本形式系数为 \(E, F, G\)，第二基本形式系数为 \(L, M, N\)。
法曲率 \(\kappa_n\) 满足：

\[ \kappa_n = \frac{L \, du^2 + 2M \, du dv + N \, dv^2}{E \, du^2 + 2F \, du dv + G \, dv^2}. \]

主曲率 \(\kappa_1, \kappa_2\) 是法曲率的极值，满足特征方程：

\[ (EG - F^2) \kappa^2 - (EN - 2FM + GL) \kappa + (LN - M^2) = 0. \]

高斯曲率 \(K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}\)，平均曲率 \(H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)}\).

步骤2：推导平行曲面的基本形式

对 \(\mathbf{r}_d\) 求偏导：

\[ \mathbf{r}_{d,u} = \mathbf{r}_u + d \cdot \mathbf{n}_u, \quad \mathbf{r}_{d,v} = \mathbf{r}_v + d \cdot \mathbf{n}_v. \]

根据韦恩加滕公式（Weingarten equations）：

\[ \mathbf{n}_u = -\frac{L \mathbf{r}_u + M \mathbf{r}_v}{EG - F^2}, \quad \mathbf{n}_v = -\frac{M \mathbf{r}_u + N \mathbf{r}_v}{EG - F^2}. \]

代入后得第一基本形式系数 \(E_d, F_d, G_d\)：

\[ E_d = \mathbf{r}_{d,u} \cdot \mathbf{r}_{d,u} = E - 2dL + d^2 \left( \frac{L^2 + M^2}{EG - F^2} \right), \]

\[ F_d = \mathbf{r}_{d,u} \cdot \mathbf{r}_{d,v} = F - 2dM + d^2 \left( \frac{LM + MN}{EG - F^2} \right), \]

\[ G_d = \mathbf{r}_{d,v} \cdot \mathbf{r}_{d,v} = G - 2dN + d^2 \left( \frac{M^2 + N^2}{EG - F^2} \right). \]

第二基本形式系数 \(L_d, M_d, N_d\) 可通过计算 \(\mathbf{r}_{d,uu} \cdot \mathbf{n}_d\) 等得到，其中 \(\mathbf{n}_d = \mathbf{n}\)（法向量方向不变）。最终：

\[ L_d = L - d \left( \frac{L^2 + M^2}{EG - F^2} \right), \quad M_d = M - d \left( \frac{LM + MN}{EG - F^2} \right), \quad N_d = N - d \left( \frac{M^2 + N^2}{EG - F^2} \right). \]

步骤3：建立法曲率的显式关系

平行曲面的法曲率 \(\kappa_n^{(d)}\) 满足：

\[ \kappa_n^{(d)} = \frac{L_d \, du^2 + 2M_d \, du dv + N_d \, dv^2}{E_d \, du^2 + 2F_d \, du dv + G_d \, dv^2}. \]

将 \(E_d, L_d\) 等表达式代入，并利用原曲面法曲率 \(\kappa_n = \frac{L \, du^2 + 2M \, du dv + N \, dv^2}{E \, du^2 + 2F \, du dv + G \, dv^2}\)，可得：

\[ \kappa_n^{(d)} = \frac{\kappa_n - d \kappa_n^2}{1 - 2d \kappa_n + d^2 K}, \]

其中 \(K\) 是原曲面的高斯曲率。此关系表明平行曲面的法曲率仅依赖于原曲面在同一点同方向的法曲率和高斯曲率。

步骤4：推导主曲率的传递公式

在原曲面的主方向（即 \(du:dv\) 对应主曲率 \(\kappa_1, \kappa_2\)）上，法曲率 \(\kappa_n\) 取极值。由于平行曲面与原曲面共享相同的主方向（法向量平移不改变切平面方向），主曲率 \(\kappa_1^{(d)}, \kappa_2^{(d)}\) 可直接由步骤3的公式计算：

\[ \kappa_i^{(d)} = \frac{\kappa_i - d \kappa_i^2}{1 - 2d \kappa_i + d^2 \kappa_1 \kappa_2}, \quad i = 1, 2. \]

该公式显示主曲率的变换是非线性的，但保持了主方向的对应性。

步骤5：分析特殊情形与几何意义

若原曲面为平面（\(\kappa_1 = \kappa_2 = 0\)），则平行曲面仍是平面，主曲率恒为零。
若原曲面为圆柱面（\(\kappa_1 = \frac{1}{R}, \kappa_2 = 0\)），则：

\[ \kappa_1^{(d)} = \frac{1/R - d/R^2}{1 - 2d/R} = \frac{1}{R - d}, \quad \kappa_2^{(d)} = 0. \]

这符合圆柱半径变化 \(R \to R - d\) 的直观。

当 \(d\) 足够大时，分母可能为零，对应平行曲面的奇点（如球面的同心球收缩至一点）。

通过以上步骤，平行曲面的法曲率与主曲率关系被完整揭示，其核心在于法曲率的非线性变换公式，且主方向保持不变。这一结论在曲面偏移、等距曲面构造等几何应用中具有重要作用。

平行曲面的法曲率与主曲率关系平行曲面是通过将原曲面沿法向量方向平移固定距离而得到的新曲面。设原曲面为 \( S \)，其单位法向量场为 \( \mathbf{n} \)，则距离为 \( d \) 的平行曲面 \( S_ d \) 可表示为： \[ \mathbf{r}_ d(u,v) = \mathbf{r}(u,v) + d \cdot \mathbf{n}(u,v), \] 其中 \( \mathbf{r}(u,v) \) 是 \( S \) 的参数化。以下逐步分析平行曲面的法曲率与主曲率如何关联。步骤1：回顾原曲面的基本几何量原曲面 \( S \) 的第一基本形式系数为 \( E, F, G \)，第二基本形式系数为 \( L, M, N \)。法曲率 \( \kappa_ n \) 满足： \[ \kappa_ n = \frac{L \, du^2 + 2M \, du dv + N \, dv^2}{E \, du^2 + 2F \, du dv + G \, dv^2}. \] 主曲率 \( \kappa_ 1, \kappa_ 2 \) 是法曲率的极值，满足特征方程： \[ (EG - F^2) \kappa^2 - (EN - 2FM + GL) \kappa + (LN - M^2) = 0. \] 高斯曲率 \( K = \kappa_ 1 \kappa_ 2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \)，平均曲率 \( H = \frac{\kappa_ 1 + \kappa_ 2}{2} = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)} \). 步骤2：推导平行曲面的基本形式对 \( \mathbf{r} d \) 求偏导： \[ \mathbf{r} {d,u} = \mathbf{r}_ u + d \cdot \mathbf{n} u, \quad \mathbf{r} {d,v} = \mathbf{r}_ v + d \cdot \mathbf{n}_ v. \] 根据韦恩加滕公式（Weingarten equations）： \[ \mathbf{n}_ u = -\frac{L \mathbf{r}_ u + M \mathbf{r}_ v}{EG - F^2}, \quad \mathbf{n}_ v = -\frac{M \mathbf{r}_ u + N \mathbf{r}_ v}{EG - F^2}. \] 代入后得第一基本形式系数 \( E_ d, F_ d, G_ d \)： \[ E_ d = \mathbf{r} {d,u} \cdot \mathbf{r} {d,u} = E - 2dL + d^2 \left( \frac{L^2 + M^2}{EG - F^2} \right), \] \[ F_ d = \mathbf{r} {d,u} \cdot \mathbf{r} {d,v} = F - 2dM + d^2 \left( \frac{LM + MN}{EG - F^2} \right), \] \[ G_ d = \mathbf{r} {d,v} \cdot \mathbf{r} {d,v} = G - 2dN + d^2 \left( \frac{M^2 + N^2}{EG - F^2} \right). \] 第二基本形式系数 \( L_ d, M_ d, N_ d \) 可通过计算 \( \mathbf{r}_ {d,uu} \cdot \mathbf{n}_ d \) 等得到，其中 \( \mathbf{n}_ d = \mathbf{n} \)（法向量方向不变）。最终： \[ L_ d = L - d \left( \frac{L^2 + M^2}{EG - F^2} \right), \quad M_ d = M - d \left( \frac{LM + MN}{EG - F^2} \right), \quad N_ d = N - d \left( \frac{M^2 + N^2}{EG - F^2} \right). \] 步骤3：建立法曲率的显式关系平行曲面的法曲率 \( \kappa_ n^{(d)} \) 满足： \[ \kappa_ n^{(d)} = \frac{L_ d \, du^2 + 2M_ d \, du dv + N_ d \, dv^2}{E_ d \, du^2 + 2F_ d \, du dv + G_ d \, dv^2}. \] 将 \( E_ d, L_ d \) 等表达式代入，并利用原曲面法曲率 \( \kappa_ n = \frac{L \, du^2 + 2M \, du dv + N \, dv^2}{E \, du^2 + 2F \, du dv + G \, dv^2} \)，可得： \[ \kappa_ n^{(d)} = \frac{\kappa_ n - d \kappa_ n^2}{1 - 2d \kappa_ n + d^2 K}, \] 其中 \( K \) 是原曲面的高斯曲率。此关系表明平行曲面的法曲率仅依赖于原曲面在同一点同方向的法曲率和高斯曲率。步骤4：推导主曲率的传递公式在原曲面的主方向（即 \( du:dv \) 对应主曲率 \( \kappa_ 1, \kappa_ 2 \)）上，法曲率 \( \kappa_ n \) 取极值。由于平行曲面与原曲面共享相同的主方向（法向量平移不改变切平面方向），主曲率 \( \kappa_ 1^{(d)}, \kappa_ 2^{(d)} \) 可直接由步骤3的公式计算： \[ \kappa_ i^{(d)} = \frac{\kappa_ i - d \kappa_ i^2}{1 - 2d \kappa_ i + d^2 \kappa_ 1 \kappa_ 2}, \quad i = 1, 2. \] 该公式显示主曲率的变换是非线性的，但保持了主方向的对应性。步骤5：分析特殊情形与几何意义若原曲面为平面（\( \kappa_ 1 = \kappa_ 2 = 0 \)），则平行曲面仍是平面，主曲率恒为零。若原曲面为圆柱面（\( \kappa_ 1 = \frac{1}{R}, \kappa_ 2 = 0 \)），则： \[ \kappa_ 1^{(d)} = \frac{1/R - d/R^2}{1 - 2d/R} = \frac{1}{R - d}, \quad \kappa_ 2^{(d)} = 0. \] 这符合圆柱半径变化 \( R \to R - d \) 的直观。当 \( d \) 足够大时，分母可能为零，对应平行曲面的奇点（如球面的同心球收缩至一点）。通过以上步骤，平行曲面的法曲率与主曲率关系被完整揭示，其核心在于法曲率的非线性变换公式，且主方向保持不变。这一结论在曲面偏移、等距曲面构造等几何应用中具有重要作用。