环的幂等元分解
字数 3319 2025-12-05 10:27:56

环的幂等元分解

我们从一个你熟悉的概念开始：幂等元（已讲过）。在环 \(R\) 中，元素 \(e\) 称为幂等的，如果 \(e^2 = e\)。你已经知道幂等元是环结构中的基本构件之一，可以用来构造投影、分解环与模等。今天，我们聚焦于幂等元的一个重要应用：环的幂等元分解。这指的是如何利用幂等元将环分解为更简单、更基本的部分，从而更清晰地研究环的结构。

第一步：幂等元的基本性质回顾与预备概念

首先明确几个关键点：

  1. 中心幂等元：如果幂等元 \(e\) 与 \(R\) 中所有元素可交换（即 \(er = re\) 对所有 \(r \in R\)），则称 \(e\) 是中心幂等元。中心幂等元特别重要，因为它们生成的理想是环的直和项。
  2. 正交幂等元：两个幂等元 \(e\) 和 \(f\) 称为正交的，如果 \(ef = fe = 0\)。
  3. 本原幂等元：幂等元 \(e\) 称为本原的，如果 \(e\) 不能写成两个非零正交幂等元的和，即不存在非零正交幂等元 \(e_1, e_2\) 使得 \(e = e_1 + e_2\)。这等价于 \(eRe\) 作为环没有非平凡的幂等元（在某种意义上，\(e\) 是“不可分解”的幂等单位）。

这些概念是理解幂等元分解的基础。

第二步：幂等元分解的初步思想——将环写成直和

设 \(e\) 是环 \(R\) 中的一个幂等元。即使 \(e\) 不是中心的，我们也可以考虑左理想 \(Re\) 和右理想 \(eR\)。但当我们有中心幂等元时，分解会变得非常整洁。

定理1：设 \(e\) 是 \(R\) 的一个中心幂等元。则

  • \(e\) 和 \(1-e\) 是正交的中心幂等元。
  • 环 \(R\) 可以分解为两个理想的直和：\(R = Re \oplus R(1-e)\)。
  • 作为环，有同构 \(R \cong Re \times R(1-e)\)，其中 \(Re\) 和 \(R(1-e)\) 都是环（单位元分别是 \(e\) 和 \(1-e\)）。

这个分解是幂等元分解的最简单情形：一个中心幂等元将环分裂成两个“块”。直观上，\(e\) 像一个开关，在环的一部分上作用为1，在另一部分上作用为0。

第三步：完全正交幂等元集与环的分解

为了得到更细的分解，我们引入一组幂等元。

定义：环 \(R\) 中的一组幂等元 \(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) 称为一个完全正交幂等元集，如果满足：

  1. 正交性：当 \(i \ne j\) 时，\(e_i e_j = 0\)。
  2. 完全性：\(e_1 + e_2 + \dots + e_n = 1_R\)（环的单位元）。

如果这些 \(e_i\) 都是中心幂等元，则分解特别简单。

定理2：设 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是 \(R\) 的一个完全正交中心幂等元集。则

  • 每个 \(Re_i\) 是 \(R\) 的理想，并且是环（单位元为 \(e_i\)）。
  • 环 \(R\) 分解为理想的直和：\(R = Re_1 \oplus Re_2 \oplus \dots \oplus Re_n\)。
  • 有环同构：\(R \cong Re_1 \times Re_2 \times \dots \times Re_n\)。

这表示环 \(R\) 可以分解为有限个“块环”的直积。每个块 \(Re_i\) 对应一个中心幂等元。如果进一步要求每个 \(e_i\) 是本原的，那么块 \(Re_i\) 是“不可分解”的，即它不能进一步分解为两个非零理想的直和（作为环）。这是环结构理论中块分解的基石。

第四步：非中心幂等元与模的分解

当幂等元不是中心时，环本身不一定能分解为理想的直和，但我们可以分解模（特别是正则模 \(_R R\)）。

定理3：设 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是 \(R\) 的一个完全正交幂等元集（不一定中心）。则

  • 左正则模 \(_R R\) 分解为左理想的直和：\(_R R = Re_1 \oplus Re_2 \oplus \dots \oplus Re_n\)。
  • 每个 \(Re_i\) 是 \(R\) 的投射左模。
  • 如果这些 \(e_i\) 还是本原的，那么每个 \(Re_i\) 是不可分解左模（即不能写成两个非零子模的直和）。

这个分解是模论中研究环结构的重要工具，例如在Artin代数表示论中，利用完全正交本原幂等元集可以得到主不可分解模，进而分析模的范畴。

第五步：幂等元分解的存在性与唯一性

自然的问题是：何时存在这样的分解？

  • 对于中心幂等元分解，如果环 \(R\) 是连通环（即0和1是仅有的中心幂等元），则不存在非平凡的中心幂等元分解。否则，可以不断分解，直到得到连通分支的直积。特别地，对于半单Artin环，由Wedderburn-Artin定理，它可以分解为有限个单环的直积，这对应一组中心本原幂等元。
  • 对于非中心幂等元分解，许多环（如半完全环、有限维代数）总存在完全正交本原幂等元集，但可能不唯一。然而，这些集合在某种意义下是等价的（即它们给出的主不可分解模的直和分解是同构的，顺序可能不同）。

第六步：例子与直观理解

考虑环 \(R = M_n(F)\)，即域 \(F\) 上的 \(n \times n\) 矩阵环。

  • 令 \(e_i\) 为第 \(i\) 个对角元为1、其余为0的对角矩阵。则 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是完全正交幂等元集，但不是中心的（因为当 \(n>1\) 时，\(e_i\) 不与所有矩阵可交换）。
  • 左理想 \(Re_i\) 是所有第 \(i\) 列任意、其他列为零的矩阵集合，同构于 \(F^n\)（列向量空间）。确实，\(_R R = Re_1 \oplus \dots \oplus Re_n\) 是 \(n\) 个不可分解左模的直和。
  • 这个环的中心只有数量矩阵，所以中心幂等元只有0和1，因此没有非平凡的中心幂等元分解。这反映了 \(M_n(F)\) 作为环是单环（没有非平凡理想）。

另一个例子：环 \(R = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)。这里有中心幂等元 \(e = 3\)（因为 \(3^2 = 3 \mod 6\)），且 \(1-e = 4\) 也是幂等的。我们有 \(R = R\cdot 3 \oplus R\cdot 4\)，同构于 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\)。这是中国剩余定理的体现。

第七步：应用与推广

幂等元分解是环与模论中的基本工具：

  • 在表示论中，完全正交本原幂等元集对应于不可分解投射模，从而联系到范畴的局部化与导出范畴。
  • 在代数几何中，环的直积分解对应仿射概形的不连通分支；中心幂等元对应开闭子集。
  • 在泛代数与逻辑中，幂等元分解与直积分解相关，用于研究代数结构的分类。

更一般地，幂等元分解可以推广到范畴中：加法范畴中的幂等元分裂引理（idempotent splitting）是经典幂等元分解的范畴化，它是研究三角范畴与稳定范畴的基础。

总结：环的幂等元分解是利用幂等元（特别是中心幂等元）将环分解为理想的直和（从而环的直积），或利用非中心幂等元将正则模分解为不可分解子模的直和。这种分解揭示了环的“块状”结构，是理解环的整体性质、模的表示以及相关几何对象的基石。

环的幂等元分解 我们从一个你熟悉的概念开始： 幂等元 （已讲过）。在环 \( R \) 中，元素 \( e \) 称为幂等的，如果 \( e^2 = e \)。你已经知道幂等元是环结构中的基本构件之一，可以用来构造投影、分解环与模等。今天，我们聚焦于幂等元的一个重要应用： 环的幂等元分解 。这指的是如何利用幂等元将环分解为更简单、更基本的部分，从而更清晰地研究环的结构。 第一步： 幂等元的基本性质回顾与预备概念 首先明确几个关键点： 中心幂等元 ：如果幂等元 \( e \) 与 \( R \) 中所有元素可交换（即 \( er = re \) 对所有 \( r \in R \)），则称 \( e \) 是中心幂等元。中心幂等元特别重要，因为它们生成的理想是环的直和项。 正交幂等元 ：两个幂等元 \( e \) 和 \( f \) 称为正交的，如果 \( ef = fe = 0 \)。 本原幂等元 ：幂等元 \( e \) 称为本原的，如果 \( e \) 不能写成两个非零正交幂等元的和，即不存在非零正交幂等元 \( e_ 1, e_ 2 \) 使得 \( e = e_ 1 + e_ 2 \)。这等价于 \( eRe \) 作为环没有非平凡的幂等元（在某种意义上，\( e \) 是“不可分解”的幂等单位）。 这些概念是理解幂等元分解的基础。 第二步： 幂等元分解的初步思想——将环写成直和 设 \( e \) 是环 \( R \) 中的一个幂等元。即使 \( e \) 不是中心的，我们也可以考虑左理想 \( Re \) 和右理想 \( eR \)。但当我们有中心幂等元时，分解会变得非常整洁。 定理1 ：设 \( e \) 是 \( R \) 的一个中心幂等元。则 \( e \) 和 \( 1-e \) 是正交的中心幂等元。 环 \( R \) 可以分解为两个理想的直和：\( R = Re \oplus R(1-e) \)。 作为环，有同构 \( R \cong Re \times R(1-e) \)，其中 \( Re \) 和 \( R(1-e) \) 都是环（单位元分别是 \( e \) 和 \( 1-e \)）。 这个分解是幂等元分解的最简单情形：一个中心幂等元将环分裂成两个“块”。直观上，\( e \) 像一个开关，在环的一部分上作用为1，在另一部分上作用为0。 第三步： 完全正交幂等元集与环的分解 为了得到更细的分解，我们引入一组幂等元。 定义 ：环 \( R \) 中的一组幂等元 \( \{e_ 1, e_ 2, \dots, e_ n\} \) 称为一个完全正交幂等元集，如果满足： 正交性：当 \( i \ne j \) 时，\( e_ i e_ j = 0 \)。 完全性：\( e_ 1 + e_ 2 + \dots + e_ n = 1_ R \)（环的单位元）。 如果这些 \( e_ i \) 都是中心幂等元，则分解特别简单。 定理2 ：设 \( \{e_ 1, \dots, e_ n\} \) 是 \( R \) 的一个完全正交中心幂等元集。则 每个 \( Re_ i \) 是 \( R \) 的理想，并且是环（单位元为 \( e_ i \)）。 环 \( R \) 分解为理想的直和：\( R = Re_ 1 \oplus Re_ 2 \oplus \dots \oplus Re_ n \)。 有环同构：\( R \cong Re_ 1 \times Re_ 2 \times \dots \times Re_ n \)。 这表示环 \( R \) 可以分解为有限个“块环”的直积。每个块 \( Re_ i \) 对应一个中心幂等元。如果进一步要求每个 \( e_ i \) 是本原的，那么块 \( Re_ i \) 是“不可分解”的，即它不能进一步分解为两个非零理想的直和（作为环）。这是环结构理论中块分解的基石。 第四步： 非中心幂等元与模的分解 当幂等元不是中心时，环本身不一定能分解为理想的直和，但我们可以分解模（特别是正则模 \( _ R R \)）。 定理3 ：设 \( \{e_ 1, \dots, e_ n\} \) 是 \( R \) 的一个完全正交幂等元集（不一定中心）。则 左正则模 \( _ R R \) 分解为左理想的直和：\( _ R R = Re_ 1 \oplus Re_ 2 \oplus \dots \oplus Re_ n \)。 每个 \( Re_ i \) 是 \( R \) 的投射左模。 如果这些 \( e_ i \) 还是本原的，那么每个 \( Re_ i \) 是 不可分解 左模（即不能写成两个非零子模的直和）。 这个分解是 模论 中研究环结构的重要工具，例如在Artin代数表示论中，利用完全正交本原幂等元集可以得到 主不可分解模 ，进而分析模的范畴。 第五步： 幂等元分解的存在性与唯一性 自然的问题是：何时存在这样的分解？ 对于 中心幂等元分解 ，如果环 \( R \) 是连通环（即0和1是仅有的中心幂等元），则不存在非平凡的中心幂等元分解。否则，可以不断分解，直到得到连通分支的直积。特别地，对于半单Artin环，由Wedderburn-Artin定理，它可以分解为有限个单环的直积，这对应一组中心本原幂等元。 对于 非中心幂等元分解 ，许多环（如半完全环、有限维代数）总存在完全正交本原幂等元集，但可能不唯一。然而，这些集合在某种意义下是等价的（即它们给出的主不可分解模的直和分解是同构的，顺序可能不同）。 第六步： 例子与直观理解 考虑环 \( R = M_ n(F) \)，即域 \( F \) 上的 \( n \times n \) 矩阵环。 令 \( e_ i \) 为第 \( i \) 个对角元为1、其余为0的对角矩阵。则 \( \{e_ 1, \dots, e_ n\} \) 是完全正交幂等元集，但 不是中心的 （因为当 \( n>1 \) 时，\( e_ i \) 不与所有矩阵可交换）。 左理想 \( Re_ i \) 是所有第 \( i \) 列任意、其他列为零的矩阵集合，同构于 \( F^n \)（列向量空间）。确实，\( _ R R = Re_ 1 \oplus \dots \oplus Re_ n \) 是 \( n \) 个不可分解左模的直和。 这个环的中心只有数量矩阵，所以中心幂等元只有0和1，因此 没有非平凡的中心幂等元分解 。这反映了 \( M_ n(F) \) 作为环是单环（没有非平凡理想）。 另一个例子：环 \( R = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \)。这里有中心幂等元 \( e = 3 \)（因为 \( 3^2 = 3 \mod 6 \)），且 \( 1-e = 4 \) 也是幂等的。我们有 \( R = R\cdot 3 \oplus R\cdot 4 \)，同构于 \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \)。这是中国剩余定理的体现。 第七步： 应用与推广 幂等元分解是环与模论中的基本工具： 在 表示论 中，完全正交本原幂等元集对应于不可分解投射模，从而联系到范畴的局部化与导出范畴。 在 代数几何 中，环的直积分解对应仿射概形的不连通分支；中心幂等元对应开闭子集。 在 泛代数 与 逻辑 中，幂等元分解与直积分解相关，用于研究代数结构的分类。 更一般地，幂等元分解可以推广到 范畴 中：加法范畴中的幂等元分裂引理（idempotent splitting）是经典幂等元分解的范畴化，它是研究三角范畴与稳定范畴的基础。 总结： 环的幂等元分解 是利用幂等元（特别是中心幂等元）将环分解为理想的直和（从而环的直积），或利用非中心幂等元将正则模分解为不可分解子模的直和。这种分解揭示了环的“块状”结构，是理解环的整体性质、模的表示以及相关几何对象的基石。