分析学词条：阿达马三圆定理
今天我们讲解阿达马三圆定理。这是一个在复分析，特别是关于解析函数的增长性研究中非常重要的结果。它以法国数学家雅克·阿达马的名字命名，描述了在同心圆环上解析的函数，其最大模的对数在圆环半径上是对数凸函数。这个定理简洁而深刻，是连通复数理论、解析函数论和不等式理论的优美桥梁。
1. 预备知识与背景
在深入定理之前，我们需要理解几个基本概念。
- 最大模： 对于一个定义在复平面区域 \(D\) 上的函数 \(f\)，它在集合 \(E \subset D\) 上的最大模定义为：
\[ M_f(E) = \sup_{z \in E} |f(z)|. \]
如果 \(f\) 是连续的，并且 \(E\) 是紧集（例如闭圆盘），那么这个上确界实际上就是最大值，我们记 \(M_f(E) = \max_{z \in E} |f(z)|\)。
- 圆环区域： 在复平面上，中心在点 \(a\)，半径分别为 \(r\) 和 \(R\) (\(0 < r < R\)) 的圆环区域定义为：
\[ A(a; r, R) = \{ z \in \mathbb{C} : r < |z-a| < R \}. \]
我们今天主要考虑中心在原点 \(a=0\) 的圆环。
- 对数凸函数： 这是凸函数在对数尺度下的推广。一个定义在区间 \(I \subset (0, \infty)\) 上的正函数 \(g(t)\) 被称为对数凸函数，如果函数 \(t \mapsto \log g(t)\) 是凸函数。这意味着对于任意 \(t_1, t_2 \in I\) 和任意 \(\lambda \in [0, 1]\)，有：
\[ g(t_1^{1-\lambda} t_2^{\lambda}) \le g(t_1)^{1-\lambda} g(t_2)^{\lambda}. \]
更常见地，如果我们将自变量视为 \(\log t\)，这个条件等价于说函数 \(x \mapsto \log g(e^x)\) 是通常意义上的凸函数。
目标： 阿达马三圆定理将要证明，对于一个在圆环上解析的函数，其在三个给定同心圆（半径为 \(r_1, r, r_2\)，且 \(r_1 < r < r_2\)）上的最大模满足一个不等式，这个不等式恰好就是对数凸性。这告诉我们函数的最大模不能增长得太“快”或太“慢”，其对数增长是受约束的、平滑的。
2. 定理的精确表述
现在，我们来正式陈述阿达马三圆定理。
定理（阿达马三圆定理）： 设 \(f\) 是定义在圆环区域 \(A(0; R_1, R_2) = \{ z \in \mathbb{C} : R_1 < |z| < R_2 \}\) 上的解析函数，其中 \(0 \le R_1 < R_2 \le \infty\)。对于任意满足 \(R_1 < r_1 < r < r_2 < R_2\) 的三个实数，定义函数 \(f\) 在半径为 \(r\) 的圆周 \(C_r = \{ z : |z| = r \}\) 上的最大模为：
\[M(r) = \max_{|z|=r} |f(z)|. \]
那么，函数 \(M(r)\) 是 \(\log r\) 的凸函数。换句话说，对于任意 \(r_1, r_2\) 和 \(r = r_1^{1-\theta} r_2^{\theta}\)（其中 \(0 \le \theta \le 1\)），我们有：
\[M(r) \le M(r_1)^{1-\theta} M(r_2)^{\theta}. \]
或者等价地，取对数后：
\[\log M(r) \le (1-\theta) \log M(r_1) + \theta \log M(r_2). \]
3. 定理的证明思路与关键步骤
这个定理的证明非常精巧，核心思想是构造一个辅助函数，利用最大模原理。
第一步：问题简化
我们考虑一个更一般但等价的形式。设 \(r_1 < r < r_2\)，我们要证明：
\[\log M(r) \le \frac{\log r_2 - \log r}{\log r_2 - \log r_1} \log M(r_1) + \frac{\log r - \log r_1}{\log r_2 - \log r_1} \log M(r_2). \]
注意到 \(\frac{\log r_2 - \log r}{\log r_2 - \log r_1} = 1-\theta\)，且 \(\frac{\log r - \log r_1}{\log r_2 - \log r_1} = \theta\)。所以这个线性插值公式正是凸性的表达式。
第二步：构造辅助函数
证明的关键是考虑函数：
\[F(z) = z^{\alpha} f(z). \]
其中 \(\alpha\) 是一个待定的实数。这个技巧很巧妙：虽然 \(z^{\alpha}\) 在复平面上通常是多值的，但在一个固定的单连通区域（比如一个去掉原点的角域）上，我们可以取它的一个单值解析分支。不过，更严谨且通用的做法是考虑 \(|z|^{\alpha}\)，但这会破坏解析性。阿达马的绝妙想法是利用 \(z^{\alpha}\) 的模，构造一个在整个圆环上调和（从而是实解析的）的函数。
实际上，我们构造：
\[g(z) = |f(z)| \cdot |z|^{\alpha}. \]
由于 \(|z|^{\alpha} = e^{\alpha \log |z|}\)，而 \(\log |z|\) 是调和的（除了原点），所以 \(|z|^{\alpha}\) 是正调和函数。但为了应用最大模原理，我们需要处理的是整个函数 \(f(z)\) 而不是其模。因此，我们转而考虑函数：
\[G(z) = f(z) z^{\alpha}. \]
这里 \(\alpha\) 是复数，但为了后续目的，我们通常取 \(\alpha\) 为纯虚数，即 \(\alpha = i\beta\)，其中 \(\beta \in \mathbb{R}\)。因为这样 \(z^{i\beta} = e^{i\beta \log z}\) 的模是 \(1\)（如果我们固定 \(\log z\) 的虚部在某一个 \(2\pi\) 区间内），这避免了多值性带来的边界值问题。更一般的证明中，我们取 \(\alpha = a + ib\)，然后通过调整实部 \(a\) 来优化不等式。
第三步：应用最大模原理（简化版思路）
一个经典且简洁的证明如下：
- 考虑函数 \(h(z) = f(z) z^{\lambda}\)，其中 \(\lambda\) 是一个实数。函数 \(h(z)\) 在整个圆环上解析。
- 在圆周 \(|z|=r_1\) 和 \(|z|=r_2\) 上，有 \(|h(z)| = |f(z)| \cdot r^{\lambda} = M(r) \cdot r^{\lambda}\)。
- 对 \(h(z)\) 在闭圆环 \(r_1 \le |z| \le r_2\) 上应用最大模原理。最大值必然在 \(|z|=r_1\) 或 \(|z|=r_2\) 上达到。因此，对于圆环内部的任意点 \(z\)，特别地，对于所有满足 \(|z|=r\) 的点，有：
\[ |f(z)| r^{\lambda} = |h(z)| \le \max \{ M(r_1) r_1^{\lambda}, \; M(r_2) r_2^{\lambda} \}. \]
- 由于这对所有 \(|z|=r\) 都成立，所以对最大模也成立：
\[ M(r) r^{\lambda} \le \max \{ M(r_1) r_1^{\lambda}, \; M(r_2) r_2^{\lambda} \}. \]
- 这个不等式对任意实数 \(\lambda\) 都成立。为了得到最好的估计（即让右边两个竞争项平衡），我们选择 \(\lambda\) 使得 \(M(r_1) r_1^{\lambda} = M(r_2) r_2^{\lambda}\)。解这个方程：
\[ \frac{M(r_1)}{M(r_2)} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{\lambda} \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{\log M(r_1) - \log M(r_2)}{\log r_2 - \log r_1}. \]
- 将这个特殊的 \(\lambda\) 代入第4步的不等式，我们得到：
\[ M(r) r^{\lambda} \le M(r_1) r_1^{\lambda}. \]
- 两边取对数，并将 \(\lambda\) 的表达式代入：
\[ \log M(r) + \lambda \log r \le \log M(r_1) + \lambda \log r_1. \]
整理后得到：
\[ \log M(r) \le \log M(r_1) + \lambda (\log r_1 - \log r) = \log M(r_1) + \frac{\log M(r_1) - \log M(r_2)}{\log r_2 - \log r_1} (\log r_1 - \log r). \]
- 将右边重新组合成关于 \(\log r_1\) 和 \(\log r_2\) 的线性组合形式，经过代数运算，最终得到：
\[ \log M(r) \le \frac{\log r_2 - \log r}{\log r_2 - \log r_1} \log M(r_1) + \frac{\log r - \log r_1}{\log r_2 - \log r_1} \log M(r_2). \]
这正是我们想要的凸性不等式。
4. 定理的推论与解释
阿达马三圆定理有几个直接而有意义的推论：
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增长性的约束： 定理表明，解析函数的最大模对数 \(\log M(r)\) 作为 \(\log r\) 的函数，其图像总是位于连接点 \((\log r_1, \log M(r_1))\) 和 \((\log r_2, \log M(r_2))\) 的线段之下（或者说，函数的图像是凸的，所以线段在图像上方）。这意味着函数的最大模不能“突然”增长或衰减。如果它在内外半径上分别有某种增长阶，那么在内半径之间，其增长阶是被内外半径的信息所“插值”控制的。
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与刘维尔定理的联系： 假设一个整函数（在全平面解析）是有界的，那么 \(M(r)\) 是常数。根据三圆定理，\(\log M(r)\) 是 \(\log r\) 的凸函数。一个常数函数自然是凸的，但更重要的是，如果函数有界，比如 \(|f(z)| \le C\)，那么 \(M(r) \le C\) 对所有 \(r\) 成立。阿达马三圆定理为研究整函数的阶、型等精细增长性提供了基本工具，而刘维尔定理（有界整函数必为常数）可以看作是其中一个极端特例。
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对数凸性的等价形式： 定理的结论常被写作另一种形式。令 \(r_1 = R_1\)， \(r = r\)， \(r_2 = R_2\)， 并设：
\[ \theta = \frac{\log (r/R_1)}{\log (R_2/R_1)}. \]
则定理断言：
\[ M(r) \le M(R_1)^{1-\theta} M(R_2)^{\theta}. \]
这个形式不涉及对数，更直接地表达了最大模的几何平均受控性。
5. 应用示例
考虑一个具体的例子：函数 \(f(z) = z^n\)， 其中 \(n\) 是整数。这是一个最简单的整函数。
- 在半径为 \(r\) 的圆周上，其最大模为 \(M_f(r) = r^n\)。
- 取对数：\(\log M_f(r) = n \log r\)。
- 函数 \(h(t) = \log M_f(e^t) = n t\) 是 \(t = \log r\) 的线性函数。线性函数显然是凸函数。所以对于这个幂函数，阿达马三圆定理的不等式实际上取到了等号：
\[ M(r) = M(r_1)^{1-\theta} M(r_2)^{\theta} = (r_1^n)^{1-\theta} (r_2^n)^{\theta} = r_1^{n(1-\theta)} r_2^{n\theta} = (r_1^{1-\theta} r_2^{\theta})^n = r^n. \]
这里用到了 \(r = r_1^{1-\theta} r_2^{\theta}\)。
这个例子说明，对于单项式（以及更一般的整函数，其最大模主要由主项 \(r^{\rho}\) 主导时），阿达马不等式是紧的（可以达到等号）。对于更复杂的函数，不等式通常是严格的，它给出了一个上界。
6. 推广与相关理论
阿达马三圆定理是更广泛的调和测度和次调和函数理论中的一个特例和典范。
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推广到次调和函数： 对于一个在区域 \(D\) 内次调和的函数 \(u(z)\)，函数 \(M_u(r) = \sup_{|z|=r} u(z)\) 是 \(\log r\) 的凸函数。由于 \(\log |f(z)|\) 对于解析函数 \(f\) 是次调和函数（当 \(f(z) \neq 0\)），阿达马三圆定理是这个更一般结果的一个直接推论。这揭示了定理的本质：它反映的是次调和函数在圆环上的均值性质。
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阿达马三直线定理： 这是一个紧密相关的著名定理，适用于带状区域。它断言：如果函数 \(F(z)\) 在垂直带状区域 \(a < \operatorname{Re}(z) < b\) 上有界连续，在内点解析，并且在边界上有界，那么函数 \(M(x) = \sup_{y \in \mathbb{R}} |F(x+iy)|\) 是 \(x\) 的凸函数。这是三圆定理在通过指数映射 \(z \mapsto e^{z}\) 下的对应物。三直线定理是证明里斯插值定理等泛函分析核心结论的关键工具。
总结：
阿达马三圆定理通过一个简洁的不等式，深刻揭示了在同心圆环上解析的函数，其最大模增长的内在规律——对数凸性。它不仅是复分析中的一个优美结果，更是研究函数增长性、证明更复杂不等式（如PHRAGMÉN–LINDELÖF 原理）以及联系调和函数理论的重要基石。其证明中构造辅助函数并利用最大模原理的想法，是分析学中极具启发性的经典方法。\(\boxed{\text{阿达马三圆定理：解析函数最大模的对数是圆环半径对数的凸函数。}}\)