图的符号控制与符号控制数
字数 3354 2025-12-05 07:29:09

图的符号控制与符号控制数

好的，我们开始学习一个新的图论概念：图的符号控制与符号控制数。这个概念属于图论中的“支配理论”范畴，但它引入了一个有趣的“符号” twist。

第1步：从经典支配集到符号支配函数

首先，我们来回顾一个你已经知道的基础概念：支配集。

  • 支配集：对于一个图 \(G = (V, E)\)，一个顶点子集 \(D \subseteq V\) 被称为一个支配集，如果对于每一个不在 \(D\) 中的顶点 \(u\)（即 \(u \in V \setminus D\)），都存在一个在 \(D\) 中的顶点 \(v\)（即 \(v \in D\)），使得 \(u\) 和 \(v\) 是相邻的。简单来说，就是 \(D\) 中的顶点能够“支配”或“覆盖”图中所有的顶点。

  • 新思路：符号支配：符号支配的概念对上述思想进行了推广。它不再要求一个顶点子集，而是为图中的每个顶点分配一个“权重”或“标签”，这个标签只能是 +1 或 -1。

  • 我们定义一个函数 \(f: V \to \{+1, -1\}\)。

  • 这个函数 \(f\) 需要满足一个条件：对于图 \(G\) 中的每一个顶点 \(v\)，它自身及其所有邻居（即闭邻域 \(N[v]\)）的权重之和至少为 1。

  • 用数学公式表达就是：对于所有 \(v \in V\)，有 \(f(N[v]) = \sum_{u \in N[v]} f(u) \ge 1\)。

这样的函数 \(f\) 就被称为图 \(G\) 的一个符号支配函数。

第2步：理解符号支配函数的含义

为什么这个定义是合理的？让我们通过一个简单的例子来理解。

假设我们有一个顶点 \(v\)。它的闭邻域 \(N[v]\) 包括它自己以及它的所有邻居。符号支配函数要求这个“小社区”的总权重（+1和-1的和）必须至少是1（即正数）。

  • 这可以理解为一种“净影响力”或“净控制力”。一个标为 +1 的顶点提供正的控制力，而一个标为 -1 的顶点则提供负的控制力（或者理解为一种干扰、消耗）。
  • 条件 \(f(N[v]) \ge 1\) 意味着，对于任何一个顶点 \(v\) 所在的局部区域，正的控制力必须压倒负的控制力，并且要有多余的（至少多出1个单位），以确保该区域处于“被控制”状态。
  • 这比经典支配集更灵活。在经典支配集中，一个顶点要么是支配者（贡献为1），要么不是（贡献为0）。而在符号支配中，一个顶点可以是“强支配者”（+1），也可以是“弱干扰者”（-1），只要每个顶点所在的局部区域整体上是被正力所控制的即可。

第3步：定义符号控制数

对于一个给定的符号支配函数 \(f\)，我们可以计算它的权重 \(w(f)\)，即图中所有顶点权重的总和：

\[ w(f) = \sum_{v \in V} f(v) \]

显然，对于一个图来说，可能存在许多种不同的符号支配函数。我们关心的是，能否找到一个“最经济”的符号支配函数，即其总权重最小的那个。

  • 图 \(G\) 的符号控制数，记作 \(\gamma_s(G)\)，就定义为所有可能的符号支配函数的最小权重：

\[ \gamma_s(G) = \min \{ w(f) \ | \ f \text{ 是 } G \text{ 的一个符号支配函数} \} \]

  • 达到这个最小权重的符号支配函数 \(f\)，被称为一个最小符号支配函数。

第4步：一个具体例子——路径图 \(P_3\)

让我们考虑一个包含三个顶点的路径图 \(P_3\)，顶点依次为 \(u, v, w\)，边为 \(u-v\) 和 \(v-w\)。

我们要找到一个函数 \(f: \{u, v, w\} \to \{+1, -1\}\)，使得每个顶点的闭邻域权重和都至少为1。

  1. 检查顶点 \(u\)：它的闭邻域是 \(\{u, v\}\)。所以要求 \(f(u) + f(v) \ge 1\)。
  2. 检查顶点 \(v\)：它的闭邻域是 \(\{u, v, w\}\)。所以要求 \(f(u) + f(v) + f(w) \ge 1\)。
  3. 检查顶点 \(w\)：它的闭邻域是 \(\{v, w\}\)。所以要求 \(f(v) + f(w) \ge 1\)。

我们来尝试几种赋值：

  • 尝试1：全部赋值为 +1。即 \(f(u)=+1, f(v)=+1, f(w)=+1\)。

  • \(f(N[u]) = 1+1=2 \ge 1\)

  • \(f(N[v]) = 1+1+1=3 \ge 1\)

  • \(f(N[w]) = 1+1=2 \ge 1\)

  • 这是一个符号支配函数，其权重 \(w(f) = 1+1+1 = 3\)。

  • 尝试2：能否让某个顶点为 -1 来减少总权重？假设我们设 \(f(v) = -1\)。

  • 那么，为了满足顶点 \(u\) 的条件 \(f(u) + (-1) \ge 1\)，我们必须有 \(f(u) = +1\)。

  • 同样，为了满足顶点 \(w\) 的条件 \((-1) + f(w) \ge 1\)，我们必须有 \(f(w) = +1\)。

  • 现在检查顶点 \(v\)：\(f(N[v]) = f(u) + f(v) + f(w) = 1 + (-1) + 1 = 1 \ge 1\)，满足条件。

  • 所以，\(f(u)=+1, f(v)=-1, f(w)=+1\) 也是一个符号支配函数，其权重 \(w(f) = 1 + (-1) + 1 = 1\)。

    • 这个权重（1）比第一次尝试的权重（3）要小。

  • 尝试3：能否得到更小的权重，比如0或负数？假设权重为0，意味着+1和-1的数量必须相等，但图有3个顶点，不可能相等。唯一可能的总权重是1（两个+1，一个-1）或3（三个+1）。我们刚刚已经找到了权重为1的方案。可以验证，无法找到权重小于1的有效方案（例如，如果两个顶点是-1，那么中间顶点v的闭邻域权重和可能为负）。

因此，对于路径图 \(P_3\)，其符号控制数 \(\gamma_s(P_3) = 1\)。

第5步：符号控制数的性质与研究问题

  • 与经典控制数的关系：对于任意图 \(G\)，其符号控制数 \(\gamma_s(G)\) 和经典控制数 \(\gamma(G)\) 之间存在关系。通常，\(\gamma_s(G) \le \gamma(G)\)。这是因为任何一个最小支配集 \(D\) 都可以诱导出一个符号支配函数：将 \(D\) 中的顶点赋值为 +1，其余赋值为 -1。可以验证，对于任意顶点 \(v\)，因为 \(D\) 是支配集，\(v\) 的邻域中至少有一个 +1，再加上 \(v\) 自己的赋值（可能是 -1 或 +1），其闭邻域和至少为 \(1 + (-1) = 0\) 或更多。为了确保和至少为1，可能需要微调，但通常能证明存在更优的符号支配函数。在我们的 \(P_3\) 例子中，经典控制数 \(\gamma(P_3) = 1\)（中间顶点v即可支配全部），而符号控制数也是1，但支配函数不同。

  • 研究问题：图论学者关心的问题包括：

    1. 计算复杂性：对于一般的图，计算其符号控制数是 NP-难的。
    2. 寻找上下界：研究符号控制数关于顶点数、边数、最小度、最大度等图参数的上界和下界。
    3. 确定特殊图类的符号控制数：对于如路径图、圈图、完全图、树、网格图等特殊图类，找出其符号控制数的精确值或表达式。
    4. 与其他控制变体的关系：研究符号控制与其他控制概念（如减权控制、奇控制等）之间的联系和区别。

总结来说，符号控制是经典支配概念的一个自然推广，它通过引入负权重增加了模型的灵活性和表达能力。符号控制数则是衡量实现这种“净控制”所需的最小成本。

图的符号控制与符号控制数 好的，我们开始学习一个新的图论概念： 图的符号控制与符号控制数 。这个概念属于图论中的“支配理论”范畴，但它引入了一个有趣的“符号” twist。 第1步：从经典支配集到符号支配函数 首先，我们来回顾一个你已经知道的基础概念： 支配集 。 支配集 ：对于一个图 \( G = (V, E) \)，一个顶点子集 \( D \subseteq V \) 被称为一个支配集，如果对于每一个不在 \( D \) 中的顶点 \( u \)（即 \( u \in V \setminus D \)），都存在一个在 \( D \) 中的顶点 \( v \)（即 \( v \in D \)），使得 \( u \) 和 \( v \) 是相邻的。简单来说，就是 \( D \) 中的顶点能够“支配”或“覆盖”图中所有的顶点。 新思路：符号支配 ：符号支配的概念对上述思想进行了推广。它不再要求一个顶点子集，而是为图中的每个顶点分配一个“权重”或“标签”，这个标签只能是 +1 或 -1 。 我们定义一个函数 \( f: V \to \{+1, -1\} \)。 这个函数 \( f \) 需要满足一个条件：对于图 \( G \) 中的 每一个 顶点 \( v \)，它自身及其所有邻居（即闭邻域 \( N[ v ] \)）的权重之和至少为 1。 用数学公式表达就是：对于所有 \( v \in V \)，有 \( f(N[ v]) = \sum_ {u \in N[ v ]} f(u) \ge 1 \)。 这样的函数 \( f \) 就被称为图 \( G \) 的一个 符号支配函数 。 第2步：理解符号支配函数的含义 为什么这个定义是合理的？让我们通过一个简单的例子来理解。 假设我们有一个顶点 \( v \)。它的闭邻域 \( N[ v ] \) 包括它自己以及它的所有邻居。符号支配函数要求这个“小社区”的总权重（+1和-1的和）必须至少是1（即正数）。 这可以理解为一种“净影响力”或“净控制力”。一个标为 +1 的顶点提供正的控制力，而一个标为 -1 的顶点则提供负的控制力（或者理解为一种干扰、消耗）。 条件 \( f(N[ v ]) \ge 1 \) 意味着，对于任何一个顶点 \( v \) 所在的局部区域，正的控制力必须压倒负的控制力，并且要有多余的（至少多出1个单位），以确保该区域处于“被控制”状态。 这比经典支配集更灵活。在经典支配集中，一个顶点要么是支配者（贡献为1），要么不是（贡献为0）。而在符号支配中，一个顶点可以是“强支配者”（+1），也可以是“弱干扰者”（-1），只要每个顶点所在的局部区域整体上是被正力所控制的即可。 第3步：定义符号控制数 对于一个给定的符号支配函数 \( f \)，我们可以计算它的 权重 \( w(f) \)，即图中所有顶点权重的总和： \[ w(f) = \sum_ {v \in V} f(v) \] 显然，对于一个图来说，可能存在许多种不同的符号支配函数。我们关心的是，能否找到一个“最经济”的符号支配函数，即其总权重最小的那个。 图 \( G \) 的 符号控制数 ，记作 \( \gamma_ s(G) \)，就定义为所有可能的符号支配函数的最小权重： \[ \gamma_ s(G) = \min \{ w(f) \ | \ f \text{ 是 } G \text{ 的一个符号支配函数} \} \] 达到这个最小权重的符号支配函数 \( f \)，被称为一个 最小符号支配函数 。 第4步：一个具体例子——路径图 \( P_ 3 \) 让我们考虑一个包含三个顶点的路径图 \( P_ 3 \)，顶点依次为 \( u, v, w \)，边为 \( u-v \) 和 \( v-w \)。 我们要找到一个函数 \( f: \{u, v, w\} \to \{+1, -1\} \)，使得每个顶点的闭邻域权重和都至少为1。 检查顶点 \( u \) ：它的闭邻域是 \( \{u, v\} \)。所以要求 \( f(u) + f(v) \ge 1 \)。 检查顶点 \( v \) ：它的闭邻域是 \( \{u, v, w\} \)。所以要求 \( f(u) + f(v) + f(w) \ge 1 \)。 检查顶点 \( w \) ：它的闭邻域是 \( \{v, w\} \)。所以要求 \( f(v) + f(w) \ge 1 \)。 我们来尝试几种赋值： 尝试1 ：全部赋值为 +1。即 \( f(u)=+1, f(v)=+1, f(w)=+1 \)。 \( f(N[ u ]) = 1+1=2 \ge 1 \) \( f(N[ v ]) = 1+1+1=3 \ge 1 \) \( f(N[ w ]) = 1+1=2 \ge 1 \) 这是一个符号支配函数，其权重 \( w(f) = 1+1+1 = 3 \)。 尝试2 ：能否让某个顶点为 -1 来减少总权重？假设我们设 \( f(v) = -1 \)。 那么，为了满足顶点 \( u \) 的条件 \( f(u) + (-1) \ge 1 \)，我们必须有 \( f(u) = +1 \)。 同样，为了满足顶点 \( w \) 的条件 \( (-1) + f(w) \ge 1 \)，我们必须有 \( f(w) = +1 \)。 现在检查顶点 \( v \)：\( f(N[ v ]) = f(u) + f(v) + f(w) = 1 + (-1) + 1 = 1 \ge 1 \)，满足条件。 所以，\( f(u)=+1, f(v)=-1, f(w)=+1 \) 也是一个符号支配函数，其权重 \( w(f) = 1 + (-1) + 1 = 1 \)。 这个权重（1）比第一次尝试的权重（3）要小。 尝试3 ：能否得到更小的权重，比如0或负数？假设权重为0，意味着+1和-1的数量必须相等，但图有3个顶点，不可能相等。唯一可能的总权重是1（两个+1，一个-1）或3（三个+1）。我们刚刚已经找到了权重为1的方案。可以验证，无法找到权重小于1的有效方案（例如，如果两个顶点是-1，那么中间顶点v的闭邻域权重和可能为负）。 因此，对于路径图 \( P_ 3 \)，其符号控制数 \( \gamma_ s(P_ 3) = 1 \)。 第5步：符号控制数的性质与研究问题 与经典控制数的关系 ：对于任意图 \( G \)，其符号控制数 \( \gamma_ s(G) \) 和经典控制数 \( \gamma(G) \) 之间存在关系。通常，\( \gamma_ s(G) \le \gamma(G) \)。这是因为任何一个最小支配集 \( D \) 都可以诱导出一个符号支配函数：将 \( D \) 中的顶点赋值为 +1，其余赋值为 -1。可以验证，对于任意顶点 \( v \)，因为 \( D \) 是支配集，\( v \) 的邻域中至少有一个 +1，再加上 \( v \) 自己的赋值（可能是 -1 或 +1），其闭邻域和至少为 \( 1 + (-1) = 0 \) 或更多。为了确保和至少为1，可能需要微调，但通常能证明存在更优的符号支配函数。在我们的 \( P_ 3 \) 例子中，经典控制数 \( \gamma(P_ 3) = 1 \)（中间顶点v即可支配全部），而符号控制数也是1，但支配函数不同。 研究问题 ：图论学者关心的问题包括： 计算复杂性 ：对于一般的图，计算其符号控制数是 NP-难的。 寻找上下界 ：研究符号控制数关于顶点数、边数、最小度、最大度等图参数的上界和下界。 确定特殊图类的符号控制数 ：对于如路径图、圈图、完全图、树、网格图等特殊图类，找出其符号控制数的精确值或表达式。 与其他控制变体的关系 ：研究符号控制与其他控制概念（如减权控制、奇控制等）之间的联系和区别。 总结来说， 符号控制 是经典支配概念的一个自然推广，它通过引入负权重增加了模型的灵活性和表达能力。 符号控制数 则是衡量实现这种“净控制”所需的最小成本。