数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十九）
步骤一：回顾变分原理与哈密顿-雅可比方程的基本联系
在之前的讨论中，我们已建立变分原理与哈密顿-雅可比理论的核心关联：
- 哈密顿作用量 \(S(q, t)\) 描述系统从初始位形到当前状态的最小作用路径，满足：
\[ S(q, t) = \int_{t_0}^{t} L(q, \dot{q}, \tau) \, d\tau, \]
其中 \(L\) 为拉格朗日量，且积分沿真实运动路径进行。
- 哈密顿-雅可比方程 是作用量 \(S\) 满足的偏微分方程：
\[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0, \]
这里 \(H\) 为哈密顿量，\(\frac{\partial S}{\partial q} = p\) 为广义动量。
此方程将系统的动力学转化为一个一阶非线性偏微分方程，其解（即作用量函数）隐含了所有可能运动轨迹的几何信息。
步骤二：作用量函数的生成函数性质与正则变换
哈密顿-雅可比方程的解 \(S(q, t)\) 可视为一种生成函数，用于构造正则变换：
- 考虑从旧变量 \((q, p)\) 到新变量 \((Q, P)\) 的变换，若生成函数为 \(S(q, P, t)\)，则变换规则为：
\[ p = \frac{\partial S}{\partial q}, \quad Q = \frac{\partial S}{\partial P}, \quad K = H + \frac{\partial S}{\partial t}, \]
其中 \(K\) 为新哈密顿量。
- 特别地，若选择 \(S\) 使得新哈密顿量 \(K = 0\)，则新变量 \((Q, P)\) 为常数（运动积分）。此时，生成函数 \(S\) 正是哈密顿-雅可比方程的完全解，即 \(S(q, \alpha, t)\)，其中 \(\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)\) 为积分常数（对应于新动量 \(P\)）。
这一性质表明，求解哈密顿-雅可比方程等价于将系统变换至“静止”坐标系，从而直接得到运动轨迹 \(q(t)\) 和 \(p(t)\) 由隐式方程：
\[\frac{\partial S}{\partial \alpha} = \beta, \quad \frac{\partial S}{\partial q} = p, \]
其中 \(\beta\) 为另一组积分常数。
步骤三：雅可比定理与运动轨迹的构造
雅可比定理是哈密顿-雅可比理论的核心结论，它严格证明：
- 若 \(S(q, \alpha, t)\) 是哈密顿-雅可比方程的完全解（即依赖 \(n\) 个独立常数 \(\alpha\)），则通过方程：
\[ \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} = \beta_i \quad (i=1, \dots, n) \]
解出的 \(q(t)\) 和由 \(p = \frac{\partial S}{\partial q}\) 确定的 \(p(t)\)，正好是哈密顿方程的通解。
推导要点：
- 对 \(\frac{\partial S}{\partial \alpha_i} = \beta_i\) 求时间全导数：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} \right) = \frac{\partial^2 S}{\partial \alpha_i \partial t} + \sum_j \frac{\partial^2 S}{\partial \alpha_i \partial q_j} \dot{q}_j = 0. \]
- 利用哈密顿-雅可比方程 \(\frac{\partial S}{\partial t} = -H(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t)\)，代入得：
\[ \frac{\partial}{\partial \alpha_i} \left( -H + \sum_j \frac{\partial S}{\partial q_j} \dot{q}_j \right) = 0. \]
- 由 \(p_j = \frac{\partial S}{\partial q_j}\) 和哈密顿方程 \(\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}\)，可验证括号内项为零，从而保证了解的一致性。
步骤四：几何光学类比与特征理论
哈密顿-雅可比方程与几何光学中的程函方程具有深刻类比：
- 在光学中，光程函数 \(\phi(x)\) 满足 \(|\nabla \phi| = n(x)\)（折射率方程），其等值面 \(\phi = \text{const}\) 为波前，特征线即光线路径。
- 在力学中，作用量 \(S\) 的等值面 \(S = \text{const}\) 称为等作用量面，其特征线正好是相空间中的运动轨迹。
这一类比可通过特征线法严格化：
- 将哈密顿-雅可比方程视为一阶偏微分方程，其特征方程由以下方程组给出（称为哈密顿特征方程组）：
\[ \frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \quad \frac{dS}{dt} = L. \]
前两组正是哈密顿方程，第三式表明沿特征线的作用量变化率为拉格朗日量。
- 因此，求解偏微分方程的问题转化为积分常微分方程组（即求运动轨迹），再通过初始条件确定作用量 \(S\)。
步骤五：可分离系统与作用量-角变量
当哈密顿量显含时间时，通常需用完全解 \(S(q, \alpha, t)\)。但对于保守系统（\(H\) 不显含 \(t\)），可分离变量：
- 设 \(S(q, t) = W(q) - Et\)，代入哈密顿-雅可比方程得：
\[ H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E, \]
称为约化哈密顿-雅可比方程，其中 \(W\) 为哈密顿特征函数。
- 若进一步存在循环坐标（如角变量），则 \(W\) 可分解为 \(\sum_i W_i(q_i)\)，每个 \(W_i\) 满足：
\[ H_i\left(q_i, \frac{dW_i}{dq_i}; \alpha_1, \dots, \alpha_n\right) = \alpha_i, \]
其中 \(\alpha_i\) 为分离常数。
在周期系统中，作用量变量 \(J_i = \oint p_i \, dq_i\) 为常数，而角变量 \(\theta_i = \frac{\partial W}{\partial J_i}\) 线性增长： \(\theta_i = \omega_i t + \text{const}\)。这一框架为刘维尔可积系统的量化提供了基础。
步骤六：与量子力学的联系
哈密顿-雅可比理论是经典力学向量子力学过渡的桥梁：
- 薛定谔方程 \(i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V\psi\) 在短波极限（\(\hbar \to 0\)）下，通过代入 \(\psi = A e^{iS/\hbar}\) 并取主导项，可恢复哈密顿-雅可比方程。
- 玻恩-索末菲量子化条件 \(\oint p \, dq = nh\) 正是作用量变量 \(J\) 的离散化，体现了经典作用量与量子相位的关联。
这一联系表明，哈密顿-雅可比方程不仅描述经典轨迹，还隐含了波动的相位结构，为路径积分量子化提供了自然框架。