数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续十八） 步骤一：回顾变分原理与哈密顿-雅可比方程的基本联系 在之前的讨论中，我们建立了变分原理与哈密顿-雅可比方程的核心关系：通过作用量泛函 \( S(q,t) \) 的极值条件（即哈密顿原理），可推导出哈密顿-雅可比方程： \[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0, \] 其中 \( H \) 为系统的哈密顿量。该方程的解 \( S(q,t) \) 称为哈密顿主函数，其全微分满足 \( dS = p\,dq - H\,dt \)，从而隐含了正则方程的解。 步骤二：引入作用量-角变量方法的基本思想 对于周期运动系统（如谐振子或开普勒问题），哈密顿-雅可比理论可通过 作用量-角变量 （action-angle variables）简化分析。这一方法的核心是将系统的运动分解为周期性的角变量演化，并引入不随时间变化的作用量变量，从而显式揭示系统的守恒律和可积性。 作用量变量的定义 ： 若系统有 \( n \) 个自由度且完全可积，存在 \( n \) 个独立的守恒量。对每个循环坐标 \( q_ i \)，定义作用量变量： \[ J_ i = \oint p_ i \, dq_ i, \] 其中积分沿一个完整周期进行。\( J_ i \) 为常数，仅依赖于系统的能量和其他守恒量。 角变量的引入 ： 通过正则变换，生成函数 \( S(q, J) \) 满足： \[ \theta_ i = \frac{\partial S}{\partial J_ i}, \quad \frac{\partial H}{\partial J_ i} = \dot{\theta}_ i = \omega_ i(J), \] 其中 \( \theta_ i \) 为角变量，\( \omega_ i \) 为常数频率。系统的运动简化为 \( \theta_ i(t) = \omega_ i t + \theta_ i(0) \)。 步骤三：作用量-角变量与量子化条件的联系 作用量-角变量方法在旧量子论中具有关键地位。例如，玻尔-索末菲量子化条件要求： \[ J_ i = \oint p_ i \, dq_ i = n_ i h \quad (n_ i \in \mathbb{Z}), \] 其中 \( h \) 为普朗克常数。这一条件直接从经典作用量的离散化引出，为早期量子力学提供了半经典基础。 步骤四：可积系统与刘维尔定理的几何解释 若哈密顿系统有 \( n \) 个独立且对合的守恒量（即泊松括号为零），根据刘维尔定理，系统的相空间轨迹被限制在 \( n \) 维环面上。作用量-角变量正是描述这些环面的自然坐标： 作用量 \( J_ i \) 标记环面的大小（守恒量）， 角变量 \( \theta_ i \) 参数化环面上的运动（周期性演化）。 这一几何图像将动力学问题转化为环面的线性流动，显著简化了分析。 步骤五：摄动理论与不可积系统的近似处理 当系统受到小扰动时（如行星轨道的摄动），可积性被破坏，但作用量-角变量仍可作为近似分析的起点。通过 冯·泽佩尔-克鲁斯卡尔方法 （von Zeipel-Kruskal method），可将摄动哈密顿量按作用量变量展开，并逐阶求解角变量的修正。例如，若 \( H = H_ 0(J) + \epsilon H_ 1(J, \theta) \)，可通过正则变换消去角变量的依赖，得到有效哈密顿量 \( \bar{H}(J) \)，从而分析能级漂移或共振现象。 步骤六：与哈密顿-雅可比方程的非线性联系 作用量-角变量方法本质是哈密顿-雅可比方程的解耦形式。对于可积系统，哈密顿-雅可比方程可通过分离变量法求解，生成函数 \( S(q, J) \) 即为方程的解。此时，方程退化为： \[ H\left(J, \frac{\partial S}{\partial q}\right) = E(J), \] 其中 \( E \) 为依赖于作用量的常数能量。这体现了变分原理、守恒律与可积性之间的深刻统一。 总结 本节深入探讨了变分原理与哈密顿-雅可比理论在作用量-角变量框架下的应用。通过将运动分解为环面上的线性流动，这一方法不仅简化了可积系统的分析，还为量子化条件和摄动理论提供了桥梁。下一步可进一步讨论 卡姆理论 （KAM theory）对不可积系统中环面稳定性的刻画，或扩展至场论中的类似方法（如刘维尔场论）。