数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续二十二）
字数 3270 2025-12-05 09:50:00

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续二十二）

本次讲解将深入探讨哈密顿-雅可比方程在可积系统中的应用，特别是如何通过求解该方程来构造作用量-角变量，从而实现对系统动力学的全局分析。

第一步：回顾可积系统的基本概念

  1. 定义：一个具有 \(n\) 个自由度的哈密顿系统 \(H(\mathbf{q}, \mathbf{p})\) 被称为完全可积（刘维尔可积），如果存在 \(n\) 个相互对合（即泊松括号为零）的独立首次积分 \(I_1(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = H, I_2, \dots, I_n\)。
  2. 意义：可积性意味着系统的运动被限制在相空间中的一个 \(n\) 维环面上，运动是拟周期的。我们的目标是找到一组坐标变换，使得在新坐标下，运动方程变得极其简单。

第二步：作用量-角变量的引入动机

  1. 问题：在通常的坐标 \((\mathbf{q}, \mathbf{p})\) 下，即使系统可积，运动方程也可能复杂。我们希望找到一组新变量 \((\mathbf{J}, \mathbf{\theta})\)，其中：
  • \(\mathbf{J}\) 是作用量变量，它们是常数（运动积分）。
  • \(\mathbf{\theta}\) 是角变量，它们随时间线性变化： \(\dot{\mathbf{\theta}} = \mathbf{\omega} = \text{常数}\)。
  1. 目标：通过哈密顿-雅可比理论，我们可以系统地构造出这样的变量。

第三步：通过哈密顿-雅可比方程求解可积系统

  1. 假设解的形式：对于可积系统，我们假设哈密顿-雅可比方程的全积分 \(S\) 具有可分离形式：

\[ S(q_1, \dots, q_n; I_1, \dots, I_n, t) = W_1(q_1; I_1, \dots, I_n) + \dots + W_n(q_n; I_1, \dots, I_n) - Et \]

其中 \(I_1, \dots, I_n\) 是常数（通常取为 \(n\) 个独立的运动积分）。这里的 \(W\) 称为特征函数，它不显含时间。
2. 方程简化：将上述形式代入哈密顿-雅可比方程 \(H(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0\)。由于时间部分 \(-Et\) 单独分离，方程变为：

\[ H\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial W}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial W}{\partial q_n}\right) = E(I_1, \dots, I_n) \]

其中 \(E\) 是哈密顿量，也是 \(I_k\) 的函数。由于系统可积，这个偏微分方程可以通过分离变量法求解出各个 \(W_k(q_k; I_1, \dots, I_n)\)。
3. 定义作用量变量：作用量变量 \(J_k\) 通过沿环面上一个基本周期的环路积分来定义：

\[ J_k = \oint_{C_k} \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = \oint_{C_k} \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}} \cdot d\mathbf{q} \]

其中 \(C_k\) 是环面上的第 \(k\) 个基本循环。在实际计算中，这通常简化为对每个分离变量 \(q_k\) 的周期积分：

\[ J_k = \oint p_k \, dq_k = \oint \frac{\partial W_k}{\partial q_k} \, dq_k \]

\(J_k\) 是常数，它们完全由运动积分 \(I_k\) 决定。我们可以反解出 \(I_k\) 作为 \(J_k\) 的函数。
4. 变换后的哈密顿量：在新的作用量-角变量 \((J, \theta)\) 下，哈密顿量只依赖于作用量变量： \(K = H(J_1, \dots, J_n)\)。
5. 运动方程：哈密顿方程变为极其简单的形式：

\[ \dot{J_k} = -\frac{\partial K}{\partial \theta_k} = 0, \quad \dot{\theta_k} = \frac{\partial K}{\partial J_k} = \omega_k(J) \]

其中 \(\omega_k\) 是常数。因此，角变量随时间线性变化： \(\theta_k(t) = \omega_k t + \theta_k(0)\)。

第四步：一个经典示例——一维谐振子

  1. 哈密顿量： \(H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\)。
  2. 哈密顿-雅可比方程： \(\frac{1}{2m} \left( \frac{\partial W}{\partial q} \right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 = E\)。
  3. 求解特征函数： \(\frac{\partial W}{\partial q} = \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2}\)，所以 \(W(q, E) = \int \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} \, dq\)。
  4. 计算作用量变量：运动是周期的，周期为 \(2\pi/\omega\)。作用量变量 \(J\) 为：

\[ J = \oint p \, dq = \oint \frac{\partial W}{\partial q} \, dq = 2 \int_{-q_{\text{max}}}^{q_{\text{max}}} \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} \, dq \]

其中 \(q_{\text{max}} = \sqrt{2E/(m\omega^2)}\)。计算这个积分可得 \(J = \frac{2\pi E}{\omega}\)。
5. 变换哈密顿量：反解出 \(E = H = \frac{\omega J}{2\pi}\)。在新的变量下，哈密顿量为 \(K(J) = \frac{\omega J}{2\pi}\)。
6. 运动方程： \(\dot{J} = 0\)， \(\dot{\theta} = \frac{\partial K}{\partial J} = \frac{\omega}{2\pi}\)。因此，\(\theta(t) = \frac{\omega}{2\pi} t + \theta(0)\)，这正对应了谐振子的周期运动。

第五步：意义与推广

  1. 全局视角：作用量-角变量的引入提供了对可积系统动力学的一种全局的、几何的描述。它揭示了相空间中的环面结构。
  2. 扰动理论的基础：对于近可积系统，作用量-角变量是经典扰动理论（如冯·泽贝格定理、KAM理论）的出发点。
  3. 量子化：在旧量子论中，作用量变量 \(J\) 的量子化条件 \(J = nh\) 是玻尔-索末菲量子化规则的基础。
  4. 限制：此方法严重依赖于系统的可积性。对于不可积系统（混沌系统），全局的作用量-角变量不存在，哈密顿-雅可比方程可能没有光滑的全积分。
数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续二十二） 本次讲解将深入探讨 哈密顿-雅可比方程在可积系统中的应用 ，特别是如何通过求解该方程来构造作用量-角变量，从而实现对系统动力学的全局分析。 第一步：回顾可积系统的基本概念 定义 ：一个具有 \( n \) 个自由度的哈密顿系统 \( H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \) 被称为 完全可积 （刘维尔可积），如果存在 \( n \) 个相互对合（即泊松括号为零）的独立首次积分 \( I_ 1(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = H, I_ 2, \dots, I_ n \)。 意义 ：可积性意味着系统的运动被限制在相空间中的一个 \( n \) 维环面上，运动是拟周期的。我们的目标是找到一组坐标变换，使得在新坐标下，运动方程变得极其简单。 第二步：作用量-角变量的引入动机 问题 ：在通常的坐标 \( (\mathbf{q}, \mathbf{p}) \) 下，即使系统可积，运动方程也可能复杂。我们希望找到一组新变量 \( (\mathbf{J}, \mathbf{\theta}) \)，其中： \( \mathbf{J} \) 是 作用量变量 ，它们是常数（运动积分）。 \( \mathbf{\theta} \) 是 角变量 ，它们随时间线性变化： \( \dot{\mathbf{\theta}} = \mathbf{\omega} = \text{常数} \)。 目标 ：通过哈密顿-雅可比理论，我们可以系统地构造出这样的变量。 第三步：通过哈密顿-雅可比方程求解可积系统 假设解的形式 ：对于可积系统，我们假设哈密顿-雅可比方程的全积分 \( S \) 具有 可分离形式 ： \[ S(q_ 1, \dots, q_ n; I_ 1, \dots, I_ n, t) = W_ 1(q_ 1; I_ 1, \dots, I_ n) + \dots + W_ n(q_ n; I_ 1, \dots, I_ n) - Et \] 其中 \( I_ 1, \dots, I_ n \) 是常数（通常取为 \( n \) 个独立的运动积分）。这里的 \( W \) 称为 特征函数 ，它不显含时间。 方程简化 ：将上述形式代入哈密顿-雅可比方程 \( H(q_ 1, \dots, q_ n, \frac{\partial S}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_ n}) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \)。由于时间部分 \( -Et \) 单独分离，方程变为： \[ H\left(q_ 1, \dots, q_ n, \frac{\partial W}{\partial q_ 1}, \dots, \frac{\partial W}{\partial q_ n}\right) = E(I_ 1, \dots, I_ n) \] 其中 \( E \) 是哈密顿量，也是 \( I_ k \) 的函数。由于系统可积，这个偏微分方程可以通过分离变量法求解出各个 \( W_ k(q_ k; I_ 1, \dots, I_ n) \)。 定义作用量变量 ：作用量变量 \( J_ k \) 通过沿环面上一个基本周期的环路积分来定义： \[ J_ k = \oint_ {C_ k} \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = \oint_ {C_ k} \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}} \cdot d\mathbf{q} \] 其中 \( C_ k \) 是环面上的第 \( k \) 个基本循环。在实际计算中，这通常简化为对每个分离变量 \( q_ k \) 的周期积分： \[ J_ k = \oint p_ k \, dq_ k = \oint \frac{\partial W_ k}{\partial q_ k} \, dq_ k \] \( J_ k \) 是常数，它们完全由运动积分 \( I_ k \) 决定。我们可以反解出 \( I_ k \) 作为 \( J_ k \) 的函数。 变换后的哈密顿量 ：在新的作用量-角变量 \( (J, \theta) \) 下，哈密顿量只依赖于作用量变量： \( K = H(J_ 1, \dots, J_ n) \)。 运动方程 ：哈密顿方程变为极其简单的形式： \[ \dot{J_ k} = -\frac{\partial K}{\partial \theta_ k} = 0, \quad \dot{\theta_ k} = \frac{\partial K}{\partial J_ k} = \omega_ k(J) \] 其中 \( \omega_ k \) 是常数。因此，角变量随时间线性变化： \( \theta_ k(t) = \omega_ k t + \theta_ k(0) \)。 第四步：一个经典示例——一维谐振子 哈密顿量 ： \( H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 \)。 哈密顿-雅可比方程 ： \( \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial W}{\partial q} \right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 = E \)。 求解特征函数 ： \( \frac{\partial W}{\partial q} = \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} \)，所以 \( W(q, E) = \int \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} \, dq \)。 计算作用量变量 ：运动是周期的，周期为 \( 2\pi/\omega \)。作用量变量 \( J \) 为： \[ J = \oint p \, dq = \oint \frac{\partial W}{\partial q} \, dq = 2 \int_ {-q_ {\text{max}}}^{q_ {\text{max}}} \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} \, dq \] 其中 \( q_ {\text{max}} = \sqrt{2E/(m\omega^2)} \)。计算这个积分可得 \( J = \frac{2\pi E}{\omega} \)。 变换哈密顿量 ：反解出 \( E = H = \frac{\omega J}{2\pi} \)。在新的变量下，哈密顿量为 \( K(J) = \frac{\omega J}{2\pi} \)。 运动方程 ： \( \dot{J} = 0 \)， \( \dot{\theta} = \frac{\partial K}{\partial J} = \frac{\omega}{2\pi} \)。因此，\( \theta(t) = \frac{\omega}{2\pi} t + \theta(0) \)，这正对应了谐振子的周期运动。 第五步：意义与推广 全局视角 ：作用量-角变量的引入提供了对可积系统动力学的一种 全局的、几何的描述 。它揭示了相空间中的环面结构。 扰动理论的基础 ：对于近可积系统，作用量-角变量是 经典扰动理论 （如冯·泽贝格定理、KAM理论）的出发点。 量子化 ：在旧量子论中，作用量变量 \( J \) 的量子化条件 \( J = nh \) 是玻尔-索末菲量子化规则的基础。 限制 ：此方法严重依赖于系统的可积性。对于不可积系统（混沌系统），全局的作用量-角变量不存在，哈密顿-雅可比方程可能没有光滑的全积分。