遍历理论中的非一致双曲系统的绝对连续稳定叶状结构的刚性 非一致双曲系统的绝对连续稳定叶状结构的刚性，是指在某些动力系统中，稳定叶状结构（沿稳定方向分布的叶层）在测度意义下具有绝对连续性，且这种性质在系统的微小扰动下保持稳定。以下逐步展开这一概念： 1. 稳定叶状结构的基本定义 对于动力系统 \( T: M \to M \)（\( M \) 为光滑流形），若其满足非一致双曲条件（即李雅普诺夫指数几乎处处非零但可能随时间或位置变化），则可通过奥塞列德定理将切空间分解为稳定子空间 \( E^s(x) \) 和不稳定子空间 \( E^u(x) \)。 稳定叶状结构 \( W^s \) 是 tangent 于 \( E^s(x) \) 的积分流形族，满足 \( T(W^s(x)) \subset W^s(T(x)) \) 且点 \( y \in W^s(x) \) 时，\( d(T^n(x), T^n(y)) \to 0 \)（当 \( n \to +\infty \)）。 2. 绝对连续性的含义 叶状结构称为 绝对连续 ，若其沿叶片的横截映射（将局部横截子上的测度拉回）是绝对连续函数（即零测集的原像仍为零测集）。 具体地，若 \( \mu \) 是 \( M \) 上的不变测度（如 SRB 测度），则对任意横截子 \( \Sigma_ 1, \Sigma_ 2 \)，由稳定叶片定义的 holonomy 映射 \( h: \Sigma_ 1 \to \Sigma_ 2 \) 满足：\( \mu_ {\Sigma_ 1} \ll \mu_ {\Sigma_ 2} \circ h \)（即横截测度相互绝对连续）。 3. 刚性现象的表现 在非一致双曲系统中，绝对连续稳定叶状结构的刚性体现为： 结构稳定性 ：若系统 \( T \) 被 \( C^1 \) 小幅扰动为 \( \tilde{T} \)，则新系统的稳定叶状结构仍绝对连续，且 holonomy 映射的绝对连续性保持不变。 测度刚性 ：若两个系统具有相同的李雅普诺夫指数谱和绝对连续稳定叶状结构，则它们可能通过共轭映射相联系（如奥恩斯坦同构定理的推广）。 4. 技术核心：佩辛理论与横截分析 非一致双曲系统的绝对连续性证明依赖 佩辛均匀性 （Pesin’s uniformity）：尽管双曲性非一致，但通过细化时间尺度，可选取子集 where 双曲性近似均匀，从而应用一致双曲理论中的绝对连续性结果（如安诺索夫系统）。 横截映射的导数控制 ：利用李雅普诺夫指数的可积性，证明 holonomy 映射的 Jacobian 有对数可积控制，从而通过庞加莱回归将绝对连续性传递至全空间。 5. 与刚性的相互作用 绝对连续稳定叶状结构的刚性直接关联到系统的 分类问题 ：例如，在部分双曲系统中，若稳定叶状结构绝对连续且刚性成立，则系统的遍历性质（如混合性）可能被唯一确定。 此类刚性还用于研究 光滑共轭的分类 ：若两个系统具有相同的绝对连续稳定叶状结构，且其李雅普诺夫指数匹配，则它们可能光滑共轭（需额外条件如叶状结构的 \( C^1 \) 光滑性）。 6. 应用与推广 该刚性在 光滑遍历理论 中用于构造非一致双曲系统的模型（如奈马克-沙什科夫系统）。 近期研究将绝对连续叶状结构的刚性扩展至 随机动力系统 ，其中噪声可能增强叶状结构的正则性，从而强化刚性。 通过以上步骤，非一致双曲系统中绝对连续稳定叶状结构的刚性，揭示了动力系统在微小扰动下的结构稳定性与分类问题的深层联系。