极坐标下的旋轮线（摆线） 我将为您讲解极坐标下的旋轮线（摆线）。旋轮线是几何学中一个有趣且重要的曲线，它在极坐标下的表示和性质值得我们深入探讨。 第一步：旋轮线的基本定义与直角坐标表示 旋轮线（又称摆线）是指一个圆在一条直线上纯滚动时，圆上一定点所描绘的轨迹。设滚动圆的半径为 \(a\)，定点初始位置在原点。当圆滚动角度 \(t\)（弧度）时，圆心的坐标为 \((at, a)\)。此时，定点相对于圆心的位置向量为 \((-a\sin t, -a\cos t)\)（考虑几何关系）。因此，旋轮线的直角坐标参数方程为： \[ x = a(t - \sin t), \quad y = a(1 - \cos t) \] 其中 \(t\) 是滚动角参数，\(t \in \mathbb{R}\)。当 \(t\) 从 \(0\) 增加到 \(2\pi\) 时，曲线完成一个拱形周期。 第二步：从直角坐标到极坐标的转换原理 极坐标用极径 \(\rho\) 和极角 \(\theta\) 表示点的位置，与直角坐标的关系为： \[ \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \quad (x \neq 0) \] 将旋轮线的直角坐标方程代入，可得： \[ \rho(t) = a\sqrt{(t - \sin t)^2 + (1 - \cos t)^2}, \quad \theta(t) = \arctan\left(\frac{1 - \cos t}{t - \sin t}\right) \] 这里，\(t\) 仍是参数，但 \(\rho\) 和 \(\theta\) 都是 \(t\) 的函数。极坐标方程通常指 \(\rho\) 直接表示为 \(\theta\) 的函数，但旋轮线的这种关系隐式且复杂，因此常用参数形式表示。 第三步：旋轮线在极坐标下的参数方程分析 通过简化 \(\rho(t)\) 和 \(\theta(t)\)： 利用三角恒等式：\((1 - \cos t) = 2\sin^2(t/2)\)，\((t - \sin t)\) 无简单化简。 因此： \[ \rho(t) = a\sqrt{(t - \sin t)^2 + 4\sin^4(t/2)}, \quad \theta(t) = \arctan\left(\frac{2\sin^2(t/2)}{t - \sin t}\right) \] 极角 \(\theta\) 的取值范围取决于 \(t\)。例如，当 \(t \in (0, 2\pi)\) 时，\(\theta \in (0, \pi)\)（因为 \(y > 0\) 且 \(x\) 从 \(0\) 增至 \(2\pi a\)）。曲线在极坐标下呈螺旋状，但每个周期闭合。 第四步：旋轮线的几何性质在极坐标下的体现 弧长 ：旋轮线的弧长微分在极坐标为 \(ds = \sqrt{\rho^2 + (d\rho/d\theta)^2} d\theta\)，但直接由参数 \(t\) 计算更简便。直角坐标下弧长微分为 \(ds = a\sqrt{2 - 2\cos t} dt = 2a|\sin(t/2)| dt\)，一个拱形（\(t \in [ 0, 2\pi ]\)）的弧长为 \(8a\)。 曲率 ：曲率公式在极坐标为 \(\kappa = \frac{\rho^2 + 2(d\rho/d\theta)^2 - \rho(d^2\rho/d\theta^2)}{\left[ \rho^2 + (d\rho/d\theta)^2\right ]^{3/2}}\)，但计算繁琐。利用参数方程求曲率更直接：\(\kappa(t) = -\frac{1}{4a|\sin(t/2)|}\)（负号表示凹向下方）。 周期性 ：极坐标下，\(\rho(t)\) 和 \(\theta(t)\) 以 \(2\pi\) 为周期（但 \(\theta\) 每周期增加 \(2\pi\)，曲线重复）。 第五步：旋轮线的应用与扩展 旋轮线在物理和工程中有重要应用，如： 最速降线问题 ：旋轮线是质点仅在重力作用下从一点到另一点时间最短的路径。 齿轮设计 ：旋轮线齿廓能减少摩擦和磨损。 在极坐标下，旋轮线的参数形式有助于分析其对称性和动力学行为，例如在旋转场中的运动轨迹。 通过以上步骤，您可以看到旋轮线从定义到极坐标表示的完整过程，以及其几何性质如何在不同坐标系下体现。